函数的基本性质.doc

新欣教育一、函数的单调性及单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)。那么就说f(x)在这个区间上是增函数。相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。2、 函数单调性的判断与证明1函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2D,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间当x1f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间三、函数单调性的性质(1)定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取x1、x2D，且x10，则f(x)在区间D内为增函数；如果f(x)=1单调减,最大值为f(1)=1,而当x为无穷时,f(x)趋于0,但不能取到0,因此没有最小值.选A5、根据题意，对于f（2m）f（m-1），由函数y=f（x）的定义域是-3，4，则有-32m4，-3m-14，又由函数y=f（x）为增函数，则有2mm-1；联立有32m43m142mm1，解可得-1m2，则m的取值范围是（-1，2；故选A四、复合函数的单调性1、由被开方数大于等于0,得x属于-3,1.再求3-2x-x2的顶点坐标,X=-1.综合答案为（-3,-1）.2、f(x)=(x2+4x）因为x2+4x0,所以定义域为（-,-4）（0,+）在由复合函数单调性知；f(x)=(x2+4x）的单调增区间为（0,+）3、f(x)=（x2-2x-3）x2-2x-30 =x3或x-1因为：二次函数y=x2-2x-3在（-,-1】上单调递减,在【3,+）上单调递增所以：f(x)=（x2-2x-3）的单调增区间为【3,+）.4、先求定义域-x+4x-30x-4x+30(x-1)(x-3)01x3这个函数由y=t和t=-x+4x-3复合而成因为y=t是增函数,所以要使t=-x+4x-3递增所以t=-x+4x-3在(-,2上递增因为1x3所以递增区间是1,25、由被开方数大于等于0,得x属于-3,1.再求3-2x-x2的顶点坐标,X=-1.综合答案为（-3,-1）.五、函数的最值及其几何意义1、（2）二次函数：y=x(1-3x)=-3x2+x=-3(x-1/6)2+1/12函数在 (0,1/6）上是增函数,（1/6,1/3）上是减函数当x=1/6是最大,为1/12.2、因为y=2所以取最小值时,x-1=0此时x=13、（1）f(x)是增函数下面证明：定义域2x+10,得x-1/2任取-1/2x1x2,f(x2)-f(x1)=(2x2+1)-(2x1+1)=2(x2-x1)/(2x2+1)+(2x1+1)因为x1x2所以x2-x10,又(2x2+1)+(2x1+1)0所以f(x2)-f(x1)0即f(x2)f(x1)所以f(x)是增函数（2）又（1）知f(x)在x-1/2为增函数所以f(x)=(2x+1)f(-1/2)=0所以f(x)的最小值为04、y=-x2-2ax=-（x+a）2+a2，函数的对称轴x=-a，又0x1且函数的最大值是a2，0-a1，即-1a0故选D六、奇函数1、2、是减函数因为f(x)的图像关于原点对称所以在原点两旁的区间单调性相同.所以在区间【-4,-1】是减函数【偶函数关于y轴对称,原点两旁的单调性相反】3、f(-1)=-f(1)则：f(1)=-a,由于f(x)是以4为周期得函数,所以f(5)=f(1)=-a4、05、f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3)所以f(x+3)=f(x)+1令x=-3/2f(3/2)=f(-3/2)+1奇函数则f(3/2)=-f(3/2)+1f(3/2)=1/2七、偶函数1、f（2+x）=-f（2-x），f（-x）=f（x），f2+（2+x）=-f2-（2+x）=-f（-x）=-f（x），f（8+x）=f（x），f（x）是以8为周期的函数；f（2009）=f（2518+1）=f（1）=f（-1）=-f（3）=-f（-3）=2故答案为：22、f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x）；又对xR都有f（2+x）=f（2-x），f（2+（x-2）=f（2-（x-2），f（x）=f（4-x）；f（-x）=f（4+x），f（x）=f（4+x），f（x）是以4为周期的函数；当f（-3）=-2时，f（2013）=f（5044-3）=f（-3）=-2；故选：A3、4、函数f（x）定义在R上，且f（x+1）是偶函数，f（x-1）是奇函数，可得f（-1）=0且函数f（x）的图象关于x=1成轴对称，关于（-1，0）成中心称由此知函数的周期是8故f（2003）=f（3）=f（-1）=0故选B八、函数奇偶性的判断1、C2、3、4、九、函数奇偶性的性质1、函数f(x)=ax3+bx+2,若f(100)=8,a100+b100+2=8;a100+b100=6;则f(-100)=-a100-100b+2=-6+2=-2;2、f(2008)=a*2008 +2008b -2=10,所以 a*2008 +2008b=12于是,f(-2008)= -a*2008 -2008b -2 =-143、f（x）在区间3，6上也为递增函数，即f（6）=8，f（3）=-12f（-6）+f（-3）=-2f（6）-f（3）=-15故答案为：-154、分析，f(x)=ax-bx-1f(3)=27a-3b-127a-3b=f(3)+1f(-3)=-27a+3a-1=-(27a-3a)-1=-f(3)+1-1=-f(3)-2又，f(3)=-2f(-3)=05、f（x）=ax3-bx+1，f（-2）=-8a+2b+1=-1，而设f（2）=8a-2b+1=M，+得，M=3，即f（2）=3，故答案为：3十 、奇偶函数图像的对称性1、f（-x）=-x3-x=-f（x），函数f（x）=x3+x为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，故选C2、f（-x）=-x3=-f（x），函数f（x）=x3+x为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，故选B3、4、由于函数y=f（x）和y=f（-x）的图象关于直线x=0对称函数y=f（1+x）的图象可由函数y=f（x）的图象左移一个单位得到，函数y=f（1-x）=f（-（x-1）图象可由y=f（-x）的图象右移一个单位得到所以函数y=f（1+x）和y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称故答案为x=0十一、奇偶性与单调性的综合1、f（x）为奇函数，f（-2）=0，f（2）=0；又f（x）在（-，0）上是减函数，f（x）在（0，+）上是减函数（奇函数在对称区间上具有相同的单调性），由其图象可求得：当x-2时，f（x）f（-2）=0，故xf（x）0；当x2时，f（x）f（-2）=0，故xf（x）0；xf（x）0的