北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案.doc

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案知识网络：目标认知考试大纲要求：1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；2.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题.4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.重点：1.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.知识要点梳理知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n2时的，（3）如果令n2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则，2.迭乘累乘法：，则，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1在数列中，求.解析：，当时， ，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.总结升华：1. 在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式1】已知数列，求.【答案】【变式2】数列中，求通项公式.【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意， ，又，当时，当时，符合上式.总结升华：1. 在数列中，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.2若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，求.【答案】【变式2】已知数列中，求通项公式.【答案】由得， ， ， 当时， 当时，符合上式类型三：倒数法求通项公式3数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为d=5，首项，.总结升华：1两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，求.【答案】【变式2】数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4已知数列中，求.法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且法二： 由得：设，则数列为等比数列法三：，总结升华：1一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，求【答案】令，则，即，为等比数列，且首项为，公比，故.【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，数列是以为首项，3为公比的等比数列，. .类型五：和的递推关系的应用5已知数列中，是它的前n项和，并且, .(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：（1）因为，所以 以上两式等号两边分别相减，得 即，变形得 因为 ，所以 由此可知，数列是公比为2的等比数列. 由, 所以, 所以, 所以.（2） ，所以 将 代入得 由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项， 故.（3），所以 当n2时， 由于也适合此公式， 故所求的前n项和公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求的通项公式.【答案】（1）， ， 又 ， 是一个首项为1公比为的等比数列； （2） 是一个首项为1公比为的等差比数列 【变式2】若, ()，求.【答案】当n2时，将代入, , 整理得 两边同除以得 （常数） 是以为首项，公差d=2的等差数列， ， .【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.【答案】为等差数列，公差设为, , , , 若，则, . ， , , , -得 类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨： 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.解析：设将旗集中到第x面小旗处，则 从第一面旗到第面旗处，共走路程为了， 回到第二面处再到第面处是， 回到第三面处再到第面处是， ， 从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为， 从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为202， 总的路程为： ，时,有最小值 答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（ ）A B C D【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为， 则【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）A1.5万元 B2万元 C3万元 D2.5万元【答案】B；解析：本金利息利率，利息利息税税率利息（元），本金（元）【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月【答案】C； 解析：第个月份的需求量超过万件，则解不等式，得，即.【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用. 当且仅当，即（年）时等到号成立. 因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)20=1240（万平方米）， 2008年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20=1282（万平方米）， 2007年底的住房面积为1240万平方米； 2008年底的住房面积为1282万平方米.（2）2007年底的住房面积为1200(1+5%)20万平方米， 2008年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20万平方米， 2009年底的住房面积为1200(1+5%)320(1+5%)220(1+5%)20万平方米， 2026年底的住房面积为1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)20 万平方米 即1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)1820(1+5%)20 2522.64（万平方米）， 2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.高考题萃1（2008四川）设数列的前项和为.（）求；（）证明：是等比数列；（）求的通项公式.解析：（）因为，由知，得 所以，（）由题设和式知所以是首项为2，公比为2的等比数列.（）2（2008全国II）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解析：（）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是3（2008天津）已知数列中，且（）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项解析：（）由题设，得，即又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）由（），将以上各式相加，得所以当时，上式对显然成立（）由（），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得 整理得，解得或（舍去），于是另一方面，由可得所以对任意的，是与的等差中项4（2008陕西）已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：解析：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知，原不等式成立另解：设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）由（）知，对任意的，有 令，则，原不等式成立 学习成果测评基础达标：1若数列中，且(n是正整数)，则数列的通项=_.2对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是_.3. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是， 且，则数列的前10项和为_.4. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则 _5已知数列中，, ()，求通项公式.6已知数列中，求的通项公式.7已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式. 8设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和能力提升：9数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和10数列的前n项和为, 已知是各项为正数的等比数列，试比较与的大小关系.11某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，以表示到第年末所累计的储备金总额（）写出与的递推关系式；（）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列122007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2008年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2007年底绿化面积为，经过n年后绿化的面积为，试用表示；（2）求数列的第n+1项；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）综合探究：13已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数.（）用表示；（）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；（）若，是数列的前n项和，证明.参考答案：基础达标：1.答案：解析：由题设的递推公式可得 即, 2答案：2n+1-2解析：， 曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为（2，-2n）, 所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得,令. 数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-23. 答案：9784. 答案：5解析：将递推关系整理为 两边同除以得 当时， ， 将上面个式子相加得到： ，即， （）. 当时，符合上式 故.6.解析：由题设 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ， 即的通项公式为，7. 解析：由，解得或， 由假设，因此， 又由， 得，即或， 因，故不成立，舍去 因此，从而是公差为，首项为的等差数列， 故的通项为8. 解析：（）， 当时， -得， 在中，令，得符合上式 （）， ， -得 即，能力提升：9解析：（）， 又， 数列是首项为，公比为的等比数列， 当时， （）， 当时，； 当时， ， ， 得： 又也满足上式， 10. 解析：为各项为正数的等比数列，设其首项为，公比为, 则有, ，(), ，即 （1）当时，, 而, 时，. （2）当时，, 当时， 当时， 当时， 综上，（1）在时恒有 （2）在时，若则； 若则； 若则.11. 解析： （）（）， 对反复使用上述关系式，得 ， 在式两端同乘，