创意折叠椅论文.doc

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 01008014 所属学校（请填写完整的全名）： 北京交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王蜀秋 2. 毛学耕 3. 陈浩威 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王兵团 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 创意平板折叠桌摘 要本文围绕创意平板折叠桌动态变化问题，建立了钢筋运动模型，运用几何分析、发明问题解决理论，并设计了求木条长度、槽长、桌脚边缘线等算法，利用CAD、MATLAB、R语言、Visual C+ 6.0对问题进行求解。针对问题一，给定长方形木板具体尺寸以及折叠桌的相关参数，设计了求木条长度、槽长、桌脚边缘线等算法，首先用软件CAD画出长方形平板平面示意图，并设定中间的圆经过木条宽的中点，利用勾股定理等知识求解各个木条长度，根据投影法求解空槽长，然后以一侧的两条最外侧木条连线所在直线为x轴，两桌脚连线中点为原点建立三维坐标系，用投影法及勾股定理算出各个桌脚的坐标，编程用Visual C+ 6.0实现，曲线拟合利用R语言实现，并得出函数表达式，又利用设置的变量描述折叠桌的动态变化模型。针对问题二，只给定折叠桌的直径和高度，需给出最优设计和加工参数。首先运用发明问题解决理论中的冲突解决原理和冲突解决矩阵定性分析出若想同时尽量满足产品稳固性好、加工方便、用材最少这三个特性，应该做维数和参数方面的修改，以及利用逆向思维，然后根据受力分析以及桌脚与地面接触面积的分析进行定量计算，并且得出当钢筋滑到最短木条的最低端时，用材最少，最后得出最优加工方案，得出最长木条为78.21cm，与地面夹角为63.2度。针对问题三，在问题一和问题二的基础上，提出了设计折叠桌的一些注意事项，并给出了设计此款软件的设计流程，利用这些结果设计出一款新的折叠桌，并用一些图形表示了其动态变化过程。关键词：折叠桌；动态变化；几何分析；发明问题解决原理1、 问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计以及加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。2、 问题分析本题主要研究折叠桌动态变化问题以及给定某些参数设计最优加工方案。问题一中给定长方形木板具体尺寸以及折叠桌的相关参数，首先从二维开始，用画图软件画出长方形平板平面示意图，并设定中间的圆过木条宽的中点，利用勾股定理等知识求解木条长度，再用投影法求解槽长，此处设当折叠椅稳定时，钢筋到达槽的底端，然后建立三维坐标系，用投影法及勾股定理算出各个桌脚的坐标，曲线拟合利用R语言实现，并得出函数表达式。 问题二中只给定折叠桌的直径和高度，需要给出最优设计和加工参数。首先运用发明问题解决理论定性分析出若想尽量满足产品同时稳固性好、加工方便、用材最少，应该做维数和参数方面的修改，然后根据受力分析以及桌脚与地面接触面积的分析进行定量计算，根据并且得出当钢筋滑到最短木条的最低端时，用材最少，最后得出最优加工方案。针对问题三，在问题一和问题二的基础上，提出了设计折叠桌的一些注意事项，并给出了设计此款软件的设计流程，利用这些结果设计出一款新的折叠桌，并用图表示了其动态变化过程。此外，本题是个实际问题，现实中需要考虑的因素圆圆多于题目本身，如何使模型更加贴近实际，并能根据模型设计出让客户满意的产品是本文面临的一大困难，通过查阅大量资料与文献，并进行适当的、合理的假设，对平板折叠桌的动态变化进行分析。3、 模型假设假设一：木板材质对设计无影响假设二：相邻两根木条之间没有缝隙假设三：不考虑实际加工的误差假设四：钢筋尺寸忽略不计假设五：木条与桌面紧密相连假设六：钢筋经过平板每条木条空槽的最顶端（即最靠近桌面的一端），亦经过折叠桌每条木条空槽的最底端（即最靠近地面的一端）4、 符号说明 各个木条长度 长方形平板宽度 长方形平板长度 桌子高度 各个木条槽长 木条宽度 最外侧木条旋转的角度5、 模型建立与求解5.1折叠桌动态变化的模型5.1.1折叠桌各参数的求解 问题一给定了长方形木板和木条的具体尺寸并确定了钢筋的位置，因长方形木板水平垂直都对称，所以以下仅计算长方形木板或折叠桌的四分之一部分。求木条长度首先用CAD按照比例画出长方形木板的俯视图（如图1），为方便计算各个木条长度，在二维空间内，此处设定直径为木板宽度的圆形过木条宽的中点，根据勾股定理求出各个木条的长度。以最外侧木条为例 记最外侧木条序数为1，中间木条序数为10，则从最外侧木条向中间数起的第根木条序数为，设各个木条中点至垂直于木条的直径的距离（即到的距离）为，到的距离为，中点至最外侧木条中点的距离为，有以下等式： 经计算，得从最外侧木条至中间第十根木条的长度依次为52.19,46.83,43.46,41.00,39.12,37.67,36.58,35.79,35.28,35.03（单位：cm）最外侧木条与地面夹角按图一钢丝箭头方向投影，可得投影图如下：由于桌面与地面保持水平，且每条木条有铰链固定，其在运动时总保持在该木条所在直径与竖直线所构成的平面内，最外侧木条的中点也就是投影图的，与竖直线的中点 处于同一条水平线上。、三点构成一个直角三角形，设最外侧木条与地面夹角为 求槽长以从最外侧木条数起的第二条为例：由假设六知，空槽最底端到的距离（即到的距离）与空槽最顶端到的距离的差值为空槽的长度，与的距离为 ，到的距离为，到的距离为 ，到距离为，空槽最顶端到的距离为 。经计算，得从最外侧木条至中间第十根木条的空槽长度依次为0，4.35，7.67，10.37，12.59，14.40，15.80，16.85，17.53，17.87（单位：cm）求各木条底端三维坐标把每条木条底端看似成一个点，因折叠桌前后对称，所以以下以折叠桌的四分之一部分来计算，建立三维坐标系，使折叠桌的四分之一垂直落于第一象限，最外侧木条末端落于x轴正方向上，假设其坐标为（25，0，0）。以下以求第二根木条末端坐标 为例：由相似三角形得 即因为以中间两条木条接触的面位于yOz上，可得 由图5可知，即为此点的y坐标 且由可得即为所求，以下为折叠桌一侧桌脚的坐标：5.1.2桌脚边缘线数学描述 确定折叠桌一侧的各木条底端的坐标后，用R语言编程拟合曲线并得出曲线方程，曲线方程为11.08-0.2319x2+2.543y+0.9469y2-z=0，拟合曲线如图6所示 图65.2讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数5.2.1 理论分析发明问题解决理论（TRIZ）最先是由俄国学者 G .S . Altshuller及其同事于1946年提出的，并不断完善至今。TRIZ理论认为，发明问题的核心是解决冲突，未克服冲突的设计不是创新设计。产品进化的过程是不断解决产品所存在冲突的过程。一个问题解决的困难程度取决于对该问题的描述或程式化方法，描述得越清楚，问题的解就越容易找到。也就是说，发现问题求解的过程是对问题的不断描述、不断程式化的过程。发明问题的核心是解决冲突，而解决冲突所应遵循的规则是：“改进系统中的一个零部件或性能的同时不能对系统或相邻系统的其他零部件或性能造成负面影响。”冲突分为管理冲突、技术冲突和物理冲突。此题主要考虑技术冲突。解决技术冲突的TRIZ方法则是利用冲突解决矩阵获得可用的冲突解决原理，图7表明问题求解的全过程。 一般解 应用67条原理 一般问题应用48个参数将问题一般化特定问题 特定解具体化.图7问题二中要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。稳固性好希望最外侧木条与地面的夹角恰当、钢筋的位置恰当，木条根数恰当，各木条槽长恰当；而木条根数越少，槽长越短，加工越方便；用材最少则体现在按要求完成设计后，所用木板长和宽最小。可以看出，稳固性好和加工方便存在技术冲突，稳固性好与用材最少存在技术冲突。根据48个通用工程参数表得出结构的稳定性参数为21，加工方便即可制造性参数为41，静止物体的尺寸参数为4；从冲突解决矩阵表可以看出，稳固性好和加工方便存在技术冲突时，第25,35,24,03,15,05,19条原理可用，其中第35条原理参数变化，第15条原理为动态化，可以改变一些参数来解决冲突；稳固性好和加工方便存在技术冲突时，第17,04,35,37,13,01,40条原理可用，其中第17条原理为维数变化，可以在求解过程中综合利用二维和三维坐标，并做适当参数变化。5.2.2设计方案一（1） 折叠桌受力分析 折叠最外面的四条桌腿是直接接触地面，承受来自地面的支撑力和桌面的压力，因为木腿的支撑力和桌面的压力的作用线不在同一条直线上，所以这些力会产生弯矩，破环桌子的稳定性。如图所示而平板折叠边桌的其余木腿在折叠立起来的时候，各条木腿渐渐内收，从而最外侧的四条木腿提供约束力，使得桌子的稳定性得以保持。由于约束力与四条木腿的受力正交分解之后相互抵消，所以，当最外侧的木腿与桌面成的夹角等于向内收的最多的木腿与桌面所成的夹角，也就是最外侧木腿桌面内收木腿的截面形成以桌面截面为底边的等腰三角形时，桌子最稳定。如图所示 而用材最少则是当折叠桌稳定时，钢筋滑到最短木条的最底端，加工方便则是满足上述条件后使木条根数尽可能少。（2） 参数求解以圆形桌面圆心为原点，木板宽所在直线为x轴，木板长所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，图 是俯视图，木板长为l，宽为d，钢筋与x轴距离为m，设木条旋转角度为时，折叠桌达到最稳定状态。为方便计算，此题以及下一题计算时不考虑木板厚度，且假设最长木条长度为，最短木条长度为，且令木条宽度与问题一中的保持一致。一侧钢筋A点坐标为，旋转角后，A点坐标变为，最短木条底侧B点坐标为，此时最短木条旋转角度为，且OBM构成三角形，当折叠桌最稳定时，角OMB为，根据余弦定理得 桌子高度与最长腿长的关系为 对任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，可以求出钢筋距x轴的距离m和平板长度l的关系，且满足关系式。当d=80cm,H=70cm时，得出钢筋距x轴的距离m和平板长度l的关系为。5.2.3设计方案二首先对木条进行编号，从外数第一根木条编号为1，第二根编号为2，以此类推。考虑桌脚与地面的接触面积，当接触面积越大，桌子的稳定性越高，但考虑加工方便以及用材尽可能少，当编号为2的木条与地面垂直时，能够达到使折叠桌稳定性提高，且用材最少的目的。因为假设编号为3的木条与地面垂直时，则第一根与第二根木条与地面的夹角为锐角，根据三角形原理，第一、二根木条的长度一定大于第三根木条的长度，其他同理可得。具体算法如下：按照问题一求木条长度的公式，可以得出第二根木条的长度为 且，可以从中算出长方形木板与木条宽度的关系，且木条宽度已知。综合两种设计方案，当最外侧的木腿与桌面成的夹角等于向内收的最多的木腿与桌面所成的夹角，也就是最外侧木腿桌面内收木腿的截面形成以桌面截面为底边的等腰三角形，钢筋滑到最短木条的最底端，且从外侧数第二根木条与地面垂直时，设计方案最优，得出最长木条为78.21cm，与地面夹角为63.2度。5.3根据所见模型设计新的平板折叠桌在问题一和问题二的基础上，提出了设计折叠桌的一些注意事项，并给出了设计此款软件的设计流程，利用这些结果设计出一款新的折叠桌，并用图表示了其动态变化过程。流程图如下：6、 模型改进与推广6.1模型优点本文采用的发明问题解决理论，是客观存在的，其中的原理不仅能被确认，也能被整理而形成一种理论，掌握该理论的人不仅提高发明的成功率、缩短发明的周期，也使发明问题具有可预见性。6.2模型缺点针对问题二虽然给出了最优设计方案，但是没有完整的算法能够证明，并且针对问题三由于能力有限，只给出设计流程，未能完成编码。6.3模型改进 针对问题二，考虑稳固性好，加工方便，用材最少这三个因素，若应用多目标非线性规划，设置相关变量参数，列出目标函数和约束条件，用MATLAB或者LINGO求解，会有更接近的结果。6.4模型推广 处在信息社会中的折叠家具设计，与其他产品设计一样，面临着激烈的市场竞争与挑战。折叠家具的设计需要考虑的因素比以往更为复杂。运用发明问题解决理论 （TRIZ）指导折叠家具的设计，有助于设计出符合消费者需求并且具有市场竞争力的产品。 参考文献：1姜启源.数学模型M.高等教育出版社:北京,20032檀润华,张国红,焦建新,张鹏越.产品设计中的冲突及解决原理J.河北工业大学学报,2001,30(3)3林佳欣,聂桂平.基于TRIZ理论的折叠家具设计研究J.东华大学学报, 2011, 37(4): 14-17 4卓金武,Matlab在数学建模中的应用M,北京：北京航空航天大学出版社,20115司守奎,孙玺菁,数学建模算法与应用M,北京:国防工业出版社,20116 TRIZ_2003矛盾矩阵表简介, /view/fdbfcdc4910ef12d2af9e77d.html,2014年9月13日72003版矛盾矩阵表/link?url=3lPoQ6dSWB2tI7QI_YlVxl8bAL7YQSuUBju-_DaGKwPj0368iTX60olCVkh85JTxZaJtvUwU3mtFHk2iLhepHHm9vtswX8gNnMvMiSHFMX3,2014年9月13日8蔡国梁,李玉秀,王世环.直纹曲面的性质及其在工程中的应用J.数学的实践与认识,2008,38(8):98-102附录一：计算桌腿长度程序（Visual C+ 6.0实现）#include#includeint main ()int i;double m,r,a,b;for(i=1;i11;i+)a=25-(1.25+2.5*(i-1);b=pow(a,2);m=sqrt(625-b);r=60-m;printf(r=%.2fn,r);return 0;附录二：计算木条空槽长度程序（Visual C+ 6.0实现）#include#includeint main () int i;double a=52.19,46.83,43.46,41.00,39.12,37.67,36.58,35.79,35.28,35.03;double b,m,p,q;b=sqrt(pow(a0/2,2)-625);for(i=1;i10;i+)m=a0-ai; p=sqrt(pow(b-m,2)+625); q=p-ai+a0/2; printf(%.2fn,q);return 0;附录三：附录一二整合（Visual C+ 6.0实现）#include#include#includeint x,y,z,h;int i,j;int main ()float x,y,z,h;printf(请输入圆直径、木条宽度、木板长度、桌子下平面距地面高度：n); scanf(%f%f%f%f,&x,&y,&z,&h); double m,r,a,b,c,n,o,q;double p10;for(j=1;j11;j+)a=x/2-(y/2+y*(j-1);b=pow(a,2);m=sqrt(pow(x/2,2)-b);r=z/2-m;pj-1=r;printf(r=%.2fn,r);c=sqrt(pow(p0/2,2)-625);for(i=1;i10;i+)n=p0-pi; o=sqrt(pow(c-n,2)+625); q=o-pi+p0/2; printf(q=%.2fn,q);附录四：计算桌脚三维坐标程序（Visual C+ 6.0实现）#include#includeint main () int i;double s=35.03,35.28,35.79,36.58,37.67,39.12,41.00,43.46,46.83,52.19;double l=26.81,26.72,26.54,26.29,25.97,25.62,25.27,25.03,25.09,26.095;double x,y,z,h;for(i=0;i8;i+)h=50-25*si/li;x=2.5*(i+1);y=sqrt(pow(s9,2)-pow(50,2)+sqrt(pow(si,2)-pow(50-h,2)-(s9-si); printf(%.2fn,h);printf(%.2fn,x);printf(%.2fn,y);for(i=8;i10;i+)h=50-25*si/li;x=2.5*(i+1);y=sqrt(pow(s9,2)-pow(50,2)-sqrt(pow(si,2)-pow(50-h,2)-(s9-si); printf(%.2fn,h);printf(%.2fn,x);printf(%.2fn,y);return 0;附录五：桌脚边缘线拟合程序（R语言实现）x=c(seq(-25,-2.5,2.5),seq(2.5,25,2.5)y=c(0,5.64,8.36,9.75,10.44,10.64,10.67,10.57,10.5,10.45,10.45,10.5,10.57,10.67,10.64,10.44,9.75,8.36,5.64,0)z=c(0,3.34,6.59,9.44,11.83,13.74,15.21,16.29,16.99,17.33,17.33,16.99,16.29,15.21,13.74,11.83,9.44,6.59,3.34,0)lm(zpoly(x,2)+poly(y,2);summary(a);library(scatterplot3d)scatterplot3d(x,y,z)z1=11.08-0.2319*x2+2.543*y+0.9469*y2;l