线性规划问题的标准型与解的概念

运 筹 学,主 讲 教 师 向宇,第一章 线性规划与单纯形法,3 线性规划问题的标准型与解的概念 3.1 线性规划的标准型,我们规定线性规划的标准型如下： maxZ=c1x1+c2x2+cnxn a11x1+a12x2+a1nxnb1 a21x1+a22x2+a2nxnb2 am1x1+am2x2+amnxnbm x1,x2,xn0,通常称cj(j=1,2n)为价值系数，bi（i=1,2,m)为资源系数；aij为技术系数，或约束系数。在模型中它们是常数。,若记 X=（x1,x2xn）T,C=（c1,c2cn）, b=（ b1,b2bm）T A=（aij）nm =（P1,P2Pn） 则标准型亦可记作 maxZ= CX AX=b X0,或maxZ=, Pjxj= b xj0, j=1,2n,任何形式的线性规划都可以化为与其等价的标准形式。 （1）如果目标函数是 minZ=cx，则可令 Z=-Z，将目标函数变为：maxZ =-cx,（2）如果某约束条件为不等式：ai1x1+ai2x2+ainxnbi 则在约束条件的左端加一个非负变量xn+i,称之为松弛变量，即可变为等式: ai1x1+ai2x2+ainxn+ xn+i =bi,如果某约束条件为不等式：ai1x1+ai2x2+ainxnbi则可在约束条件的左端减一个非负变量xn+i,称之为剩余变量，即可变为等式: ai1x1+ai2x2+ainxn-xn+i =bi,（3）如果xj没有非负限制，则可令xj=xj -xj,其中xj ，xj 0，代入目标函数及约束条件即可。,例3 将线性规划 minZ=3x1-x2 x1+x21 X1-x2-1 x10 化为标准型。,解：,3.2 线性规划解的概念 我们把决策变量的一组取值称为线性规划问题的一个解。满足约束条件的解称为可行解。所有可行解的集合称为可行域。使目标函数达到最优的可行解称为最优解。 在上一节图解法中，我们求得例1问题的最优解是唯一的， 但是线性规划问题的解还可能出现以下几种情况： （1）无穷多个最优解。若例1的目标函数变为maxZ=4x1+2x2 ，就会出现这种情况。见图1-1。,O,X2 60 50 40 30 20 10,10 20 30 40 50 x1,4x1+2x2=120,2x1+3x2=100,Q3,Q2,Q1,图1-1,maxZ=4x1+2x2,Z=6x1+4x2,（2）无可行解。如果约束中存在相互矛盾的约束条件，则导致可行域是空集，此时问题无可行解。 （3）无有限最优解。对下述线性规划问题 maxZ=x1+x2 -x1+x24 x1-x22 x1,x20 用图解法求解结果见图1-2。,图1-2,x2,4,2,2,4,0,x1,从图中可以看出可行域无界，在可行域中找不到最大值点，目标函数值可以增大到无穷大，称这种情况为无有限最优解或无界解。,x1-x2=2,-x1+x2=4,Z=x1+x2,线性规划基解的概念 记线性规划问题为 maxZ= CX （L） AX=b X0 基：设A是mn阶约束系数矩阵（mn）,秩A=m. A=（ P1,P2,Pn ）,则A中一定存在m个线性无关的列向量，设为Pj1,Pj2,Pjm,称可逆矩阵B=（Pj1,Pj2,Pjm）为线性规划（L）的一个基，称B中的列向量对应的变量 xj1,xj2,xjm为基变量，其余变量称为非基变量。 基本解：记基变量为XB=（xj1,xj2,xjm）T，非基变量构成的列向量记为XN，并令XN =0，则有AX=Pjxj=BXB=b，于是有 XB=B-1b。称XB=B-1b， XN =0为线性规划（L）的一个基本解。 基（本）可行解：若基本解中XB=B-1b0，则称该解为基可行解， 这时基B也称为可行基。,显然，基可行解的数目基解的数目,例4 求出下面线性规划的所有基本解，并指出哪些是基可行解。 maxZ=2x1+x2 3x1+5x215 6x1+2x224 x1,x20,解 ：标准化得 maxZ=2x1+x2 3x1+5x2 + x3 = 15 6x1+2x2 + +x4= 24 x1,x2, x3, x4 0,系数矩阵 A= ,秩A=2,取B1=（ P1,P2 ）=,同理,取B2=（P1,P3）,可得,取B3=（P1,P4）,可得,取B4=（P2,P3）,可得,同