材料力学第七章.ppt

7 弯曲应力,回顾与比较,内力,应力公式及分布规律,均匀分布,线形分布,一、纯弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力,7-1 梁弯曲时的正应力,纯弯曲,横力弯曲,1、变形几何关系,2、物理关系,3、静力学关系,纯弯曲的内力,剪力Fs=0,横截面上没有切应力,只有正应力。,弯曲正应力的 分布规律和计算公式,二、弯曲时的正应力,变形与应变,观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况,. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；,. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。,根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：,平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。,此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。,横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴 (neutral axis)。,（f),线应变的变化规律,与纤维到中性层的距离成正比。,从横截面上看：,点离开中性轴越远，,该点的线应变越大。,1、变形几何关系,2、物理关系,虎克定律,弯曲正应力的分布规律,a、与点到中性轴的距离成正比；,c、正弯矩作用下，,上压下拉；,当P时,沿截面高度,线性分布；,b、沿截面宽度,均匀分布；,d、危险点的位置，,离开中性轴最远处.,3、静力学关系,中性轴过截面形心,坐标轴是主轴,中性层的曲率计算公式,EIz,抗弯刚度,4、弯曲正应力计算公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,正应力公式,5、横截面上最大弯曲正应力,截面的抗弯截面系数；。,反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响,最大弯曲正应力计算公式,适用条件,截面关于中性轴对称。,6、常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：,三、横力弯曲,横截面上内力,剪力+弯矩,横截面上的应力,既有正应力，,又有切应力,弹性力学精确分析表明：,横力弯曲最大正应力,四 横力弯曲正应力,对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h 5的细长梁，,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，,误差2%,满足工程中所需要的精度。,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力公式,1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲;,2、横截面惯性积 IYZ=0;,3、弹性变形阶段;,推导弯曲正应力计算公式的方法总结,（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）,（2）“实验观察假设” ：梁弯曲假设,（3）,外力,内力,变形几何关系 物理关系 静力学关系,（4）三关系法,积分,应力合成内力,横力弯曲,应力法,（5）数学方法,注意,（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力，,（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；,从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；,（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力，,（4）中性轴上正应力为零，,并确定该点到中性轴的距离，,而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。,以及该点处应力的符号,（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。,（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;,注意,正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负,及梁的变形状态来 确定。,作弯矩图，寻找最大弯矩的截面,分析：,非对称截面，,例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。,求最大拉应力、最大压应力。,计算最大拉应力、最大压应力,要寻找中性轴位置；,（2）计算应力：,（1）求支反力，作弯矩图,B截面应力分布,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,应用公式,（3）结论,C截面应力计算,C截面应力分布,应用公式,1、C 截面上K点正应力,2、C 截面上最大正应力,3、全梁上最大正应力,4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示,1、截面几何性质计算,确定形心主轴的位置,确定中性轴的位置,确定形心的位置,2. 求支反力,（压应力）,3、C 截面上K点正应力,4、C 截面上最大正应力,弯矩,公式,作内力图,5、全梁上最大正应力,危险截面,公式,6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,弯曲正应力的分布规律,危险点：,距离中性轴最远处；,分别发生最大拉应力与最大压应力；,7-2 梁弯曲时的正应力强度计算,1、塑性材料,抗拉压强度相等,无论内力图如何,梁内最大应力,其强度条件为,通常将梁做成矩形、圆形、工字形等,对称于中性轴的截面；,此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。,因此：,强度条件可以表示为,2.离中性轴最远处。,要综合考虑弯矩M与截面形状Iz,1.弯矩的绝对值最大的截面上；,塑性材料,c、塑性材料制成的,变截面梁,总之，,梁内最大应力发生在：,3 .强度条件为,2、脆性材料,抗拉压强度不等。,内力图形状有关。,梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在,最大应力通常与截面形状，,通常将梁做成T形、倒T形等,关于中性轴不对称的截面。,离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。,由于脆性材料抗压不抗拉，,或者, 脆性材料梁的危险截面与危险点,上压下拉,上拉下压,危险截面只有一个。,危险截面处分别校核：,二个强度条件表达式,危险截面有二个；,每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；, 脆性材料梁的危险截面与危险点,各危险截面处分别校核：,四个强度条件表达式,弯曲正应力强度计算的三个方面,1、强度校核,2、设计截面,3、确定许可载荷,例1：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。,材料的许用应力,分析,（2）危险截面：,（3）危险点,截面关于中性轴对称,弯矩 最大的截面,抗弯截面系数 最小的截面；,危险截面的最上、下边缘处。,（1）轮轴为塑性材料,公式,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,B截面，C截面,（3）危险截面,（4）强度校核,B截面：,C截面：,（5）结论,轮轴满足强度条件,例2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦,材料的许用应力,起重量,跨度,试选择工字钢的型号。,自重,分析,（2）确定危险截面,（5）计算,（6）计算 ，选择工字钢型号,（3）截面为关于中性轴对称,（1）简化为力学模型,（4）应力计算公式,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,（3）危险截面,（4）强度计算,（5）选择工字钢型号,36c工字钢,F=F1+F2,例3：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。,试校核梁的强度。,5、作弯矩图，确定危险截面,6、确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1、脆性材料，,2、寻找形心,3、确定中性轴位置；,4、计算图形对中性轴的主惯性矩,危险截面与内力图有关,（2）求截面对中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,（4）确定危险截面,（3）求支反力，作弯矩图,B截面应力强度计算,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,应用公式,（5）结论,C截面强度计算,应用公式,满足强度条件,例4：一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面 的内外径之比 ，试选择截面直径D；若外径D增加 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？,3、作弯矩图，确定危险截面；,分析：,对称截面；,1、塑性材料，,2、已知图形对中性轴的主惯性矩,5、公式,4、确定危险点，进行强度校核,1、求支座反力，并作弯矩图,FA=FB=ql/2,2、确定危险截面,强度计算,若外径D增加一倍，,不变,例5： 已知 材料的 ，由M图知： ，试校核其强度。,5、确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1、塑性材料，,2、寻找形心,3、确定中性轴位置；,4、计算图形对中性轴的主惯性矩,6、公式,（1）确定中性轴的位置,（2）计算截面对形心主轴的惯性矩,（4）正应力校核,所以结构安全。,问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？,7-4 梁弯曲时的剪应力,横力弯曲,横截面上内力,既有弯矩又有剪力；,横截面上应力,既有正应力又有切应力。,切应力分布规律和计算公式,FA=FB=P,观察AC段内力,Fs=P,=+常量,+M线性规律上升,距离中性轴为y的直线上点的切应力计算公式,、矩形截面梁切应力计算公式,各项的物理意义,1、Fs,欲求切应力的点所在截面的剪力；,2、Iz,欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；,3、b,欲求切应力的点处截面的宽度；,4、Sz*,横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的面积A1对中性轴的静矩。,切应力分布规律,切应力沿截面高度按抛物线规律变化。,中性轴处,最大正应力所在的点,、工字形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,切应力危险点,中性轴处,最大切应力,腹板上的切应力呈抛物线变化；,腹板部分的切应力合力占总剪力的9597%。,工字形截面的翼缘,翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化；,翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。,并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流” 。,T形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,中性轴处,T形截面梁切应力流,、圆形截面梁切应力的分布规律,（）、边缘上各点的切应力与圆周相切。,不能假设总切应力与剪力同向；,（）、同一高度各点的切应力汇交于一点。,中性轴处,（）、竖直分量沿截面宽度均匀分布；,圆形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,沿高度呈抛物线规律变化。,、圆环截面的最大切应力,切应力的危险点,能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上”？,当中性轴附近有尺寸突变时,最大切应力不发生在中性轴上；,当中性轴附近没有尺寸突变时,最大切应力发生在中性轴上；,切应力强度条件,对于等宽度截面， 发生在中性轴上；,在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：,（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。,对于宽度变化的截面， 不一定发生在中性轴上。,一般情况下，,以正应力设计为主，,切应力校核为辅；,(2) 对于较粗短的梁，当集中力较大时，,注意,(4) 薄壁截面梁时，也需要校核切应力。,截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。,(3) 载荷离支座较近时，,截面上的剪力较大；,(5) 木梁顺纹方向，抗剪能力较差;,(6) 工字形截面梁，要进行切应力校核;,（7）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，,该处的切应力为零；,切应力的最大值发生在中性轴上，,该处的正应力为零。,对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。,这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。,注意,例题1：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷F。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,例2铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？,(a) 确定中性轴的位置,(c) 最大静矩：,(b) 计算图形对形心主轴的惯性矩,(1) 平面图形几何性质计算,（2）绘剪力图、弯矩图,计算约束反力：,作内力图,（3）正应力强度计算,对于A截面：,（3）正应力强度计算,对于D截面：,正应力强度足够。,结论,（4）切应力强度校核,在A截面左侧：,切应力强度足够。,危险截面,计算公式,（5）若将梁的截面倒置,此时强度不足会导致破坏。,7-6 提高弯曲强度的措施,1、合理布置支座,一、 降低 Mmax,2、合理布置载荷,降低 Mmax,安装齿轮,靠近轴承一侧；,3、集中力分散,降低 Mmax,二、梁的合理截面,增大抗弯截面系数,截面面积几乎不变的情况下，,截面的大部分分布在远离中性轴的区域,1、合理设计截面,抗弯截面系数WZ越大、横截面面积A越小，,截面越合理。,来衡量截面的经济性与合理性,合理截面,合理截面,伽利略1638年关于两种新科学的对话和证明,“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，,所以在技术上得到广泛应用。,在自然界就更为普遍了，,这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，,它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“,矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。,根据应力分布的规律：,解释,合理截面,合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。,对于塑性材料,宜设计成关于中性轴对称的截面,对于脆性材料,宜设计成关于中性轴不对称的截面,且使中性轴靠近受拉一侧。,2、合理放置截面,竖放比横放更合理。,为降低重量，可在中性轴附近开孔。,三、等强度梁,工程中的等强度梁,工程中的等强度梁,工程中的等强度梁,2、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？,讨论,1、梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转 A：轴线； B：中性轴； C：横截面对称轴；,3、EA均相同，哪一个截面承担的最大弯