11向量组的秩与矩阵的秩

向量组的秩与矩阵的秩,. 向量组的秩,定义1.设A是一个由n维向量构成的向量组，1, 2, , r是从A中选取的一组向量，如果该组向量满足如下条件：,(1) 1, 2, , r线性无关,(2) 在A中任意选取一个向量，向量组1, 2, , r,皆线性相关。,则称1, 2, , r为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。,定理1.设有n维向量组A：a1, a2, , as和B：b1, b2, ,bt .若A组向量线性无关，并且A组向量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.,证明: (反证法)设不然，即s t,无妨说：,考察方程组：,由于未知数的个数s大于方程组中所含方程的个数t，所以该线性齐次方程组必然有非零解,无妨说 1, 2, , s是其一组非零解, 从而,1a1 + 2a2 + + sas = 0, 与向量组A线性无关的已知条件相矛盾! 证毕,推论1：若1, 2, , r和1, 2, , s皆线性无关，并且相互等价，则r = s,定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, , r是A的一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩,记为R(A).,推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B),证明：,设1, 2, , r是向量组A的一个极大线性无关组；1, 2, , s是向量组B的一个极大线性无关组.,由于1, 2, , r与A等价； A与B等价，同时B与1, 2, , s等价，所以1, 2, , r与1, 2, , s等价 故r = s，即R(A)=R(B) 证毕,二.寻找极大线性无关组的方法,定理2. 设向量组A的秩r 0，1, 2, , r是A中一组线性无关的向量，则1, 2, , r必然是向量组A的极大线性无关组。,证明：,由于向量组A的秩为r0, 所以向量组A必然存在着极大线性无关组：1, 2, , r,（反证法）倘若1, 2, , r不是A的极大线性无关组，,则必然有A中的某向量，使得向量组1, 2, , r, 仍然线性无关。,由于1, 2, , r是A的一个极大线性无关组，,所以1, 2, , r, 可以被1, 2, , r线性表出，,依据定理1得到：rr+1，,矛盾!,证毕,定理3.设1, 2, , m是一组n维列向量，A是一个n阶可逆方阵；,1 = A1, 2 = A2, , m = Am,则1, 2, , m线性相(无)关的充分必要条件是1, 2, , m 线性相(无)关。,证明：,由于A可逆，,所以对于任何一组数字1, 2, , m,11 + 22 + + mm = 0的充分必要条件是：,A(11 + 22 + + mm) = 0，,也就是：11 + 22 + + mm = 0,故1, 2, , m 与1, 2, , m具有相同的线性相关性。,证毕,例1. 求向量组,的极大线性无关组,解：,记,由于我们进行的初等行变换，所以必然存在某可逆方阵P，使得1 = P1, 2 = P2, 3 = P3, 4 = P4, 5 = P5,显然，在台阶矩阵中1, 2, 4是其列向量组的一个极大线性无关组；依据定理4，得知1, 2, 3是向量组1, 2, 3, 4, 5的一个极大线性无关组，该向量组的秩是3,同理：1, 2, 4；1, 2, 5 ；1, 3, 4；1, 3, 5；2, 3, 4；2, 3, 5和3, 4, 5皆是1, 2, 3, 4, 5的极大线性无关组。,三. 初等变换与向量组的秩,定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。,定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.,证明：,设,(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩,设A：1, 2, , i, , j, , m是A的行向量组,B：1, 2, , j, , i, , m,C：1, 2, , i, , j, , m，其中 0,D：1, 2, , i, , j + i, , m,显然向量组A、B、C、D相互等价，从而它们的秩相同。,也就是说：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩 .,类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的列秩。,(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩,设A：1, 2, , r, r+1, , n是矩阵A的列向量组，无妨说：1, 2, , r是A的极大线性无关组. P是一个m阶的初等方阵,B：P1, P2, , Pr, Pr+1, , Pn,依据定理3得知：,P1, P2, , Pr线性无关，并且在A中任意选取一个向量j，向量组P1, P2, , Pr, Pj皆是线性相关的。,从而P1, P2, , Pr是向量组B的极大线性无关组.,也就是说：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩.,类似可证：矩阵的初等列变换也不改变矩阵的行秩.,综上所述，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩. 证毕,推论：矩阵的秩、行秩以及列秩皆相等。,例2 设A是一个m行k列的矩阵；B是一个k行n列的矩阵，证明R(AB)minR(A), R(B),证明：设B = (1, 2, , n)，R(B) = r,在矩阵B的列向量组中任意选取r+1个向量：1, 2, , r+1，,由于B向量组的秩是r，,所以1, 2, , r+1必然线性相关,从而有一组不全为零的数：1, 2, , r+1使得11 + 22 + + r+1r+1 = 0，,从而有：,1A1 + 2A2 + + r+1Ar+1 = 0,也就是说，在矩阵AB的列向量中任意选取r+1个向量所构成的向量组皆是线性相关的.,即R(AB) R(B),又，R(AB) = R(BTAT), R(AT),= R(A),所以R(AB)minR(A), R(B),证毕,四. 作业讲评,P22六.,问k为何值可使R(A)=2,P23,六.讨论下列n阶方阵A的秩.,所以当,并且,时, R(A) = n,显然,当b = 1时,