环境管理_环境数理统计

第二章： 概率论基本概念和统计学基础,一、概率及其运算 二、随机变量的分布 三、常见的统计量,什么是概率？,概率是0和1之间的一个数值，表示某个事件发生的可能性或经常程度。 随机事件发生的概率，通常用字母P表示。如事件A的概率记作P (A)。 小概率事件：发生概率很小的事件。 (Small probability event) 对小概率事件研究的重要性： 用小概率事件对假定的模型进行判断是假设检验的基础。,得到概率的三种途径,一、利用等可能事件（古典概率法） 计算这些概率的基础就是事先知道（或者）假设这些事件是等可能的，且事件总数是有限的。 这种事件又称为等可能事件(Equally likely event)。 二、根据长期相对频数（统计概率法） 通过观察事件在大量重复试验中出现的频率来估计的概率，若重复试验的次数为n，事件A发生的频率为m，则事件发生的频率为m/n。 又称为相对频数(Relative frequency)。,得到概率的三种途径,这种计算方法得到的概率称为统计概率。当试验次数n无限增大时，统计概率值呈现出稳定在某一数值的特征，称为概率的稳定性。它体现了事件A发生的可能性大小是事件本身固有特性的反映。 三、主观概率(Subjective probability) 既不能由等可能性来计算，也不可能从试验中得出。但可根据经验、常识或其他相关因素来判断的某一事件发生的可能性，这种概率称为主观概率。 例如，你今年暑假去九寨沟旅游的概率。 国家今年推行新的环保措施的概率。,概率的基本性质和运算,概率是非负数，即 若事件是不可能事件，则 概率不大于，即 若事件是必然事件，则 对任何两事件和有 若事件和事件互斥，则 对任一事件有 对任何两事件和，若 ，则恒有,概率的相关术语,互补事件(complementary event) 独立事件(Independent event) 互不相容事件(Mutually exclusive event) 条件概率(conditional probability) 优势或赔率(Odds)：互补事件概率之比。Odds=p/(1-p),随机变量的分布（一）,随机变量 随着随机因素变化而变化，但又遵从一定概率分布规律的变量。 随机变量的分布 随机变量取一切可能值或范围的概率或概率的规律称为概率分布(Probability distribution)，简称分布。 概率的分布可以用表、各种图来表示，也可以用公式来表示。 一个概率分布是和某总体(population)也称为样本空间(sampling space)相联系的。,随机变量的分布（二）,为什么要确定一个随机变量的概率分布？ 在前面提到抽样调查时的总体（或有限总体）没有与概率相联系的实际存在。 但在确定了抽样方法之后，有限总体就可能与概率有关的总体有某种联系，并且可能对诸如总体进行推断。 这里的总体或样本空间为一个抽象的空间，它是由某种试验的所有可能结果点组成的，这些结果的获得都服从某种概率规律。 一个总体（样本空间）是由一个取值范围及相连的概率所组成的。因此给出了概率分布就等于知道了总体。,随机变量的分布（三）,离散随机变量 如果随机变量X只能以一定的概率取离散的数值， 则称这种变量为离散型随机变量。 连续随机变量 如果随机变量X以一定概率的取值充满某一数值区间，即在某一数值区间中可任意取值，取值数量有任意多个，则称这种变量为连续型随机变量。 分布和分布函数 一个随机变量取值的规律，称为该随机变量的分布； 表征随机变量分布的函数就是分布函数； 给定随机变量X，考虑X的值小于x的概率为， 显然它是x的函数，我们称其为随机变量X的分布函数。,几种分布函数,概率分布的描述 离散变量的概率分布由其所有可能取值k的概率来描述。 连续变量的概率分布由其取值范围内的点x的概率密度函数(probability density function, pdf) f(x)来描述。 连续随机变量在单独点上的概率为零，而在某区间上概率可以利用积分得到。 累积分布函数(Cumulative distribution function, cdf)，简称为分布函数。它是随机变量小于或等于某数x的概率，记为F(x)。 对离散变量，分布函数为： 对连续变量，分布函数为：,随机变量的分布（四）,分布函数的性质，则有：,随机变量的分布（五）,分布密度函数(Distribution Density Function),常见的离散分布（一）,二项分布 (Binomial Distribution),常见的离散分布（二）,常见的离散分布（三）,例题：,假设性检验所涉及的小概率事件,常见的离散分布（四）,Poisson分布 衡量某种事件在一定期间内出现的数目的概率。 是单参数离散分布，随机变量取值为非负数。 参数既是分布的均值又是分布的方差。 参数为的poisson概率分布为：,蓝色表示为3，即P(3) 红色表示为6，即P(6) 黑色表示为10，即P(10),Poisson概率分布图例,总体的理论分布 正态分布 对数正态分布 分布 分布 指数分布 Weibull分布 Maxwell分布,常见的连续变量的分布（一）,抽样统计量的分布 样本均值的分布 T -分布 F-分布 分布,正态分布（一）,正态分布是一种具有重要理论和实践意义的连续型理论分布。在环境数据统计分析中，正态分布同样具有重要意义。 一般而言，当随机变量受到很多随机因素的影响，而每一随机因素的影响很小，不起决定性作用时，具有这种特性的随机变量，一般服从正态分布。 还有很大一类随机变量近似服从正态分布。,正态分布（二）,正态分布（三）,正态分布（四）,正态分布（五）,对数正态分布（一）,抽样统计量的正态分布（一）,抽样统计量的正态分布（二）,抽样统计量的正态分布（三）,抽样统计量的 分布（一）,抽样统计量的 分布（二）,抽样统计量的 分布（三）,抽样统计量的 分布（三）,抽样统计量的 t 分布（一）,抽样统计量的 t 分布（二）,抽样统计量的 t 分布（三）,抽样统计量的 t 分布（四）,抽样统计量的 t 分布（五）,抽样统计量的F分布（一）,抽样统计量的 F分布（二）,抽样统计量的F分布（三）,抽样统计量的F分布（四）,Excel中常用统计函数,正态分布函数 NORMSDIST(z) 返回标准正态分布累积函数。 NORMDIST(x,mean,stand_dev,TRUE) 返回指定平均值和标准偏差的正态分布累积函数。 NORMSINV(probability) 返回标准正态累积分布函数的分位数。 NORMINV(probability,mean,stand_dev) 返回正态累积分布函数的分位数。,Excel中常用统计函数,对数正态分布函数 LOGNORMDIST(x,mean,stand_dev) 返回指定平均值和标准偏差的对数正态分布累积函数。 LOGINV(probability,mean,stand_dev) 返回对数正态累积分布函数的分位数。 如果 p=LOGNORMDIST(x,.)，则 LOGINV（p,.）=x。 Probability 是与对数分布相关的概率。 Mean 为 ln(x) 的平均值。 Standard_dev 为 ln(x) 的标准偏差。,Excel中常用统计函数,T分布函数 TDIST(x,degrees_freedom,tails ) 返回学生 t 分布的概率。 TDISTINV(probability,degrees_freedom) 返回作为概率和自由度函数的学生 t 分布的 t 值。 Probability 为对应于双尾学生 t 分布的概率。 X 为需要计算分布的数字。 Degrees_freedom 为表示自由度的整数。 Tails 指明返回的分布函数是单尾分布还是双尾分布。 如果 tails = 1，函数 TDIST 返回单尾分布。 TDIST 的计算公式为 TDIST = P( Xx )。 如果 tails = 2，函数 TDIST 返回双尾分布。 TDIST 的计算公式为 TDIST = P(|X| x) 。,Excel中常用统计函数,CHI-2分布函数（ ） CHIDIST(x,degrees_freedom) 返回 分布的概率（单尾）。 函数 CHIDIST 按 CHIDIST=P(Xx, degrees freedom) 计算。 CHIINV(probability,degrees_freedom) 返回 分布函数的上侧分位数。 如果 probability = CHIDIST(x,.)，则 CHIINV(probability,.) = x 。 Probability 为 分布的概率（单尾）。 Degrees_freedom 自由度 x 为用来计算分布的数值。,Excel中常用统计函数,F分布函数 FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 返回 F 概率分布。 函数 FDIST 的计算公式为 FDIST=P( Xx ) 。 FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 返回 F 概率分布的上侧分位数。 如果 p = FDIST(x,)，则 FINV(p,) = x。 Probability 与 F 累积分布相关的概率值。 X 参数值。 Degrees_freedom1 分子自由度。 Degrees_freedom2 分母自由度。,常见的样本统计量（又称特征量）,样本的二重性 既是一组具有同一分布的观测值数据 又是一组不同次实验时可变化的随机变量 统计量的二重性 既是一个不含未知参数的样本的已知函数 又是一个随机变量（具有特定分布函数）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,正态分布与非正态分布的偏度和峰度,某市大气中PM10全年监测数据时间序列图 -用Excel软件中X,Y散点图工具作图,某市大气中PM10全年监测数据频数分布图 -用Matlab软件中Hist(x)作图,某市大气中PM10全年监测数据正态概率分布图 -用Matlab软件中Normplot(x)作图,某市大气中PM10全年监测数据取对数后的频数分布图 -用Matlab软件中Hist(log(x)作图,某市大气中PM10全年监测数据取对数后作正态概率分布图 -用Matlab软件中Normplot(log(x)作图,常见的样本统计量（又称特征量）,常见的样本统计量（又称特征量）,概率论与统计学的区别与联系