工程图学基础课件(张顺心版)03立体的投影.ppt

第三章 立体的投影,本章内容：,第一节 基本立体的投影 第二节 平面与立体相交 第三节 两曲面立体相交,第一节 基本立体的投影,任何立体都可以看作是由平面、曲面所围成的。按其表面的几何性质不同，立体可分为平面立体和曲面立体两类。,概述,棱锥,圆柱,圆锥,圆球,圆环,常见的平面立体：,常见的曲面立体：,棱柱,一、平面立体,平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合-由直线段组成的封闭图形。,1.平面立体的投影,（1）三棱锥的投影,s,V,H,X,Y,W,Z,A,B,S,C,s,a,a,b,O,(c),c,b,a,a,b,c,s,(c),a,b,s,y,1,2,y,y,2,y,1,s,从本章开始，在投影图中将省略投影轴，省略投影轴后三面投影之间的投影关系不变。利用各点之间的相对距离来确定立体上各点的位置。,（2）正五棱柱的投影,A,B,E,D,C,a,b,c,e,d,A,1,E,1,B,1,C,1,a,1,e,1,b,1,a(a,1,),b(b,1,),c(c,1,),e(e,1,),e(d),a(c),b,e,1,a,1,b,1,(d,1,),(e,1,),Y,X,a,e,b,d,c,e(d),a(c),b,e(e,1,),a(a,1,),b(b,1,),c(c,1,),d(d,1,),a,1,e,1,b,1,d,1,c,1,e,1,(d,1,),b,1,a,1,(c,1,),2,y,y,1,y,1,y,2,作图时，先画出反映顶面、底面实形的水平投影，再画它们的正面和侧面投影，最后画出各侧棱的正面和侧面投影。,2.平面立体投影的可见性判别,1) 在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是 可见的。 2) 在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的交叉直线，可利用重影点来判别可见性。 3)在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见(其中有一个表面可见则交线可见)，两不可见表面的交线为不可见。,点的可见性规定： 若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也认为是可见的。,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,(1)棱柱表面上取点,3.平面立体表面上的点、线,(2)棱锥表面上取点,分析：同样采用平面上取点法。,s,a,b,s,k,a,b,(k),a,b,k,c,(c),c,1,1,(1),s,例1 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的点K的正面投影,求其水平投影,和侧面投影,不可见,例2 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的线段KL的正面投影,求其他两面投影。,s,a,b,s,k,a,b,(k),a,b,k,c,(c),c,1,1,(1),s,l,l,(l),圆柱面的水平投影积聚成一个圆，在另两个投影上分别以两个方向的转向轮廓线的投影表示。,二、曲面立体,1.圆柱体, 圆柱体的投影, 转向轮廓线线的投影与曲面的 可见性的判断, 圆柱体的组成,由圆柱面和两底面组成。,(一)曲面立体的投影,在图示位置，水平投影为一圆。另两个投影为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条转向轮廓线的投影。, 圆锥体的组成,2.圆锥体, 圆锥体的投影, 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断,s,由圆锥面和底面组成。,三个投影分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向转向轮廓线的投影。,3.圆球,圆母线以它的直径为轴旋转而成。, 圆球的投影, 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断, 圆球的形成,1.圆柱表面上的点、线,利用投影的积聚性,(二)曲面立体表面上的点、线,a,d,c,e,f ,b,a,d,c,e,f,b,(b),(f ),(e),c,d,a,例3：已知圆柱面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。,辅助直线法,辅助圆法,s,过锥顶作一条素线。,圆的半径？,2.圆锥表面上的点、线,a,d,c,e,b,a,d,c,e,b,b,e,c,(d),(a),例4：已知圆锥面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。,3.圆球表面上的点、线,a,方法：辅助圆法,注意：可见性的判断,第二节 平面与立体相交,截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。,截平面 截切物体的平面,截交线 截平面与物体表 面的交线,截断面 截交线所围成的图形,讨论的问题：截交线的分析和作图,一、概述,S,A,B,C,P,I,II,III,截断面,截平面,截交线,截交线的性质： 截交线是截平面与立体表面的交集，是共有线。截交线上的点、线，属于两者的共有点、线。 截交线所围成的为封闭的平面图形。 求截交线的问题，实质上就是求平面与立体表面的共有点、线的问题。可用求线面交点的方法，或用求两面交线的方法来解题。,二、 平面与平面立体相交,1.平面截切的基本形式, 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面对平面立体 的截切位置。, 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。,求截交线的实质是求两平面的交线，或者说是求棱 线与截平面的交点。,2. 平面截切立体的画图,(1) 求截交线的两种方法：, 求各棱线与截平面的交点棱线法。, 求各棱面与截平面的交线棱面法。,关键是正确地画出截交线的投影。,(2) 求截交线的步骤：, 截平面与立体的相对位置。, 截平面与投影面的相对位置。,确定截交线 的投影特性,确定截交 线的形状, 空间及投影分析, 画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,补全轮廓线的投影,i,j,f,g,h,f ,j,g,i,h,i,j,f ,g,h,例1 画出截切五棱柱的三面投影, 空间分析, 投影分析, 求截交线, 分析棱线的投影,截平面是什么位置平面？,截平面与体的几个棱面相交？,例2 补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影,解题步骤,1.形体分析,2.求棱线与截切平面的交点,3.整理图形，加深图线,y,y,y,y,三、 平面与回转体相交,1.回转体截切的基本形式,截交线的性质：, 截交线是截平面与回转体表面的共有线。,截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面 与回转体轴线的相对位置。, 截交线都是封闭的平面图形。,2.求平面与回转体的截交线的一般步骤,（1） 空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相 位置，以便确定截交线的形状。, 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的 投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的 已知投影，预见未知投影。,（2） 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。, 先找特殊点，补充中间点。,（3）补全轮廓线的投影。,特殊点指的是： （1）曲线上的特征点，比如椭圆的四个顶点，双曲 线的顶点和端点。 （2）转向轮廓线上的点，这个点常常是截交线可见 与不可见的分界点，或者是轮廓线有和没有的 分界点。 （3）极限位置点，这是确定截交线范围的点。,（一） 平面与圆柱相交,截平面与圆柱的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置,垂直,圆,椭圆,平行,矩形,倾斜,例3：求圆柱被截切后的侧面投影,1.找特殊点,2.补充中间点,3.光滑连接各点,4.分析轮廓素线的投影,思考：截交线的已知投影？ 截交线的侧面投影是什么形状？,例3：求圆柱被截切后的侧面投影,例4：完成缺口圆柱的投影图,6,4,(5),1,2,3,4,5,6,6,5,4,2,1,(3),(1),2,解题步骤,1.图形分析,2.绘制圆柱轮廓,3.求截交线,4.整理加深图线,3,例4：完成缺口圆柱的投影图,例5： 求空心圆柱截交线,解题步骤,1.图形分析,2.绘制圆柱轮廓,3.求截交线,4.整理加深图线,例5： 求圆柱截交线,解题步骤,1.图形分析,2.绘制圆柱轮廓,3.求截交线,4.整理加深图线,Q,V,P,V,2,1,a,b,a(b),1(2),a,1,2,b,I,II,2,1(2),4,2,1,3,III,II,4,3,(3)(4),I,IV,1,当圆柱被两个或多个平面截切时，截交线的求法与上述方法一致，只需分别求出即可。应注意截平面之间的交线的投影。,（二） 平面与圆锥相交,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,例6: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三面投影。,截交线的空间形状？,截交线的投影特性？,1.找特殊点,如何找椭圆另一根轴的端点？,2.补充中间点,3.光滑连接各点,4.分析轮廓线的投影,解题步骤：,例6: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三面投影。,完成,例7: 完成缺口圆锥的三面投影。,1.找特殊点,2.补充中间点,3.光滑连接各点,解题步骤：,例7: 完成缺口圆锥的三面投影。,1.找特殊点,3.光滑连接各点,解题步骤：,2.补充中间点,（三）平面与圆球相交,平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。,例9：求半球体截切后的水平投影和侧面投影,分析：两个侧平面截圆球的截交线 的投影，在侧面投影上为部 分圆弧，在水平投影上积聚 为直线。,例9：求半球体截切后的水平投影和侧面投影,第三节 两曲面立体相交,平面体与回转体相贯,回转体与回转体相贯,复合相贯,一、概述,1.相贯的形式,两立体相交称作相贯，其表面产生的交线称作相贯线。,本节主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。,平面体与平面体相贯,2.相贯线的主要性质,其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。,1) 共有性,2) 分界性,相贯线两立体表面的分界线；,相贯线是两立体表面的共有线；,3) 封闭性,相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。,3.作图方法, 表面取点法。, 辅助平面法。,4. 求相贯线的步骤, 空间及投影分析, 画出相贯线的投影,分析、补全轮廓线的投影,1） 求特殊点 极限位置点、转向点、特征点和结合点,2） 求中间点,3） 光滑连线，判断可见性,连线原则：,在两立体表面上都处于相邻素线（纬线圆）间的点才能相连。,判断可见性的原则：,只有当相贯线所属两立体表面对于某一投影面的投影同时为可见时，其投影才为可见，否则为不可见。,各投影的连线顺序应一致。,二、表面取点法求相贯线,表面取点法求相贯线主要是利用投影的积聚性直接找点，经常用于相交的两曲面立体中有圆柱的情况。,解题步骤 1)求相贯线的特殊点A、B、C 、D ；,a“ b“,c“,d“,1“ (2“),a,cd ,b,1,2,1,2,b,a,c,d,例：求轴线正交两圆柱的相贯线,2) 求出若干个一般点、 等；,3)光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 4)整理轮廓线。,完成,相贯线的水平投影,相贯线的侧面投影,曲面立体相贯的三种基本形式,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。,三、辅助平面法,根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。,作图原理：,假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。,辅助平面的选择原则：,使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如截交线为直线或圆。,大多数情况下选择投影面平行面，也有一些情况下选择投影面垂直面。,例2 半圆柱和圆锥台轴线正交，求其相贯线,1,2,4,3,5,6,8,7,解题步骤 1 分析 相贯线的侧面投影已知； 2利用辅助平面法求出相贯线上的特殊点 、 、 、 ； 3 求出若干个一般点 、； 4 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,完成,例3：求圆柱与圆锥的相贯线,4“,3“,5“,3,3,解题步骤 1 分析 相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点； 2 求出相贯线上的特殊点 、 、； 3 求出若干个一般点 、； 4 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,1,1,1“,2,2“,2,S,I,II,III,I,II,1,(2),(4),3,1,(3),(4),2,四、相贯线的特殊情况,1.相贯线为直线,两共顶的锥体相贯,两平行的柱体相贯,2.相贯线为圆-共轴的回转体,3.蒙诺定理 当两个二次曲面公切于第三个二次曲面时，相贯线为平面曲线。,（1）当两个等径圆柱轴线正交时，两者必能同时外切于一圆球面，其相贯线为两个大小相等的椭圆。若两轴线均平行于正面，相贯线的正面投影为直线段。,（2）当两个等径圆柱轴线斜交时，两者必能同时外切于一圆球 面，相贯线也为两椭圆，但两者大小不等。若两轴线均平行 于正面，相贯线的正面投影为直线段，水平投影仍与直立圆 柱面的水平投影重合,，,（3）当圆柱与圆锥轴线相交时，若两者能同时外切于一圆球面，则相贯线也是两椭圆。如两轴线均平行于正面，相贯线的正面投影为直线段水平投影为相交的椭圆。,a,c,b,d,c,a,b,d,例