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第1章 集合与常用逻辑用语第1节 集合1元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图2集合间的基本关系 描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A B或B A相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB集合与集合之间的关系：AB，BCAC，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n1，非空真子集数为2n23集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA1认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件2要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系3易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身4运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心5在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误考点一 集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么注意区分x|yf(x)、y|yf(x)、(x，y)|yf(x)三者的不同对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2. 注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性3注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况1（2013福建，5分）若集合A1,2,3，B1,3,4，则AB的子集个数为()A2B3 C4 D16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握AB1,3，故AB的子集有4个答案：C2（2013江西，5分）若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a()A4 B2 C0 D0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4(a0不合题意舍去)答案：A3（2013山东，5分）已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA, yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力逐个列举可得x0，y0,1,2时，xy0，1，2；x1，y0,1,2时，xy1,0，1；x2，y0,1,2时，xy2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为2，1,0,1,2.共5个答案：C4（2011广东，5分）已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4 B3 C2 D1解析：由消去y得x2x0，解得x0或x1，这时y1或y0，即AB(0,1)，(1,0)，有两个元素答案：C5已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，则(mn)2 013_.解析：由MN知或或答案：1或06已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_解析：因为3A，所以m23或2m2m3.当m23，即m1时，2m2m3，此时集合A中有重复元素3，所以m1不符合题意，舍去；当2m2m3时，解得m或m1(舍去)，此时当m时，m23符合题意所以m.答案：7（2010福建，5分）设非空集合Sx|mxl满足：当xS时，有x2S.给出如下三个命题：若m1，则S1；若m，则l1；若l，则m0.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析：若m1，则xx2，可得x1或x0 (舍去)，则S1，因此命题正确；若m，当x时，x2S，故lmin，当xl时，x2l2S，则ll2可得，可得l1或l0(舍去)，故lmax1，l1，因此命题正确；若l，则，得m0，因此命题正确答案：D考点二 集合的基本关系1已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析2当题目中有条件BA时，不要忽略B和A=B的情况1（2013新课标全国，5分）已知集合A1,2,3,4，B x|xn2，nA，则AB()A1,4B2,3 C9,16 D1,2解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算n1,2,3,4时，x1,4,9,16，集合B1,4,9,16，AB1,4答案：A2.(2013新课标全国，5分)已知集合Mx|3x0，B2，1,0,1，则(RA)B()A2，1 B2 C1,0,1 D0,1解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力集合Ax|x1，所以RAx|x1，所以(RA)B2，1答案：A6(2013浙江，5分)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则ST()A4，)B(2, ) C4,1 D(2,1解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度由已知得STx|x2x|4x1x|2x1(2,1答案：D7(2013辽宁，5分)已知集合A0,1,2,3,4，Bx|x|2，则AB()A0B0,1 C0,2 D0,1,2解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题由已知，得Bx|2x2，所以AB0,1，选B.答案：B8(2013天津，5分)已知集合AxR| |x|2, B xR| x1，则AB()A(，2B1,2 C2,2 D2,1解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算意在考查考生对概念的理解能力解不等式|x|2得，2x2，所以A2,2，又B(，1，所以AB2,1答案：D9(2013北京，5分)已知集合A1,0,1，Bx|1x1，则AB()A0B1,0 C0,1 D. 1,0,1解析：集合A中共有三个元素1,0,1，而其中符合集合B的只有1和0，故选B.答案：B10(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)的定义域为M, 则RM为()A(，1)B(1，) C(，1 D1，)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法从函数定义域切入，1x0，x1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，)答案：B11(2013湖北，5分)已知全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，B2,3,4，则BUA()A2 B3,4 C1,4,5 D2,3,4,5解析：本题主要考查集合的补集和交集运算由题得，UA3,4,5，则BUA3,4答案：B 12. (2013四川，5分)设集合A1,2,3，集合B2,2，则AB()AB2 C2,2 D2,1,2,3解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握A，B两集合中只有一个公共元素2，AB2，选B.答案：B13(2013重庆，5分)已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，B2,3，则U(AB)()A1,3,4B3,4 C3 D4解析：本题主要考查集合的并集与补集运算因为AB1,2,3，所以U(AB)4，故选D.答案：D14(2012新课标全国，5分)已知集合Ax|x2x20，Bx|1x1，则()AABBBA CAB DAB解析：Ax|x2x20x|1x2，Bx|1x1，所以BA.答案：B15(2012湖北，5分)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1B2 C3 D4解析：因为集合A1,2，B1,2,3,4，所以当满足ACB时，集合C可以为1,2、1,2,3、1,2,4、1,2,3,4，故集合C有4个答案：D16(2011浙江，5分)若Px|x1，Qx|x1，则()APQBQP CRPQ DQRP解析：Px|x1，RPx|x1，又Qx|x1，RPQ.答案：C17(2013福建高考)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为A1，a，B1,2,3，若a3，则A1,3，所以AB；若AB，则a2或a3，所以AB / a3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件18已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA.则实数m的取值范围为_解析：BA，(1)当B时，m12m1，解得m2.(2)当B时，有解得1m1，故AB(1,2答案：D3（2012浙江，5分）设全集U1,2,3,4,5,6，集合P1,2,3,4，Q3,4,5，则P(UQ)()A1,2,3,4,6B1,2,3,4,5 C1,2,5 D1,2解析：UQ1,2,6，故P(UQ)1,2答案：D4.(2013山东高考)已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB()A3 B4 C3,4 D解析U1,2,3,4，U(AB)4，AB1,2,3又B1,2，3A1,2,3又UB3,4，AUB3答案A4（2012湖南，5分）设集合M1,0,1，Nx|x2x，则MN()A1,0,1B0,1 C1 D0解析：Nx|x2x0,1，所以MN0,1答案：B5（2012江西，5分）若全集U，则集合A的补集UA为()A. B.C. D.解析：因为UxR|x24xR|2x2，AxR|x1|1xR|2x0借助数轴易得UAxR|0x2答案：C6（2011新课标全国，5分）已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个解析：PMN1,3，故P的子集有224个答案：B7（2011山东，5分）设集合Mx|(x3)(x2)0，Nx|1x3，则MN()A1,2)B1,2 C(2,3 D2,3解析：集合M(3,2)，MN(3,2)1,31,2)答案：A8（2011北京，5分）已知全集UR，集合Px|x21，那么UP()A(，1)B(1，)C(1,1) D(，1)(1，)解析：集合P1,1，所以UP(，1)(1，)答案：D9（2010新课标全国，5分）已知集合Ax| |x|2，xR，Bx|4，xZ，则AB()A(0,2)B0,2C0,2 D0,1,2解析：由题可知，集合Ax|2x2，集合B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，所以集合AB0,1,2答案：D(2014武汉市武昌区联考)已知全集UR，集合Ax|lg(x1)0，Bx|3x1，则U(AB)()A(，0)(0，) B(0，)C(，1(0，) D(1，)解析lg(x1)00x1110，Bx|ylg(x1)，则(UA)B()Ax|x2或x0 Bx|1x2Cx|10，即x(x2)0，得x2，故Ax|x2；集合B是函数ylg(x1)的定义域，由x10，解得x1，所以Bx|x1如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则UAx|0x2，所以(UA)Bx|0x2x|x1x|14，xN，B0,2,3，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|x2，xNBx|x2，xNC0,2D1,2解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B(UA)，UAx|x24，xNx|2x2，xN0,1,2，B0,2,3，B(UA)0,2，选C.考点四 抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：(1)创新集合新定义；(2)创新集合新运算；(3)创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决角度一创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题1若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A1 B3 C7 D31解析：选B具有伙伴关系的元素组是1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：1，.角度二创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的2.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合若x，yR，Ax|y，By|y3x，x0，则AB为()Ax|0x2 Bx|12解析：选D因为Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|12，故选D.角度三创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题3对于复数a，b，c，d，若集合Sa，b，c，d具有性质“对任意x，yS，必有xyS”，则当时，bcd等于()A1 B1 C0 Di解析：选BSa，b，c，d，由集合中元素的互异性可知当a1时，b