斯特林公式及其精确化形式.doc

韩 山 师 范 学 院学 生 毕 业 论 文（2012届）题目（中文） 斯特林公式及其精细化形式 （英文） Stirling formula and its exact form 系别： 数学与信息技术系 专业： 数学与应用数学 班级： 20081114 姓名： 林浩生 学号: 2008191137 指导教师： 陈秋锐 （经济师） 韩山师范学院教务处制诚 信 声 明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献2的作者蔡永裕没有解决的问题。关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs 2 Cai Yongyu left.Key words: Stirling formula;improved;error;relative error目录 1. 斯特林公式的探求过程（1）1.1用和对对n！进行估计（1）1.2用对n！进行估计（3）1.3改进的形式（5）1.4证明斯特林公式（6）2. 用计算机求斯特林公式的精细化形式（7）2.1猜想斯特林公式的改良式（7）2.2构造改良式函数f（n）（8）2.3用线性回归求f（n）（11）2.4改良式的简单形式（12）3. 改良式的相关证明（12）3.1 n!的相关定理和推论（12）3.2证明改良式比斯特林公式更好（13）3.3求改良式的误差及相对误差范围（14）4.结束语（16）参考文献（17）致谢（18）斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。DeMoivre最先得到斯特林公式（1718年）；接着James Stirling在1730年又重新得到它。后来有一些教授、学者运用数学的推理证明，得到更精确的形式，例如徐利治教授和赵岳清。当然也有少数学者用数学实验来猜想它的改良式，但他们没有证明它比斯特林公式更精确，也没有求出它的误差范围。本文通过研究斯特林公式的探求过程，再通过计算机的实验结果，得出它的改良式，并证明它确实比斯特林公式的估值更精确，给出它的误差范围和相对误差范围，并与其它改良式作比较。 1. 斯特林公式的探求过程斯特林公式：，目前有许多文章论述斯特林公式的证明,不过都是在知道斯特林公式后, 给出证明相应的方法,虽然当中有一些是简化证明，但是我们不知道如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探索过程。有些令人有“美中不足”的感觉。本文我们就试着来补上这个缺憾, 展示一种推测式的猜想过程。这只是其中的一种猜想过程, 因为登一座山可以有各种不同的路径, 路径越多越美妙（用函数的观点来探求）。1.1用和对对n！进行估计首先观察 n! = n（n1）（n2） 3 2 1，令函数，我们知道这是一个增长很快的函数。在高中时，我们学过一个增长很快的指数函数，但是,故低估了n!，在这里我们把指数函数变形为（a为一个确定的正整数），但是无论a取哪一个确定整数，我们可以得到。于是继续追寻，如果将变形为（x0），显然这个函数的增长会更快。由于（n个n相乘），显然，故高估了 n!。不过也不错,因为我们找到了一个比n!更大的估计式，但是因为要远远比n!大很多，当n趋向于正无穷时，它们的差的绝对值太大了。那么我们如何找一个比更小的数？现在将函数变形为，即（n个相乘）,显然是一个比更小的估计式。令 （1）如果，那么就是我们所要的估计公式。由算术平均大于等于几何平均定理知1事实上可以用数学归纳法证明:考虑（1）式中的数列, 我们的目标是探求极限 。 现在就来计算极限 （2）由可得首先注意到是一个递减的正项数列, 由实数系的完备性知存在，且 （3）定理11: 设为一个正项数列。 如果 且, 则。如果 不成立, 则可能有三种情形:或 或 不存在。从（2）式中，我们知道不成立, 故下列三者之一成立:或或 不存在。配合（3）式可得, 所以 还是高估了 n!。1.2用对n！进行估计 由这个式子4，可以寻找到比更小的估计式。令，则。如果，那我们就可以用做为n！的估计式。由可得，可知数列为一个递增数列，故存在，且。Wallis公式（1656年）1：由Wallis公式，可得 （4）由可得将述两式代入Wallis公式得 （5）如果是一个确定的数，则由（5）式得，这是一个矛盾。因此，所以 低估了 n!1.3改进的形式我们可以得到不等式，但是很难从2到e之间找到一个数来改进，于是尝试将变形为。令，则比较与e的大小转化为比较它们的对数大小：与的大小。由级数展开公式：令，则，于是 （6）1）当时，由（6）式可知即，故因此递减，于是存在且。如果，由Wallis公式会得到一个矛盾。于是，即。2）当时，将（6）式中的5，7，9都改为3，可得当n比较大时，则，即。因此递增，故存在且。如果，由allis公式得到一个矛盾。于是，即。由上述结论可得，取，即将变形为。1.4证明斯特林公式斯特林公式1： ，即当时，。证明：令，得代入Wallis公式，可得 （7）而，利用（6）式知，可得，即数列是递减正项数列。由此可知存在，且。将代入（7）式，可得，从而，即。2. 用计算机求斯特林公式的精细化形式虽然我们已经得到了斯特林公式,但是除非n足够大,否则在实际运用方面，其精确度不够高,于是寻找其改良式。2.1猜想斯特林公式的改良式2泰勒公式展开：从上面可以看出:e和n!之间有一定的关系。在计算e时要使用到足够大的n,为什么在计算 n!时, 斯特林公式的e就要用精确值去代入呢?为何不配合n值去作一些修正呢?也许用一个由e的渐近相等值E,就能提高斯特林公式的精度。猜想斯特林公式的改良式： （8）如果这个假设可行, E 值如何求得呢?2.2构造改良式函数f（n）2由（8）式，可得 （9） （10） （11）将图1中数字代入（11）式计算可求得（精确之E值）如图2。既然E是e的渐近相等值:1） 它必随着n值的变大而趋近（令E是一个以e的次方之n的函数）。2） lnE与（e的次方）相等,数值见图2。3） 因为n趋近于无限大时,E值与e相等,所以（e的次方）此次方必定趋近于1。4） （e的次方）的函数必定可以（1减掉（n的函数）的倒数）来表示之。因为随着 n的增大,就可以满足前面的条件。5）用f（n）表示（e的次方）的函数，则 （12） （13）利用图2与（13）式, 可得到f（n）值,如图3。借助数值回归的方法，求f（n）。图1 n!之精确值图图2 精确E值与lnE值图图3 f（n）值图2.3用线性回归求f（n）21） 以 n 的一次式线性回归, 得 （14）相关系数，由于相关系数不够接近1，不理想。2） 以 n 的二次式线性回归,得 （15）相关系数，由于相关系数等于1，理想。将（15）式修正为 （16）2.4改良式的简单形式由（12）式与（16）式，可得 （17）将（17）式代入（8）式，可得 （18）3. 改良式的相关证明现在已经得到了斯特林公式的改良式，但它是否比斯特林公式和其它改良式更好呢？它的误差范围和相对误差范围是多少？3.1 n!的相关定理和推论定理23： 记， ，则当时， （19）在定理2中取 k = 3 得到 （20）在定理2中取k=2得到 （21）由（20）式和（21）式可得到推论1。推论1 3当时， （22）3.2证明改良式比斯特林公式更好由（18）式，可化简为由不等式的基本性质可证明得到： （23）由，可得当时，则令，则 （24）因此，由（22）式、（23）式和（24）式可知：斯特林公式的改良式比斯特林公式更好。3.3求改良式的误差及相对误差范围由（23）式可知，令 （25）故， x的最好可能值是。当时，上面（25）式成立，故 （26）由基本不等式的性质，可得： （27）由（20）和（27）式，可得： （28）设改良式的误差为p,由（28）式和（26）式,可得设改良式的相对误差为q,则因此斯特林公式的改良式的误差小于，相对误差小于。从以上证明结果，我们可以知道：1）作为的估计式，它比估计式和更精确。同理，我们还可证明它比估计式更精确。2) 当时，使用本文所提的斯特林公式的改良式估计 的值 , 就能将相对误差降到百万分之一以下； 当时, 甚至已将相对误差降到亿分之一以下,可见其实用性非常高。4.结束语本文对斯特林公式公式进行探求的过程，并结合计算机的实验结果，得出具有相对经济性的更精确的斯特林公式的改良式作为的估计式，运用传统的数学方法对这种精确形式进行验证，证明它比斯特林公式更加精确，并得出它的误差小于和相对误差小于，并与其它改良式、和作比较，可见其实用性非常高。17参考文献1 蔡聪明.谈 Stirling公式 J.数学传播，1982,17(2)：1-8.2 蔡永裕. Stirling公式的改良J.数学传播,1985,20(4)：54-63.3 赵岳清. Stirling公式参数的