空间几何体基础解答题(含答案).doc

1.1 空间几何体基础解答题一解答题（共24小题）1（2009奉贤区二模）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，ACB=，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）试问现在此容器最多能盛水多少？2如图，ABCDABCD为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点（1）判断四边形MNAC的形状；（2）求四边形MNAC的面积3圆台的两底面半径分别是5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面沮上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别为3cm和6cm，求截面面积4（2016嘉定区三模）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积5（2011秋台州期末）已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心（）求圆锥的侧面积；（）经过圆锥的高AO的中点O作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比6已知等腰三角形ABC中CA=CB，底边长AB=2，现以边AB为轴旋转一周，得旋转体（1）当A=60时，求此旋转体的体积；（2）比较当A=60、A=45时，两个旋转体表面积的大小7如图所示，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F是侧面对角线BC1、AD1上一点，若BED1F是菱形，则BED1F在底面ABCD上投影四边形的面积是多少？8（2013秋临海市校级月考）如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图（不写作法，保留作图痕迹）9（2013秋老城区校级月考）如图是一个几何体的正视图和俯视图（1）试判断该几何体是什么几何体；（2）画出其侧视图（尺寸不作严格要求），并求该平面图形的面积10（2012黄浦区二模）如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1截去一个角后所得的几何体（1）试画出该几何体的三视图；（主视图投影面平行平面DCC1D1，主视方向如图所示请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内）（2）若截面MNH是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V11（2016普陀区一模）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？12（2016崇明县二模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1=6，三棱柱ABCA1B1C1的体积为18（1）求正三棱柱ABCA1B1C1的表面积；（2）求异面直线BC1与AA1所成角的大小13（2016静安区二模）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）求：正六棱锥PABCDEF的体积和侧面积14（2016春华蓥市期末）如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积15（2016春双鸭山校级期末）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为16，OA=2，AOP=120试求三棱锥A1APB的体积16（2016春虹口区期中）如图，AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面圆周上的点（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）求三棱锥PABC体积的最大值；（3）若AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值17（2014春鄂州期末）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点（1）证明：四边形EFBD是一个梯形；（2）求三棱台CBDC1FE的体积18（2013普陀区一模）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？19（2013秋东昌区校级期中）如图，四边形ABCD为矩形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积20（2010徐汇区校级模拟）斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA与底面相邻两边AB、AC都成45角，求此三棱柱的侧面积和体积21（2009秋开平市期末）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由22（2007杨浦区二模）（理）在长方体ABCDA1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点（1）当异面直线AD1与EC所成角为60时，请你确 定动点E的位置（2）求三棱锥CDED1的体积23如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积（1） 如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=（2）如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=24已知球的两个平行截面的面积分别为49、400，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积1.1 空间几何体基础解答题参考答案与试题解析一解答题（共24小题）1（2009奉贤区二模）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，ACB=，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）试问现在此容器最多能盛水多少？【分析】利用体积求出底面面积，然后求出VBADEC的体积，再求下部体积即可【解答】解：由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，ACB=VABCA1B1C1=SABCAA1=ACBC4=10，得：ACBC=5（4分）VBADEC=SADECBC=（AD+CE）ACBC=2.5（4分）此容器最多能盛水：VABCA1B1C1VBADEC=7.5（L）（4分）【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题2如图，ABCDABCD为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点（1）判断四边形MNAC的形状；（2）求四边形MNAC的面积【分析】（1）根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得MNACAC，且MN=AC=AC，进而可判断四边形MNAC的形状；（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案【解答】解：（1）ABCDABCD为长方体，底面是边长为a的正方形，M，N分别是CD和AD的中点AC=a，MNACAC，且MN=AC=AC=，故四边形MNAC为梯形；（2）由长方体ABCDABCD的高为2a，故梯形的高为=a，故四边形MNAC的面积S=（+a）a=a2【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，梯形面积的求法，难度不大，属于基础题3圆台的两底面半径分别是5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面沮上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别为3cm和6cm，求截面面积【分析】由题意知，截面为等腰梯形，求出上下底边长及高即可【解答】解：由题意知，截面为等腰梯形，上底边长为2=8；下底边长为2=16；梯形的高为=；故截面面积S=（8+16）=12（cm2）【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题4（2016嘉定区三模）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积【分析】（1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，r=2x，0x2S圆柱侧=2rx=2（2x）x=2x2+4x（0x2）（2），当x=1时，S圆柱侧取最大值2，此时，r=1，所以【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题5（2011秋台州期末）已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心（）求圆锥的侧面积；（）经过圆锥的高AO的中点O作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比【分析】（I）先利用正视图正三角形的性质，计算圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥的侧面积计算公式即可得圆锥的侧面积；（II）利用圆锥的体积计算公式，先算小圆锥的体积，再用大圆锥的体积减小圆锥的体积，即可得圆台的体积，进而得两部分体积之比【解答】解：（）由题意得圆锥底面半径r=1，母线长l=2S侧=rl=2（）设圆锥的高为h，则h=，r=1，小圆锥的高h=，小圆锥的底面半径r=，V圆台=V圆锥V小圆锥=ShSh=【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积计算公式，圆锥的体积计算公式，圆台体积的计算方法，求分割几何体的体积之比的计算方法，属基础题6已知等腰三角形ABC中CA=CB，底边长AB=2，现以边AB为轴旋转一周，得旋转体（1）当A=60时，求此旋转体的体积；（2）比较当A=60、A=45时，两个旋转体表面积的大小【分析】过C做AB边上的高，垂足为CD，则以边AB为轴旋转一周，得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥，结合圆锥的侧面积公式和体积公式，可得答案【解答】解：过C做AB边上的高，垂足为CD，则以边AB为轴旋转一周，得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥，（1）当A=60时，AB=2，故CD=，此时旋转体的体积V=（DA+DB）=AB=2；（2）当A=60，AC=BC=2，旋转体的表面积=2（2）=4，当A=60，AC=BC=，CD=1，旋转体的表面积=2（1）=2【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积表面积公式，难度不大，属于基础题7如图所示，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F是侧面对角线BC1、AD1上一点，若BED1F是菱形，则BED1F在底面ABCD上投影四边形的面积是多少？【分析】设AF=x，结合菱形的边长相等及勾股定理，可得菱形BED1F的边长为，进而可得BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形【解答】解：在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1=AD1=，设AF=x，则x=，解得：x=，即菱形BED1F的边长为=，则BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形，其面积为：【点评】本题考查的知识点是平行投影，其中分析出BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形，是解答的关键8（2013秋临海市校级月考）如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图（不写作法，保留作图痕迹）【分析】在OABC的等腰梯形中，作出ECOA于E，BAOA于F，利用斜二测画法画出直观图【解答】解：【点评】本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤9（2013秋老城区校级月考）如图是一个几何体的正视图和俯视图（1）试判断该几何体是什么几何体；（2）画出其侧视图（尺寸不作严格要求），并求该平面图形的面积【分析】（1）根据空间几何体的正视图和俯视图即可判断该几何体的直观图（2）根据空间几何体的结构，即可得到该几何体的侧视图【解答】解：（1）由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥（2）侧视图（如图）其中AB=AC，ADBC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即是棱锥的高，所以侧视图的面积为【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图，比较基础10（2012黄浦区二模）如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1截去一个角后所得的几何体（1）试画出该几何体的三视图；（主视图投影面平行平面DCC1D1，主视方向如图所示请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内）（2）若截面MNH是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V【分析】（1）根据三视图的定义可画出该几何体的三视图（2）由正三角形MNH是的边长，先求出截掉的三棱锥的棱长和体积，用正方体的体积减掉小三棱锥的体积即可【解答】解（1）（2）设原正方体中由顶点B1出发的三条棱的棱长分别为B1M=x，B1N=y，B1H=z结合题意，可知，解得因此，所求几何体的体积=【点评】本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式是关键11（2016普陀区一模）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2r=24，解得r=12cmh1=cm笼具的体积V=r2h=（1223012216）=355211158.9cm3（2）圆柱的侧面积S1=2rh=720cm2，圆柱的底面积S2=r2=144cm2，圆锥的侧面积为rl=240cm2故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104cm2故制造50个这样的笼具总造价为：元答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元【点评】本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题12（2016崇明县二模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1=6，三棱柱ABCA1B1C1的体积为18（1）求正三棱柱ABCA1B1C1的表面积；（2）求异面直线BC1与AA1所成角的大小【分析】（1）通过三棱柱的体积求出底面积，通过三角形的面积求出，然后求解三棱柱的表面积（2）说明BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角通过解三角形求解即可【解答】解：（1）因为三棱柱的体积为，AA1=6SABCAA1=18从而，因此（2分）该三棱柱的表面积为（4分）（2）由（1）可知因为CC1AA1所以BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，（8分）在RtBC1C中，所以BC1C=异面直线BC1与AA1所成的角（12分）【点评】本题考查棱柱的体积求法，表面积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力13（2016静安区二模）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）求：正六棱锥PABCDEF的体积和侧面积【分析】正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，求出侧面斜高，即可求出正六棱锥的体积、侧面积【解答】解：设底面中心为O，AB中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则POOM，OMAF，PMAF，OA=OP=2，OM=，S底=62=6V=62=46分PM=8分S侧=62=612分【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面是大圆，求出斜高，本题即可解决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键14（2016春华蓥市期末）如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积【分析】（1）利用S表面积=2S底+S侧，求圆柱的表面积；（2）求出三棱锥、圆柱的体积，即可求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积【解答】解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h（1）圆锥的高h=2，又h=，h=h=，r=1S表面积=2S底+S侧=2r2+2rh=2+2=2（1+）（6分）（2）所求体积=（12分）【点评】本题考查圆柱的表面积、三棱锥、圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础15（2016春双鸭山校级期末）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为16，OA=2，AOP=120试求三棱锥A1APB的体积【分析】利用侧面积公式计算AA1，计算出AP，BP代入棱锥的体积公式即可得出三棱锥A1APB的体积【解答】解：S圆柱侧=2OAAA1=4AA1=16，AA1=4，AOP=120，OA=OP=2，AP=2，BP=OA=2V=【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题16（2016春虹口区期中）如图，AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面圆周上的点（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）求三棱锥PABC体积的最大值；（3）若AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值【分析】（1）代入面积公式和体积公式计算即可；（2）三棱锥的高为定值，边AB为定值，故当C到直线AB的距离取得最大值时，底面积最大，故棱锥的体积最大；（3）反向延长AB至C，使得AC=AC，则CD为CE+DE的最小值【解答】解：（1）圆柱的侧面积S侧=2rh=212=4圆柱的体积V=r2h=122=2（2）三棱锥PABC的高h=2，底面三角形ABC中，AB=2，点C到AB的最大值等于底面圆的半径1，三棱锥PABC体积的最大值等于2=（3）将PAC绕着PA旋转到PAC使其共面，且C在AB的反向延长线上PA=AB=2，BC=3，由余弦定理得：，CE+ED的最小值等于【点评】本题考查了圆柱的结构特征，面积与体积计算，属于基础题17（2014春鄂州期末）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点（1）证明：四边形EFBD是一个梯形；（2）求三棱台CBDC1FE的体积【分析】（1）利用梯形定义证明，EFBD，显然DE、BF不平行；（2）利用棱台的体积公式计算，分别计算上下底面积，CC1为高【解答】（1）证明：正方体ABCDA1B1C1D1，点E、F分别是两条棱的中点，EFB1D1，由B1D1BD，EFBD，显然DE、BF不平行，四边形EFBD是一个梯形；（2）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点，C1E=C1F=1，=C1EC1F=SCBD=2，CC1=2，VCBDC1FE=【点评】本题考查线线平行，及棱台的体积计算，掌握基本定理及公式是关键，属基础题18（2013普陀区一模）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【分析】（1）根据圆柱筒的直径，可得半球的半径R=3cm，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；（2）由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积S，进而得到2500个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量【解答】解：（1）该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm，半球的直径也是6cm，可得半径R=3cm，两个半球的体积之和为cm3（2分）而cm3（2分）该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36+18=54169.6cm3（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是cm2（6分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2Rh=232=12cm2（8分）1个“浮球”的表面积为m2因此，2500个“浮球”的表面积的和为m2（10分）每平方米需要涂胶100克，总共需要胶的质量为：10012=1200（克）（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200克（13分）【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题19（2013秋东昌区校级期中）如图，四边形ABCD为矩形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算即可【解答】解：图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积，得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球，半球的表面积为圆柱的底面半径为2，高为4，圆柱的底面积为22=4，圆柱的侧面积为224=16，该几何体的表面积为8+4+16=28【点评】本题主要考查旋转体的表面积，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式比较基础20（2010徐汇区校级模拟）斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA与底面相邻两边AB、AC都成45角，求此三棱柱的侧面积和体积【分析】（1）先判断斜三棱柱ABCABC的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积（2）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为a的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出【解答】解：（1）侧棱AA与底面相邻两边AB、AC都成45角，三棱柱的三个侧面中，四边形ABBA和ACCA是有一个角是45，相邻两边长分别为a，b的平行四边形，第三个侧面是边长分别为a，b的矩形（2）过A1作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O点，作A1DAB，交AB于D点，连接DO，由题意，则AD=，A1D=，AO=，A1O=V=a=【点评】本题主要考查了斜三棱柱的侧面积与体积的求法，属于立体几何的基础题21（2009秋开平市期末）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由【分析】根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案【解答】解：因为V半球=V圆锥=因为V半球V圆锥所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子【点评】本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题22（2007杨浦区二模）（理）在长方体ABCDA1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点（1）当异面直线AD1与EC所成角为60时，请你确 定动点E的位置（2）求三棱锥CDED1的体积【分析】（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴，建立空间直角坐标系 E（1，t，0），分别求出异面直线AD1与EC的方向向量，根据异面直线AD1与EC所成角为60，我们可以构造一个关于t的方程，解方程即可确定出动点E的位置（2）由等体积