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带约束的二次规划,刘鹏,线性规划与非线性规划,线性规划(Linear Programming) 在一组线性约束定义的区域上，对一个线性函数进行极小化（或者极大化）的问题，其数学模型可以表示为 满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域,线性规划与非线性规划,非线性规划(Nonlinear Programming) 非线性规划的数学模型可以表示为 在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的 当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题， 否则称为约束优化问题,凸集、凸函数与凸优化,凸集：如果某个集合中任意两点连起来的直线都属于该集 合，则称其为凸集，否则为非凸集 非凸集 凸集,凸集、凸函数与凸优化,凸集的数学定义：是凸集当且仅当 成立,凸集、凸函数与凸优化,线性约束的可行集是凸集 证明：,凸集、凸函数与凸优化,凸函数 凸规划 目标函数为凸函数，可行集为凸集的规划问题,Karush-Kuhn-Tucker条件,对于非线性规划问题 引入Lagrange函数： 其关于x的梯度为：,Karush-Kuhn-Tucker条件,KKT条件可以表述为 这三行分别表示可行性条件、目标函数梯度的线性表示条件以及互补松弛条件 对于线性不等式约束的非线性规划问题，KKT条件是局部 极小值点的必要条件 对于凸规划问题，KKT条件是全局最优解的充要条件,二次规划,二次规划是非线性规划的一种特殊形式，其数学模型为： 约束条件为线性约束，故其可行集为凸集 目标函数为非线性函数，当Hesse矩阵Q是非负定矩阵时， 目标函数为凸函数，此时优化问题为凸二次规划问题,二次规划,二次规划的KKT条件为： 凸二次规划的KKT解就是全局最优解 非凸二次规划的KKT解为局部极小值点 求解凸优化问题转化成求解KKT解的问题,二次规划,简单的KKT条件可以直接求解，复杂的可以采用投影梯度法求解 MATLAB程序 线性规划,二次规划,MATLAB程序 二次线性规划,二次规划,输出可调整为 为自变量 为目标函数值 迭代收敛到 超出设定的迭代次数 优化问题无界或者不可行 优化算法类型 算法的迭代次数 不等式约束的乘子,等式约束的乘子,变量下界和上界,案例分析,假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 的预期收益均值为 ， 方差 表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度 令 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 表示一个投资组合，则其对应的收益率为 记第i和j种项目投资收益率的相关系数 投资组合收益率R的方差为,案例分析,令收益率的协方差矩阵为 ，则上式可记为 令预期收益满足 在满足收益率条件下最小化风险模型：,案例分析,预期收益不小于8.5,案例分析,各项投资比例为：0.5418,0.2510,0.0503,0.1569 风险最小值0.6137*2=1.2274,结语,规划问题属于运筹学（Operations Research）范畴，其计算使用L
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