2[1].1_一维势场中粒子能量本征态的一般性质

第2章,一维势场中的粒子,引 言,本章主要是用 Schrdinger方程来处理一维粒子的能量本征态问题.,下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点.,一维定态问题数学处理简单，便于严格求解。作为量子体系，同样可展现量子问题的主要特征，因而是处理复杂问题的基础。,设质量为m的粒子在一维势场 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为,（1）,为能量本征值.,为相应的能量本征态.,2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,在求解能量本征方程(1)时，要根据具体物理问题的边条件来定解如束缚态条件, 散射态的边沿条件等.,为此先讨论其一般解有关的七条基本性质其中前4条, 不仅对一维问题成立, 对于三维问题也同样适用.,注 意,定理1,证明：将Schrdinger方程取复共轭即得证。,定理2,对于能级有简并的情况,要用到此定理.,说 明,证明：将用定理1和态叠加原理可证(见P.28)。,定理3,定 义,即把空间坐标,设 具有空间反射不变性， 如 是方程（1）的对应于能量本征值 的解，则 也是方程（1）的对应于能量 的解.,对于一维粒子有,证明：对Schrdinger方程做空间反射可证(P.28)。,如果对应于某能量 方程(1)的解无简并, 则解必有确定的宇称(parity).,对于能级有简并的情况，能量本征态并不一定就具有确定宇称。此时，可以用定理（4）来处理。,定理4,设 则对应于任何一个能量本征值 总可以找到方程(1)的一组解 (每个解都有确定的宇称), 而属于能量本征值 的任何解，都可用它们来展开.,证明：通过构造奇偶函数即可证(P.29)。,适用范围,在坐标表象中, 涉及波函数 及其各阶导数的连续性问题, 应从能量本征方程(1)出发, 根据 的性质进行讨论.,如 是 的连续函数, 则 与 必为 的连续函数.,但是如 不连续, 或有某种奇异性, 则 及其各阶导数的连续性问题需要具体分析.,对于 有限的阶 梯形方位势,（2）,定理5,能量本征函数 及其导数 必定是连续的(但如 ，则定理不成立).,证明：通过证明 的导数连续而得证(P.29)。,（3）,定理6,对于一维粒子，设 与 均为方程（1）的属于同一能量 的解，则,证明：利用Schrdinger方程并积分而得证(P.30)。,定理7,设粒子在规则（regular）势场 中运动( 无奇点) ，如存在束缚态，则必定不简并。,证明：利用定理（6）并积分而得证(P.30)。,由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x) 代入定态薛定谔方程 解方程 解出能量本征值和相应的本征函数 求出概率密度分布及其他力学量,量子力学解题的一般思路,常见的理想位势,自由粒子,方势阱,几种势函数,方势阱是实际情况的极端化和简化,分子束缚在箱子内,三维方势阱,例如,势垒,梯形势 散射问题,势垒 隧道贯穿,其他形式,超晶格,谐振子,量子力学中常用的 二阶常系数齐次线性微分方程的解,对方程,其特征方程为, 一维无限深方形势阱 分立谱,无限深势阱的特点：