基于小波与灰色模型的滑坡时间预测预报

摘 要我国是世界上滑坡灾害最为严重的国家之一。滑坡灾害往往会造成严重的经济损失，威胁人民生命安全。据统计，我国有70多个城市，460多个县收到滑坡灾害的威胁及危害，每年平均至少造成15亿23亿元的经济损失，由于近年来自然灾害增多，滑坡也相应增加。如果我们能够知道滑坡发生的时间，积极采取应对措施，就可以将滑坡危害降到最低，减少不必要的人员伤亡和经济损失。因此对滑坡时间进行预测预报研究具有十分重要的意义。本文基于以上目的，针对滑坡预测预报中存在的问题进行时间预测预报研究。本文主要通过对小波理论和灰色模型的介绍和研究，将小波降噪和灰色模型应用于滑坡时间预测预报。主要研究内容如下：（1）对滑坡时间预测预报及其发展趋势做了简单的介绍。介绍了滑坡监测技术和滑坡预测模型。（2）时间预测预报之前需要对观测的位移时间数据进行处理，去除噪声，以提高预测精度。本文选用小波的方法对滑坡观测的位移数据进行去噪处理。在此之前介绍了小波理论，小波函数和小波阈值的选取规则。后面通过选用不同的阈值来对滑坡数据进行降噪处理，并利用信噪比来比较降噪效果。（3）简单介绍灰色系统模型，利用matlab编写相应的程序。并利用灰色模型对已经降噪处理的数据进行时间预测，并分析结果。（4）把小波阈值降噪方法和灰色模型应用到新滩滑坡，对观测数据进行降噪处理并预测时间，并将结果与真实值进行对比分析。关键词：滑坡 小波分析 小波阈值 灰色模型 降噪 时间预测AbstractChina is one of the countries which have the most serious landslide calamity in the world。Landslide calamity can always cause serious economic losses, which threatens the safety of peoples life.According to the statistics, about 70 cities and 460 counties in our country have been threatened and damaged by the landslide hazard. As a result, the economic usually suffers from a loss between at least 1.5 billion and 2.3 billion every year. As the natural disasters increase recently, the landslides also increase accordingly.If we know that the landslide occurred at certain time and take actions, then the landslide hazard can be reduced at most, besides we can reduce unnecessary casualties and economic losses.Consequently, research of forecasting Landslide-time is significant.Based on the purpose above, in this paper, for the problems in the prediction of landslide, we will make a detailed research. According to the introduction and study of wavelet theory and Grey model, wavelet noise reduction and Grey model can be applied to landslide prediction.The main research contents are as follows:（1）A succinct introduction of the landslide-time prediction and development tendency, including the landslide monitoring technology and landslide prediction model.（2）Before theTime prediction, In order to improve prediction accuracy, it is necessary to process observed displacement time data and remove noise. In this paper, the technique of wavelet is applied to remove the noise in the observed landslide displacement data.Wavelet theory, wavelet function and the selection rules of wavelet threshold are proposed before, Then conduct noise reduction for landslide data by different threshold values, besides, through the signal to noise ratio to compare the result of noise reduction.（3）Proposing Grey model succinctly, programming by MATLAB and using Grey model to estimate the time of the noise reductive data, then analyzing the results.（4）Apply the noise reduction method for wavelet threshold and Grey model to the new beach landslide, conduct noise reduction for the observed data and estimate the time, then compare the results to the true value.Keyword: Landslide;wavelet analysis;wavelet threshold;Grey model;wavelet denosing ;Time prediction目 录第一章 绪论11.1 论文的研究背景11. 2滑坡灾害时间预测预报及其发展趋势21.3 滑坡预测预报研究目的和意义41.4论文的主要内容5第二章 滑坡监测技术与预测模型62.1 滑坡监测技术62.2 滑坡预报模型6第三章 小波理论83.1小波变换83.2 小波变换原理与分类93.2.1 小波变换原理93.2.2 小波变换分类93.3 多分辨率分析133.4 Mallat算法153.4.1 Mallat算法综述153.4.2 Mallat分解算法163.4.3 Mallat合成算法173.5 常用的小波函数183.6 小波变换用于信号降噪的原理223.6.1 基本降噪模型与原理223.7 非线性小波变换阈值法253.7.1 算法实现253.7.2 阈值的选取263.8 小波降噪效果评价指标28第四章 滑坡监测灰色模型304.1 灰色系统介绍304.2 滑坡监测数据的生成314.2.1 累加生成(AGO)324.2.2 累减生成（IAGO）334.2.3 均值生成344.2.4 级比生成344.3 滑坡监测灰色建模方法354.3.1 灰色模型的一般形式（GM(n,h)）354.3.2 GM(1.1)模型364.4 GM(1,1)模型的精度检验394.4.1 相对误差检验法394.4.2 后验差检验法394.4.3 关联度检验法41第五章 小波降噪与灰色模型预测的实例分析425.1 新滩滑坡简介425.1.1 滑坡复活的地质环境425.1.2 新滩滑坡的基本特征425.2 小波数据处理435.2.1 小波阈值法降噪445.2.2 去噪结果分析495.3 灰色预测预报505.3.1 滑坡灰色模型预测505.3.2 时间预测结果分析52结论与展望53参考文献54致谢5759长安大学硕士论文第一章 绪论1.1 论文的研究背景滑坡是斜坡上的岩土体沿某一界面发生剪切破坏向坡下运动的现象（DB 50/1432003，地质灾害防治工程勘察规范）。是一种突发的而且具有严重危害的地质灾害。由于滑坡发生的频率较大、范围比较广，其灾害性已经非常严重，是仅次于地震的地质灾害。滑坡多发生在山区，我国是一个多山的国家，山区面积占到全国陆地面积的69%，因而我国也是滑坡灾害极为频繁、损失程度极大的国家。在过去的二十多年，我国相继发生了一系列重大的滑坡灾害，1998年，全国共发生滑坡、崩塌和泥石流达18万处，较大规模的有447处，造成1157人死亡，1万多人受伤，50多万间房屋被毁坏，经济损失270亿元人民币；二零零年6-7月，陕西省南部的安康等地连续受到5次特大暴雨袭击，诱发了规模不等的滑坡、崩塌、泥石流等灾害超过4000处，造成213人死亡，并使多处桥梁、路基被毁，5条国、省干线公路和49条县乡级公路中断，襄渝铁路中断行车达7天之久1。在国外，滑坡灾害一样严重而且广泛。1938年加拿大Montagneuse河谷发生m的历史大滑坡，堵塞河流形成1.5长的水库，至1952年被湖相沉积填满，1988年才溃决；1952年冬天美国洛杉矶滑坡造成750万美元的损失；1963年意大利瓦伊昂水库发生体积约为m的大滑坡，致使当时世界上最高的双曲拱坝失效，涌浪夺去了该坝下游2600多人的生命。1970年，秘鲁因地震引起的Huascaran山区的一起山崩，造成18000人死亡。1977年瑞典维塔滑坡， 150多间房屋收到破坏或重创，9人死亡，直接经济损失约为1 5000万瑞典克朗；1999年10月，因大雨墨西哥普遍引发滑坡，造成死亡、失踪约600人，20多万人无家可归。事实上，许多国家、地区，如日本的新潟县及其临县，英国的南威尔士，俄罗斯的高加索与黑海沿岸，美国加州、新泽西、德克萨斯，肯尼亚的中部地区，法国南部阿尔卑斯，意大利中部等，均为滑坡多发地区或曾经报道过大型滑坡灾害32 34。通过上面的叙述可以发现，滑坡灾害危害非常大，如果我们可以预先知道其发生的地点、时间、强度和影响，就可以预先进行防范，减少损失，因此对滑坡灾害预测预报进行深入、系统的研究是十分必要的，该研究具有重要的学术价值和实用意义。20世纪60年代滑坡预测预报研究是才开始发展起来，现在已经成为滑坡研究中的一个热门课题。因为滑坡问题比较复杂，现在滑坡时间预测预报还是一个世界性的科学难题。在滑坡研究领域，国内外专家学者已取得了一些成绩，也有预报成功的例子，如长江三峡的新滩滑坡等。但这些成功预报大多是通过监测工作实现的。但是并没有完全解决该用怎样的理论，建立何种理论模型对滑坡进行预测的问题。甚至我们不知道是否有这个模型，是否能够对崩塌、滑坡进行有效的时间预报，还是一个处于探索研究中的问题33。从日本学者斋藤迪孝(M. Satio)提出的滑坡时间预报经验公式至今四十多年的研究历史，可以把滑坡预测预报研究历史划分为四个阶段2：1、现象、经验预测预报阶段(20世纪60-70年代)60年代日本学者斋藤迪孝(M. Satio)提出一个预报滑坡的经验公式及图解，即著名的“斋藤法”。根据1969年智利Chuquicamata矿滑坡监测时间-位移曲线Hoek(1977)，提出了与斋藤类似的外延线预测预报法。F.O.Jones（1961）、P.C.Stevenson（1977）、T.H.Nilsen,et al.(1970)、E.Fussganger(1976)、G.Guidicini（1976）等先后对滑坡预报的统计学或经验法方法进行研究。2、统计、灰色预测预报阶段(20世纪80年代) 应用统计数学理论建立滑坡变形参数和时间之间相互关系来进行滑坡预测预报，其主要有回归预测模型、时间序列分析预测模型及灰色系统模型等三大类。3、非线性理论预测预报阶段(20世纪90年代)这一阶段的特点有多种预报方法的综合研究与应用；广泛的现代数理科学新理论应用于滑坡预报理论研究；滑坡预报的技术手段得到前所未有的发展。4、系统综合和实时跟踪动态预测预报阶段(20世纪90年代末期-至今)。1. 2滑坡灾害时间预测预报及其发展趋势滑坡的时间预测预报分为三个阶段，即长期，短期，临滑三个阶段32：1、长期预报 滑坡灾害长期预报是以某地区或某一滑坡对象在今后可能活跃的年份范围为预测目标，其结果是近似的。长期预测需要的资料有：历史滑坡及其活动性材料、易滑坡地区的地质情况。例如:一些地方的区域性滑坡灾害大部分情况与特殊的气象情况有联系。大区域的滑坡活动很多时候是由长时间下雨与特大暴雨引发的。因此，通过研究滑坡灾害活动与气候情况之间的关系，了解滑坡旋回周期和气候变化周期之间的对应关系对滑坡灾害长期时间预测是有很大的作用。另外，地震也很容易产生新的滑坡并会使老滑坡复活，通过地震活动与区域构造应力场的周期性与规律性的特点，可以大概预测沿活动构造带的滑坡活动性的特点，然而这是趋势性的、超长周期的预测。自然界许多的大型滑坡，特别是一些千万方的特大型滑坡，不单单和外界条件有关，很大程度上是受地质条件与内动力因素影响，这种滑坡的发生、发展和演化具有自身演化的旋回周期性。因此研究这些滑坡灾害活动的历史对研究滑坡长期预测预报有很大的意义。2、短期预报 滑坡短期时间预报是指依据滑坡影响因素对滑坡作用的强度与随时间的变化规律，在掌握滑坡动态发展趋势的基础上，分析推断滑坡短时间内的演化情况，预测可能发生滑坡的时间，一般是预测的月份。该预测的两个重要途径为:滑坡自身运动的内在规律和活动性趋势分析。滑坡活动性触发因素的规律性与滑坡活动性之间关系的研究途径。3、临滑预测预报 滑坡灾害临滑预测与预报是不尽相同的，滑坡时间预测不仅是一个科学问题，而且是一个实际问题，临滑预报还有管理上的特征。但是滑坡时间临滑预测与预报又是一体的。滑坡预测正确的例子显示，只有持续的监测滑坡才能够避免滑坡的发生。但是实际上，我们不可能不间断的去监测所有对我们有危害的滑坡，因为我们没有足够资本。因此，从这个方面来说，我们无法避免滑坡造成的损失，但是如果我们能够在滑坡发生前能够通过滑坡的一些信息预测出滑坡发生的具体时间，就可以减轻滑坡造成的危害。滑坡研究初期，日本学者日本学者斋藤迪孝(M. Satio)研究认为土质类滑坡运动分为三个阶段：初始蠕变阶段，等速蠕变阶段，加速位移阶段。我们可以利用第三阶段的滑坡位移监测数据根据曲线图解法对滑坡进行临滑预报。但是，我们并不知道是不是所有的滑坡都适合这个规律。因此，滑坡时间临滑预测预报需要不间断的位移监测数据，而且观测数据必须有好的精度，数据也应该足够多。只有这样，才能更准确的预测时间。另外，开展位移场以外的物理监测，如摩擦热、声发射等监测，也是扩大临滑预测预报的重要途径。目前滑坡预测预报已经取得了巨大的成就。但是因为一些不可控制的，随即的因素影响，滑坡时间预测预报现在仍然是一个世界性的难题，很难准确的预报滑坡发生的时间。现在绝大部分的滑坡都不可能做到发生前进行预报，主要是因为以下两方面的原因：一是由于造成滑坡灾害的因素非常复杂，有众多的不确定因素，滑坡的本身破坏方式，变形机制与变形过程多种多样。主要造成我们很难准确预报滑坡。另外，由于受到各种条件的限制，绝大部分的滑坡都没有进行长时间的监测，也没有采取防治措施，因此造成很大部分滑坡突然发生。还有部分人觉得滑坡时间预测非常难，而滑坡空间预测比较简单，因此导致滑坡时间预测的研究被忽视。以上都是现阶段我们国家滑坡预测中存在的问题。近三十多年来，国内外专家学者对滑坡的研究做了大量的工作，获得了一定的成果，但是现有的研究成果还是难以实现滑坡灾害的滑动时间，活动强度，危害程度等方面进行全面，快速，准确的预报，因此防灾决策部门对滑坡预报有进一步更高的要求。目前对于滑坡灾害时间预测预报还处在初级阶段，需要有更大的发展。普遍适用性和外推适应性程度低是现在已经有的滑坡时间预测预报理论和方法存在的主要问题。因而在以后的滑坡时间预测预报的研究中将会向以下几个方面发展：(1)滑坡动态变形的系统监测和综合参数预测预报模型研究。(2)基于非线性科学理论的滑坡时间预测预报技术研究。 (3)人类工程活动与滑坡活动之间的相互作用关系研究。 (4)滑坡动态变形过程中地表水和地下水的作用机理研究。(5)滑坡变形破坏作用机理研究。 (6)滑坡时间预测预报的组合预测模型研究。 (7)滑坡变形破坏的计算机仿真模拟预测研究。(8)新理论新方法在滑坡预测预报工作中的应用研究。1.3 滑坡预测预报研究目的和意义滑坡灾害与土地资源利用、能源开发、建筑物稳定性、环境保护、生命与财产保障等具有密切的关系。滑坡预测预报，不管是空间预测预报、时间预测预报，还是灾情损失预测预报，都是工程地质和环境地质研究领域内的世界难题，开展滑坡灾害预测预报的目的可概括为以下几点：(1)为重大国民经济建设的规划提供宏观灾害的预防，减灾和避灾的科学依据。 (2)为具体建筑物和建设场地的布置，选择无滑坡且不易形成新的滑坡的地段，使得工程能够正常进行。 (3)预测滑坡防治的必要性和可能的措施，预测不加固斜坡而使用建筑场地的可能性。 (4)及时预报滑坡灾害活动和工程或建筑物的危险位移量，以此来预测滑坡发生的时间，避免滑坡产生大位移所造成的危害。减少或防止人员伤亡和经济损失。 (5)为滑坡多发危害性大的地区制定相关政策法规提供科学的理论依据。确定相关的防治措施。1.4论文的主要内容近年来，小波理论在地球科学领路得到了广泛的应用，滑坡过程是一个复杂的过程，我们如果能够利用小波理论来对滑坡预测预报进行研究，将有利于我们了解滑坡过程的本质。本文将采用小波理论和灰色模型结合的方式来对滑坡数据进行处理预测预报。我们知道小波在信号处理方面已经有很好的成绩，特别是在信号去噪方面，所以我们将利用小波分析的信号降噪的方法来对滑坡体位移监测曲线进行降噪处理，在此基础上再利用灰色预测模型来预测滑坡发生的时间。本文的主要内容有下面几个方面：1、滑坡监测技术与预报的模型介绍。2、小波理论与灰色理论介绍。3、利用小波理论在滑坡时间预测预报前对滑坡体位移时间曲线的降噪。小波降噪的阈值选取规则，通过选取不同阈值来对滑坡时间位移曲线进行处理并通过信噪比来比较结果的优劣。4、建立灰色模型，并把小波降噪后的数据代入到灰色模型中，以新滩滑坡为例进行时间预测预报输出预测预报结果。第二章 滑坡监测技术与预测模型2.1 滑坡监测技术 从不同监测方法获得的观测量的属性来看，监测内容可以分为四大类：变形监测分为地表变形监测和深部位移监测。地表变形监测以常规测量为主要监测技术（如大地测量、GPS测量等），滑坡体位移监测是滑坡体最直观的信息。地下水监测主要监测地下水位（或地下水压力）、孔隙水压力和地下水水质等。应力应变监测主要监测地应力以及地应力变化引起的岩土声发射现象、边坡锚固后的锚杆和锚索的应力应变等。诱发因素监测主要监测气象、地震、人类工程活动等30。滑坡体地表变形监测一般采用常规大地测量方法、全球定位系统（GPS）方法、测量机器人技术、三维激光扫描技术、地面数字摄影测量方法、遥感（RS）方法等。滑坡体深部位移监测主要通过对埋设在地质钻孔中的测斜管、多点位移计、滑动变形计以及埋设在竖井和平硐中的伸缩仪等仪器设备的变位情况来获取资料。另外还有滑坡地下水观测，岩石边坡声发射监测，边坡锚固力监测，地温和地应力监测和诱发因素大气降雨、气温、相关人类活动监测和宏观地质巡查等。滑坡监测剖面可以分为重要监测剖面和一般监测剖面。滑坡监测剖面的选择应该结合地质结构、成因机制、变形特征，监测点则布置在滑动面的两侧或者滑动面的上下盘面上，并分析该剖面上全部监测点的功能并予以综合，建立该剖面在水平方向和竖直方向上代表滑坡体的变形块体范围及其组合。滑坡变形监测网和监测点应分为满足不同的布设及要求。其他专用监测仪器，如伸缩仪、测缝计、水平位错计、液体静力水准仪等，根据勘探平硐、竖井所在位置，适量布设在滑动面两侧或上下。边坡锚固监测应依据规范和设计要求按一定比例安装监测仪器进行锚固力变化观测。滑坡监测的监测网点、水准点、基岩标埋设以及多点位移计埋设安装等，必须满足相关规范和设计的要求。用于滑坡监测的各类仪器设备必须经过检定合格后才可以使用。针对不同的监测仪器设备，原始数据采集可以分别设计为人工采集、半自动采集、自动采集三种方式来完成。2.2 滑坡预报模型滑坡预测预报研究的核心和关键问题就是建立一种与滑坡体相适应，能够准确预报，操作性强的预测预报模型。国内外许多的专家学者经过一段时间的研究，从不同的角度提出了各种各样的预报模型。综合目前国内外已有的预报方法可以分为以下三类。1.确定性预报模型确定性预报模型是把与滑坡以及环境有关的各类参数用测定的量予以数值化，并利用明确的函数来表达其数学关系。该模型的预测反映了滑坡的物理性质，更适合于斜坡或者山体滑坡单体的预测。确定性方法有斋藤迪孝方法、有限元，边界元，离散元，耦合方法，还有极限平衡分析法。最先发展起来的斋藤迪孝方法和与它相关的一些方法预测的精度不高，计算的时间也属于大概的时间，并不准确，这些方法适合滑坡中短期、临滑预报。有限元，边界元，离散元的运用可以模拟分析滑坡稳定性以及滑坡位移变化，因此来对滑坡进行预报。考虑滑坡各种影响因素的极限分析法具有物理概念清晰，计算也很简单的特点，这种方法适合滑坡长期预报。2.非确定性预报模型非确定性预报模型主要的重点是对已经存在的滑坡和与其相关的外界因素，地质环境条件进行调查，掌握这些统计规律，并不注重滑坡机理严格的数学表达。非确定性模型比较适合区域性的土地的利用和国土开发规划。建立在因果分析和统计分析基础上的各种预报模型都可以归属此类。例如移动平均法、灰色模型、指数平滑、非线性预测模型、时间序列分析预测模型、回归分析法、趋势叠加法、生长曲线法、卡尔曼滤波法、动态跟踪法等多种方法。这些模型和滑坡观测的数据有关系，只要滑坡观测的位移数据足够多，分布规律就能够很好的进行滑坡预测预报。非确定性模型适用于滑坡中短期预报。3.工程地质类比模型 工程地质类比模型是比较被测对象近似的参照对象，类比推理被测对象以后的发展情况，是介于确定性模型与非确定性模型之间的一种方法。一些直观的评判方法、黄金分割法、综合信息预报模型以及力学图解法都属于此种模型。黄金分割法简单适用，精度也高，多适用于滑坡的中长期预报。综合信息预报模型适用于临滑预报，可以识别滑坡所处的变形阶段，便于现场操作。力学图解法可用做滑坡的判据，并能判定滑坡的破坏型式。模糊评判法、神经网络法也可以归入此类。第三章 小波理论3.1小波变换为了克服短时傅里叶变换的单一分辨率缺陷，发展了小波变换。小波变换是一种工具，它把数据、函数或算子分割成不同频率的成分，然后再用分解的方法去研究对应尺度下的成分。小波变换继承并发展了短时傅里叶变换的局部化思想，并且克服了其窗口大小与形状固定不变的缺点。它不但可以同时从时频域观测信号的局部特征，而且时间分辨率和频率分辨率都是可以变化的，是非常好的信号处理方法。由于小波变换分析时、频局域化的卓越效果而誉满全球，因此它成为分析非平稳信号的重要工具。因此，小波变换成为信号处理、信息获取与处理等多领域首选的数学分析工具，在国内外形成一次又一次的研究高潮。它与分形理论、神经网络联合互补，对当今自然科学产生巨大的冲击力和推动作用67。1981年，法国物理学家Morlet在分析地质数据时基于群论首先提出了小波变换这一概念。1985年，法国数学家Meyer首先提出光滑的小波正交基，后被称为Meyer基，对小波理论做出了巨大贡献。1988年，数学家Daubechies提出了具有紧支集的光滑正交小波基Daubechies基，为小波应用研究增添了催化剂。后来，信号分析专家Mallat提出了多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法。Mallat受金字塔算法的启发，以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法Mallat算法，这是小波理论突破性的成果，Mallat算法的提出，宣告了小波从理论研究走向宽广的应用研究8。小波变换是傅里叶变换发展史上的里程碑式的进展910111213。它是一种信号的时间尺度（时间频率）分析方法，它具有多分辨分析（Multiresolution Analysis）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小（即窗口面积）固定不变，而其形状是可以改变的。即在低频部分具有较高的频率分辨率与较低的时间分辨率，而在高频部分具有较高的时间分辨率与较低的频率分辨率，被誉为“数学显微镜”，它能根据观察的对象自动“调焦”，对信号进行多尺度细化分析，以取得令人满意的最佳效果；正是这种特性，使小波变换具有对信号的“自适应性”，它能根据被分析的对象自动调整有关参数，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，可见利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。3.2 小波变换原理与分类3.2.1 小波变换原理小波变换从诞生开始，已经有了几种改型，其中常见的三种形式如下。（1） 经典的小波变换。 （3.1）式中，基本小波满足允许条件和非零条件。（2） 改正的小波变换。 （3.2）（3） 进一步改正的小波变换。 （3.3）式中，即为经典小波变换式（3.1）；即为改正的小波变换式（3.2）。3.2.2 小波变换分类小波变换有很多种形式，所有形式都来源于基本公式。有连续小波变换和离散小波变换两种。在离散小波变换中我们进一步做如下定义：有冗余的离散系统（框架）和正交小波基及其他小波基。3.2.2.1 连续小波变换一维信号的连续小波变换，就是利用一个小波函数将信号变换到时间尺度域上。它的时频局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，低频处时间分辨率低。其定义如下：设（其中代表平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），它的傅里叶变换是，则当满足下面的条件： （3.4）时，则是一母小波或基本小波。把经伸缩、平移就得到一个小波序列： （3.5）式中，代表伸缩因子；代表平移因子。对于任意函数，其连续小波变换定义为： （3.6）小波变换的逆变换（重构公式）为： （3.7）因为在小波变换中起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件： （3.8）故是R中的一个连续函数。为了使重构公式成立，在原点必定为零，即： （3.9）由式（3.9）可以发现小波函数必然具有振荡性。为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，不仅要完全重构条件外，还需要小波的傅里叶变换满足以下的稳定性条件： （3.10）从稳定性条件出发，可以定义一个对偶小波： （3.11）连续小波变换具有如下性质：（1）线性性：各个分量的小波变换之和与一个多分量信号的小波变换相等。设，则 （3.12）（2）平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为 （3.13）（3）伸缩共变性：若的小波变换为，则的小波变换为 （3.14）式中，。（4）自相似性：相对于不同的平移参数和不同的尺度参数的连续小波变换之间是自相似的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度（redundancy）。尽管冗余可以提高信号重建时计算的稳定性，但是它增加了小波变换的计算时间和分析、解释小波变换结果的困难。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：（1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系。（2）小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的。3.2.2.2 离散小波变换如果在每个可能的尺度下都去计算小波系数，计算量将相当大，会产生惊人的数据量。在实际应用过程中，特别是在计算机上实现的时候，连续小波必须加以离散化。这一离散化只是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量的。连续小波变换中小波函数的定义为式（3.5），在离散化时，通常总限制只取正值，令，可见在离散小波变换中，相容性条件为 （3.15）一般最常用的办法就是将尺度参数和平移参数分别令，。对应的离散小波函数： （3.16）对应的离散小波系数为 （3.17）其重构公式为 （3.18）式中，是一个与信号无关的常数。为了使小波变换具有可变化的时间分辨率与频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，通常需要改变尺度参数和平移参数的大小，使得小波变换具有“变焦距”的功能。在实际应用中主要采用二进制动态采样网络。经这种离散化后的小波和相应小波变换，称之为二进小波（Dyadic Wavelet）和二进小波变换。此时，取，。式（3.16）变为 （3.19）二进小波对信号的分析具有变焦距的功能。如果有一个放大倍数为，它对应的为观测到信号的某部分内容。二进小波不同于连续小波的离散化，它只是对尺度参数进行离散化，而对时间域上的平移参数保持连续变化。二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是二进小波和正交小波基相比所具有的独特的优点。设函数，假设存在两个常数、，且使得稳定性条件几乎全部满足，即 （3.20）则为一个二进小波。若，则称为最稳定条件。而函数序列叫做的二进小波变换，其中 （3.21） 式（3-21）对应的逆变换为 （3.22）3.3 多分辨率分析多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，简称MRA）的概念是1988年S.Mallat在构造正交小波基时，将计算机视觉领域内的多分辨率思想率先引入小波变换，在空间的概念上形象地说明了小波变换的多分辨特性，并使用多分辨分析将此前Meyer等提出的各种具体小波基的构造法统一起来，在Burt and Adelson图像分解和重构的塔式算法的启发下，基于它的多分辨框架，提出了塔式多分辨率分解与重构算法7，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法Mallat快速小波分解和重构算法81415。对于多分辨率分析的理解，可以用一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图3.1所示。SA1D1A2D2D3A3 图3.1 三层多分辨分析树结构图 上图中，A表示低频，D表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层数（也即尺度数）。从图上可以看出，多分辨分析仅仅是对低频的部分进行进一步分解，而不予以考虑高频的部分。信号S的分解关系式为：。需要强调的是，这里仅仅是用一个层分解来进行说明的，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和高频部分D4，如继续再分解，则以此类推。多分辨分析的最终目的是为了构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基（或正交小波包基），这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从三层多分辨分析树型结构图3.1可以看出，多分辨分析只对低频空间部分进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。 空间L2(R)中的多分辨率分析是指L2(R)中满足如下条件的一个空间序列： (3.23)且有 (3.24) (3.25) (3.26)即空间序列中的每一个空间均为空间序列中心V0的尺度变换。多分辨分析的另一重要特性：空间V0在整数平移下的不变性，即 (3.27)上式蕴涵：若，则，有。另外，我们常常要求存在函数，使 是V0上的一个规范正交基 (3.28)其中，规定对于，。由此，式（3.26）和式（3.28）蕴涵：，是Vj上的一个规范正交基。我们通常称为多分辨分析的“尺度函数”。多分辨分析的基本思想是：当一组闭子空间满足式（3.23）式（3.28）时，存在一个一个上的规范正交基，其中。对于，有 （3.29）（为上的正交投影）。而且小波有显式的构造公式。 对于，定义为在上的正交补空间，于是有 （3.30）及 （3.31）（事实上，假设，则）。于是，当时，有 （3.32）其中，全部所有的子空间都是正交的。根据式（3.24）和式（3.25），有 （3.33）上式将分解为一系列相互正交的子空间，而且空间继承了尺度特性，即 (3.34)式（3.29）可等价地表达为：对于固定的，构成了上的一组规范正交基。再根据式（3.33）和式（3.34）可知：整个小波族是上的一个规范正交基。3.4 Mallat算法81415Mallat算法在小波变换里占据非常重要的地位，相当于傅里叶变换中的快速傅里叶算法。Mallat在1987年提出了多分辨分析的概念，通过将计算机的多尺度分析思想引入到小波分析中而提出的，统一了在此之前的所有具体正交小波基的构造，并且提出了相应的分解和重构的快速算法，即Mallat算法。3.4.1 Mallat算法综述多分辨分析是构造正交小波基的有力工具，下面从多分辨分析出发，我们可以得到正交小波变换和反变换的快速算法。设是中的正交小波基，则对于任意信号，有下面的无穷级数展开式： （3.35）由于一般的不具有初等解析表达式，直接用公式求展开系数非常不方便。取任意的，设为空间到空间的正交投影算子，为空间到空间的正交投影算子，则有： （3.36）其中，小波系数实际上就是离散二进网格上的小波变换，这样的多分辨分析和小波分析就联系起来了。由得到：，即下面的式子成立： （3.37）3.4.2 Mallat分解算法Mallat分解算法是计算尺度系数和小波系数的算法，为了简化分析，假设、都是实函数，在数学推导过程中忽略积分式中的复共轭。由二尺度方程得到： （3.38）从而有： （3.39）同理可以推出： （3.40）上面式（3.39）和（3.40）就是Mallat算法的分解公式。当时，充分逼近，因此，任取，可以取充分小的，使得。由于是一个双向无限的空间带，在数学上为方便起见，我们可以认为，则有下面的分解关系。空间上的分解关系为： （3.41）信号上的分解关系为（）： （3.42）Mallat算法的分解过程可以用一个金字塔逐次分解的图来表示，令，系数的塔式分解图如下图3.2所示：C0DnD3D1C1CnCn-1C2D2图3.2 Mallat算法塔式分解图3.4.3 Mallat合成算法Mallat合成算法就是根据图3.2中的系数Cn、Dn、D2 、D1推导出C0。由上面的推导得到： （3.43）将上式两边同时与作内积得： （3.44）即为： （3.45）还因为： （3.46） （3.47）将式（3.46）和式（3.47）带入（3.45）于是得到Mallat算法的合成公式： （3.48）3.5 常用的小波函数1、Haar小波函数81516Haar小波函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，A.Haar于1990年提出的一种正交函数系。Haar小波的构造过程为：给出尺度函数： （3.49）计算： （3.50）构造小波： （3.51）Haar小波函数具有正交性、双正交性、紧支撑性（支撑长度为1）、对称性。它既可以用于连续小波变换，也可以用于离散小波变换。其消失矩阶数为1，滤波器长度为2。图3.3 Haar小波的尺度函数和小波函数图2、Meyer小波 Meyer小波是在频率域中定义的。尺度函数： （3.52）小波函数； （3.53）Meyer小波不是紧支撑的，但是收敛得很快。图3.4 Meyer小波的尺度函数和小波函数图3、Daubechies(dbN)小波81516Daubechie函数是世界著名小波分析学者Inrid Daubechie对尺度为2的整数幂（即）构造的小波函数。Haar小波是其尺度为1的特例，其他的小波没有明确的表达式。此小波函数具有正交性、双正交性、紧支撑性，既可以进行连续小波变换也可以进行离散小波变换，其支撑宽度为2N-1，滤波器长度为2N，小波函数的消失矩阶数为N。大多数dbN不具有对称性，该小波还具有正则性。图3-5 db6小波的尺度函数和小波函数图4、Symlets小波它是对dbN小波函数的一种改进，性质与dbN小波相似，但更近似于对称小波。5、Morlet小波该小波常用的是复值Morlet小波： （3.54）其傅里叶变换为： （3.55）由式（3.55）可以看出，当时，满足容许条件，因此Morlet是容许小波。Morlet小波是一种复值小波，能够提取信号中的幅值和相位信息，其时域、频域都具有很好的局域性，常用于复数信号的分解及时频分析中，Morlet小波在推广到N维时具有很好的角度选择性。另外，Morlet小波没有尺度函数，而且是正交分解的。6、墨西哥帽(Mexican Hat)小波墨西哥帽(Mexican Hat)小波函数是Gauss函数的二阶导数，由于其小波函数的图形像墨西哥帽的截面，所以称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽小波函数为 （3.56）其小波函数在时域与频域都具有很好的局部性，具有对称性，它适用于连续的小波变换，它的尺度函数不存在，因此不具有正交性。图3-6 Morlet和Mexican Hat小波的小波函数图7、双正交小波（biorthogonal小波）双正交小波（biorthogonal小波）的引入是为了解决对称性与精确信号重构