课件：晶体的光学各向异性.ppt

4.1.1 张量的基础知识 1. 张量的概念,4.1 晶体的光学各向异性,例如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为：,（2）.把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。,（1）.把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。,式中， 是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O- x1x2x3中，上式可表示为矩阵形式 ： 式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量 和矢量q。二 阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序) 相关。张量也可以用其分量形式表示如下：,其一般分量形式为： 按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则 可自动地按该下标求和，将上式简化为 pi=Tijqj i,j=1, 2, 3 (4 - 5) 可以看出：如果 是张量，则p矢量的某坐标分量不仅与q 矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。,如果矢量p与两个矢量u和v相关，其一般关系式为： 分量表示式为： 式中， 为三阶张量，它包含27个张量元素，其矩阵形式为：,pi=Tijkujvk i, j, k=1, 2, 3,实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。,2. 张量的变换 原坐标系 中，某张量表示式为Tij 新坐标系 中，张量表示式为Tij 则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系 的坐标变换矩阵为aij时， 与 的关系为 :,其分量表示形式为: 这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标 分量，可通过逆变换得到: 如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A与 原坐标系中的表示式A间的矩阵变换关系为:,i, j, k, l=1, 2, 3,其分量变换公式为:,i, j=1, 2, 3,3. 对称张量 一个二阶张量Tij，如果有Tij=Tji，称为对称张 量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称 张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有 三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主 轴变换时， 二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张 量:,经上述主轴变换后， 可表示为:,最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。,4.1.2 晶体的介电张量 由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特性的 参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如 下关系： 在此，介电常数=0r是标量，电位移矢量D与电场 矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量 线性相关。对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为:,介电常数 是二阶张量。其分量形式为： 即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相 关。在一般情况下，D与E的方向不相同。 又由光的电磁理论，晶体的介电张量 是一个对称张 量，因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对 角张量，只有三个非零的对角分量，为：,i, j=1, 2, 3,1,2,3 称为主介电系数。由麦克斯韦关系式： 还可以相应地定义三个主折射率n1, n2,n3。在主轴坐标系 中，电位移矢量的分量形式可表为：,此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的 空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同， 分为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶 系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。 由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量 的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表4-1所 示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数 123,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、 四方、六方晶系中，主介电系数1=23,这几类晶体在 光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的， 1=2=3。,4.1.3 晶体的光学各向异性 七大晶系的光学性质简介,表 4 - 1 各晶系的介电张量矩阵,1. 麦克斯韦方程组 在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若 没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：,4.2 光在晶体中传播的解析法描述,根据光的电磁理论， 光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。,物质方程为,为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。这样处理，可不考虑介质的色散特性，同时，对于任意复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶变换分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以也不失其普遍性。,（1）.单色平面光波在晶体中的传播特性 A.晶体中光电磁波的结构波动方程,2. 光波在晶体中传播特性的一般描述,B.能量密度 根据电磁能量密度公式有：,2019/8/20,22,可编辑,图 4-1 平面光波的电磁结构,C.相速度和光线速度 相速度vp： 光线速度vr： 相速度与光线速度之间的关系：,图 4-2 vp与vr的关系 (AB表示波阵面),(2).光波在晶体中传播特性的描述 A.晶体光学的基本方程广义本征值方程 由矢量叉乘的恒等式 得到： 即,A(BC)=B(AC)-C(AB),D=0n2E-k(kE),图 4-3 E和D的定义,B.菲涅耳方程 .菲涅耳方程的第一种形式 波法线菲涅耳方程(即波法线方程),.菲涅耳方程的第二种形式,.菲涅耳方程的第三种形式,图 4-4 与给定的k相应的D、E和s,.菲涅耳方程的第四种形式 光线菲涅耳方程(光线方程),3. 光在几类特殊晶体中的传播规律 上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中 传播的各向异性特性，并未涉及具体晶体的光学性质。下 面，结合几类特殊晶体的具体光学特性，从晶体光学的基本 方程出发，讨论光波在其中传播的具体规律。 (1).各向同性介质或立方晶体 各向同性介质或立方晶体的主介电系数 1=2=3=n02 根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路， 将波法线菲涅耳方程通分、整理,得到：,代入1=2=3=n02，并注意到k21+k22+k23=1，该式简 化为： 由此得到重根 n=n=n0。这就是说，在各向同性介质 或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率 n0 ，或者说，光波折射率与传播方向无关。 进一步，把n=n=n0的结果代入(4-42)式，可以得到三 个完全相同的关系式：,k1E1+k2E2+k3E3=0,图 4-5 各向同性介质中D, E, k, s的关系,(2).单轴晶体 单轴晶体的主介电系数为： 其中，neno的晶体，称为正单轴晶体；ne no 时，称为负 单轴晶体。 A.两种特许线偏振光波(本征模式),B.e光的波法线方向和光线方向 由上分析已知，单轴晶体中e光波法线方向与光线方向 之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度，对 于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。 在实际应用中，经常要求晶体元件工作在最大离散角的 情况下，同时满足正入射条件，这就应当如图 4-7所示，使 通光面(晶面)与光轴的夹角=90- 满足：,图 4 - 7 实际的晶体元件方向,(3).双轴晶体 双轴晶体的三个主介电系数都不相等，即123, 因而n1n2n3。通常主介电系数按123取值。这类 晶体之所以叫双轴晶体，是因为它有两个光轴