函数的单调性证明.doc

函数的单调性证明一解答题（共40小题）1证明：函数f（x）=在（，0）上是减函数2求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在，+）上递增3证明f（x）=在定义域为0，+）内是增函数4应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数5证明函数f（x）=2x在（，0）上是增函数6证明：函数f（x）=x2+3在0，+）上的单调性7证明：函数y=在（1，+）上是单调增函数8求证：f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增9用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+）上为减函数10已知函数f（x）=x+（）用定义证明：f（x）在2，+）上为增函数；（）若0对任意x4，5恒成立，求实数a的取值范围11证明：函数f（x）=在x（1，+）单调递减12求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在1，+上是增函数13判断并证明f（x）=在（1，+）上的单调性14判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性15求函数f（x）=的单调增区间16求证：函数f（x）=1在区间（，0）上是单调增函数17求函数的定义域18求函数的定义域19根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+ （2）f（x）+2f（）=3x20若3f（x）+2f（x）=2x+2，求f（x）21求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x） （2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使ff（x）=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）f（）=x2，求f（x）22已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，xR且x0，求f（x）23已知3f（x）+2f（）=x（x0），求f（x）24已知函数f（x+）=x2+（）2（x0），求函数f（x）25已知2f（x）+f（x）=3x1，求f（x）26若2f（x）+f（x）=3x+1，则求f（x）的解析式27已知4f（x）5f（）=2x，求f（x）28已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式29若f（x）满足3f（x）+2f（x）=4x，求f（x）的解析式30已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）31求下列函数的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）； （2）已知f（）=，求f（x）32已知二次函数满足f（2x+1）=4x26x+5，求f（x）的解析式33已知f（2x）=x2x1，求f（x）34已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）=2x3，求函数f（x）的解析式35已知f（x+2）=x23x+5，求f（x）的解析式36已知函数f（x2）=2x23x+4，求函数f（x）的解析式37若3f（x）+2f（x）=2x，求f（x）38f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式39若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式40已知f（x1）=x24x（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0函数的单调性证明参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1证明：函数f（x）=在（，0）上是减函数【解答】证明：设x1x20，则：；x1x20；x2x10，x1x20；f（x1）f（x2）；f（x）在（，0）上是减函数2求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在，+）上递增【解答】证明：设0x1x2，则f（x1）f（x2）=（4x1+）（4x2+）=4（x1x2）+=（x1x2）（），又由0x1x2，则（x1x2）0，（4x1x29）0，（x1x2）0，则f（x1）f（x2）0，则函数f（x）在（0，）上递减，设x3x4，同理可得：f（x3）f（x4）=（x3x4）（），又由x3x4，则（x3x4）0，（4x3x49）0，（x1x2）0，则f（x3）f（x4）0，则函数f（x）在，+）上递增3证明f（x）=在定义域为0，+）内是增函数【解答】证明：设x1，x20，+），且x1x2，则：=；x1，x20，+），且x1x2；f（x1）f（x2）；f（x）在定义域0，+）上是增函数4应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数【解答】证明：任取x1，x2（0，2），且x1x2，则f（x1）f（x2）=（=因为0x1x22，所以x1x20，x1x24，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数5证明函数f（x）=2x在（，0）上是增函数【解答】解：设x1x20，f（x1）f（x2）=2x12x2+=（x1x2）（2+），x1x20，x1x20，2+0，f（x1）f（x2）0，即：f（x1）f（x2），函数f（x）=2x在（，0）上是增函数6证明：函数f（x）=x2+3在0，+）上的单调性【解答】解：任取0x1x2，则f（x1）f（x2）=（x1+x2）（x1x2）因为0x1x2，所以x1+x20，x1x20，故原式f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以原函数在0，+）是单调递增函数7证明：函数y=在（1，+）上是单调增函数【解答】解：函数f（x）=1在在区间（1，+），可以设1x1x2，可得f（x1）f（x2）=11+=1x1x20，x1+10，1+x20，x1x20，0f（x1）f（x2），f（x）在区间（，0）上为增函数；8求证：f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增【解答】证明：设x1x2，则f（x1）f（x2）=（）=，x1x2，x1x20，若x1x20，则x1x20，此时f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此时函数单调递增若0x1x2，则x1x20，此时f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此时函数单调递增即f（x）=在（，0）上递增，在（0，+）上递增9用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+）上为减函数【解答】解：函数y=在区间（0，+），可以设0x1x2，可得f（x1）f（x2）=0，f（x1）f（x2），f（x）在区间（，0）上为减函数；10已知函数f（x）=x+（）用定义证明：f（x）在2，+）上为增函数；（）若0对任意x4，5恒成立，求实数a的取值范围【解答】（）证明：任取x1，x22，+），且x1x2，则f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+）=，2x1x2，所以x1x20，x1x24，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）=x+在2，+）上为增函数；（）解：0对任意x4，5恒成立，xa0对任意x4，5恒成立，ax对任意x4，5恒成立，a411证明：函数f（x）=在x（1，+）单调递减【解答】证明：设x1x21，则：；x1x21；x2x10，x110，x210；即f（x1）f（x2）；f（x）在x（1，+）单调递减12求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在1，+上是增函数【解答】证明：在（0，1）内任取x1，x2，令x1x2，则f（x1）f（x2）=（）（）=（x1x2）+=（x1x2）（1），x1，x2（0，1），x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在（0，1）上是减函数在1，+）内任取x1，x2，令x1x2，则f（x1）f（x2）=（）（）=（x1x2）+=（x1x2）（1），x1，x21，+），x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在1，+上是增函数13判断并证明f（x）=在（1，+）上的单调性【解答】解：f（x）=在（1，+）上的单调递减证明如下：在（1，+）上任取x1，x2，令x1x2，f（x1）f（x2）=，x1，x2（1+），x1x2，x2x10，x1+10，x2+10，f（x1）f（x2）0，f（x）=在（1，+）上的单调递减14判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性【解答】解：任意取x1，x2（0，2）且0x1x22f（x1）f（x2）=x1+x2=（x1x2）+=（x1x2），0x1x22x1x20，0x1x24，即x1x240，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以f（x）在（0，2）上是单调减函数15求函数f（x）=的单调增区间【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=1的单调递增区间为（，0），（0，+）故答案为：（，0），（0，+）16求证：函数f（x）=1在区间（，0）上是单调增函数【解答】证明：设x1x20，则：；x1x20；x1x20，x1x20；f（x1）f（x2）；f（x）在区间（，0）上是单调增函数17求函数的定义域【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2x3和3x518求函数的定义域【解答】解：由故函数定义域为x|x19根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x【解答】解：（1）f（x+）=x2+=（x+）22，即f（x）=x22，（x2或x2）（2）f（x）+2f（）=3x，f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=x20若3f（x）+2f（x）=2x+2，求f（x）【解答】解：3f（x）+2f（x）=2x+2，用x代替x，得：3f（x）+2f（x）=2x+2；32得：5f（x）=（6x+6）（4x+4）=10x+2，f（x）=2x+21求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使ff（x）=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）f（）=x2，求f（x）【解答】解：（1）已知f（x+1）=x2 ，令x+1=t，可得x=t1，f（t）=（t1）2，f（x）=（x1）2（2）已知f（）=x，令 =t，求得 x=，f（t）=，f（x）=（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k0，ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，k=3，b=，或k=3，b=，求f（x）=3x+，或f（x）=3x（4）已知3f（x）f（）=x2，用代替x，可得3f（）f（x）=，由求得f（x）=x2+22已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，xR且x0，求f（x）【解答】解：2f（x）+f（）=2x令x=，则2f（）+f（x）=，2得：3f（x）=4x，f（x）=x23已知3f（x）+2f（）=x（x0），求f（x）【解答】解：3f（x）+2f（）=x，等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，由32，解得5f（x）=3x，函数f（x）的解析式：f（x）=x（x0）24已知函数f（x+）=x2+（）2（x0），求函数f（x）【解答】解：x0时，x+2=2，且函数f（x+）=x2+（）2=2；设t=x+，（t2）；f（t）=t22；即函数f（x）=x22（其中x2）25已知2f（x）+f（x）=3x1，求f（x）【解答】解：2f（x）+f（x）=3x1，2f（x）+f（x）=3x1，联立消去f（x），可得f（x）=3x26若2f（x）+f（x）=3x+1，则求f（x）的解析式【解答】解：2f（x）+f（x）=3x+1，用x代替x，得：2f（x）+f（x）=3x+1；2得：3f（x）=（6x+2）（3x+1）=9x+1，f（x）=3x+27已知4f（x）5f（）=2x，求f（x）【解答】解：4f（x）5f（）=2x，4f（）5f（x）=，4+5，得：9f（x）=8x+，f（x）=x28已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式【解答】解：令t=+2，（t2），则，x=（t2）2由f（+2）=x2+1，得f（t）=（t2）4+1f（x）=（x2）4+1（x2）29若f（x）满足3f（x）+2f（x）=4x，求f（x）的解析式【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（x）=4x，可得3f（x）+2f（x）=4x，32可得：5f（x）=20xf（x）=4xf（x）的解析式：f（x）=4x30已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=3，则2b=8，解得b=4，此时f（x）=3x431求下列函数的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t1），f（t）=（t1）2+1，f（x）=（x1）2+1；（2）令m=（m0），则x=，f（m）=，f（x）=（x0）32已知二次函数满足f（2x+1）=4x26x+5，求f（x）的解析式【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=；则f（t）=4（）26+5=t25t+9，故f（x）=x25x+933已知f（2x）=x2x1，求f（x）【解答】解：令t=2x，则x=t，f（t）=t2t1，f（x）=x2x134已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）=2x3，求函数f（x）的解析式【解答】解：设f（x）=ax+b，f（f（x）=a（ax+b）+b，f（f（f（x）=aa（ax+b）+b+b=2x3，解得：，f（x）=x35已知f（x+2）=x23x+5，求f