分段函数的性质与应用.doc

高中数学微专题之分段函数【考纲要求】内 容要 求ABC函数概念与基本初等函数函数的概念函数的基本性质【考题分析】内容年份考题考点 函数概念与基本初等函数201513.已知函数，则方程实根的个数为 分段函数、函数与方程201611.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上其中，若，则的值是 分段函数、函数周期性201714.设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .函数的周期性、分段函数、函数与方程20189函数满足，且在区间上，则的值为 分段函数、函数周期性【命题规律】分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为填空题，难度为中档题或难题.【基础知识】若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化即“分段函数分段看” 【题型分析】【题型一】求函数值【例1】(2017盐城中学一模)f(x)则f_.【解析】flog32，ff(2)29.【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围【例2】设函数，则的值为_【解析】由解析式可知，只有，才能得到具体的数值，时只能依靠向 正数进行靠拢。由此可得：，而 【方法技巧归纳】含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。【练习】1.设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a_.【解析】当a0时，f(a)a20，f(f(a)a42a222，解得a(a0与a舍去)当a0时，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解所以a.2. (2016苏州暑假测试)已知实数m0，函数f(x)若f(2m)f(2m)，则m的值为_【解析】当m0时，2m2，所以3(2m)m(2m)2m，所以m8；当m2，2m0时，由题意得-(x-1)21,解之得0x2.综上f(x)1的解集为x|4x【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.【例4】已知函数，则不等式的解集为_【解析】本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析的图像性质，发现的两段解析式均可作图，所以考虑作出的图像，从而发现是增函数，从而无论在哪个范围，从而解得：或 答案： 【方法技巧归纳】含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式。【练习】3. 已知函数f(x)=12x-1,x0,1x,xa,则实数a的取值范围是.4. (2017如皋一模)已知函数f(x)=2x+1,x0,0,x=0,2x-1,x0,则不等式f(x2-2)+f(x)0,0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)有两个零点【方法技巧归纳】令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点利用代数法求分段函数的零点时，一定要注意函数表达式所对应的自变量的范围，即通过解方程得到的零点一定要检验【例8】(常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）)已知函数的图象与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为_.【解析】原问题等价于有三个不同的零点，由题意可得： ，而方程x+2=0的解为2,方程x2+3x+2=0的解为1，2；若函数有三个不同的零点，则，所以实数的取值范围为1,2) 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，恰当运用数形结合思想能准确快速地解决问题【练习】7.已知函数f(x)若函数g(x)|f(x)|3xb有三个零点，则实数b的取值范围为_解析:当直线与相切时，；当直线与相切时，；当直线与不相切，由图可知实数的取值范围为8. (2016镇江期末)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为_【解析】如图，作出函数f(x)和直线ykxk的图象，且直线ykxk过点(1,0)当直线ykxk与函数f(x)x2x的图象相切时，有唯一公共点，此时切线的斜率为1k.又直线ykxk过点，即k时，函数f(x)的图象与直线ykxk只有两个公共点则由图象可知，当k,且k1时，直线ykxk与函数f(x)的图象至少有两个不同的交点，即原方程至少有两个不相等的实数根，故实数k的取值范围为(1，)【课外检测】1已知，若，则_.1.解析：若，则，无解；若，则，由解析式可得：或2函数，则不等式的解集是_思路：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要对的范围分类讨论以代入不同的解析式：当时，可解得：或。所以或；当时，解得，所以，综上所述：3.（2015山东）设函数，则满足的的取值范围是_3.解析：可将视为一个整体：，则有，根据分段函数特点可推断出，即，所以有或，解得： 4设函数f(x)，若f(x)在区间m,4上的值域为1,2，则实数m的取值范围为_4.【解析】作出函数f(x)的图像,当时,函数单调递减,且最小值为,则令,解得,当时,函数在(-1,2)上单调递增,在2,+) 上单调递减,则最大值为2,且.综上得所求实数m的取值范围为-8,-15.(2012江苏)设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 6. 已知函数f(x)=2x-1,x0,-x2-2x,x0,若函数g(x)=f(x)m有3个零点,则实数m的取值范围是.7.(启东中学2018届高三上学期第一次月考)已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当1x3时， 若函数 恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为_.7.【解析】根据题意，得到的图象如下：由图可知， 是偶函数，又恰有10个不同零点，即与的图象有10个交点，根据偶函数的特点，则在的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况。红色直线：过，则；