九年级数学一元二次方程(带答案).doc

1 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 第第 1 讲讲 一元二次方程概念及解法一元二次方程概念及解法 【知识要点知识要点】 一一. 知识结构网络知识结构网络 一 元 二 次 方 程 解 法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 分式方程的解法 二元二次方程组的解法 性 质 判别式 根与系数的关系 应 用 二次三项式的因式分解 列方程或方程组解应用题 二、一元二次方程的四种解法二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或0 2 bbx 的形式的方程求解。当时，可两边开平方求得方程的解；当时，方程无实数根。bax 2 0b0b 2.因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令 每个一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3.配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为 1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为 常数项。 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是()xmn 2 非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 4.公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；（2）0 2 cbxax 计算的值并判别其符号；（3）若，则利用公式求方程的解，若acb4 2 04 2 acb a acbb x 2 4 2 ，则方程无实数解。04 2 acb 【典型例题典型例题】 （1）（用因式分解法） 6730 2 xx 解：解：0)32)(13(xx 2 2 3 ， 3 1 032或013 21 xx xx （2）（用公式法） 143 2 xx 解：解：0143 2 xx 028)1(34)4( 2 3 72 ， 3 72 3 72 32 28)4( 21 xx x （3）（用配方法）03022 2 xx 解：解：15 2 2 2 xx 8 121 ) 4 2 ( ) 4 2 (15) 4 2 ( 2 2 2 222 x xx 2 2 5 ，23 2 4 11 4 2 21 xx x 【经典练习经典练习】 一、直接开方法 （1） （2）()()xx112 22 bax 2 )( 二、配方法注： （1） （2）22300 2 xx341 2 xx 二、公式法 1. 用求根公式法解下列方程 ；( ) 1220 2 xx 解：解： 3 ；( )2 2810 2 yy 解：解： ；( ) 3 23 1 8 0 2 xx 解：解： ；( )4 321 2 yy 解：解： ；( ) 5 2510 2 xx 解：解： ；( )62 530 2 xx 解：解： ； ( )7 3450 2 xx 解：解：(7)方程无实数根； ；( )824 32 20 2 xx 解：解： ； ( ) .9 002003035 2 xx 解：解：(9)先在方程两边同乘以 100，化为整数系数，再代入求根公式， ()()()10 12 33 13 2 xx 解：解：。 三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程： （1）x25x240； 解：解：； （2）12x2x60； 解：解：； （3）x24x1650 解：解：； （4）2x223x560； 4 解：解：；8， 2 7 ，0)8)(72( 21 xxxx （5）； 92416412 2 xxx 解：解： （6）；333 3 2 ()()xx 解：解： （7） xx 2 3260() 解：解：； （8）； ()xx 25106 2 解：解： (x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25； （9）t(t3)28； 解：解：（9）t23t280，(t7)(t4)0，t17，t24； （10）(x1)(x3)15。 解：解：x24x315，(x6)(x2)0，x16，x22 2. 用因式分解法解下列方程： （1）(y1)22y(y1)0； 解：解：； （2）(3x2)24(x3)2； 解：解： 0)3( 2)23)(3( 2)23(xxxx 8， 5 4 ，0)8)(45( 21 xxxx （3）9(2x3)24(2x5)20； 解：解：3(2x3)2(2x5)3(2x3)2(2x5)0， 2 19 ， 10 1 ，0)192)(110( 21 xxxx （4）(2y1)23(2y1)20。 解：解：(2y1)1(2y1)20， 三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x2x10B. 9x24(3x1) C. D. xx 2 7150 3 2 2 2 10 2 xx 2. 若 a，b，c 互不相等，则方程(a2bc2)x22(abc)x30（ C ） A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根D. 根的情况不确定 5 解析解析: : 因为4(abc)212(a2b2c2) 4(2a22b22c22ab2ac2bc) 4(ab)2(bc)2(ca)20 3. 若方程的两个实根的倒数和是 S，求：S 的取值范围。m xmx 22 2310() 分析：分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，求出 m 的取值范围，再用 S 的代0 数式表示 m，借助 m 的取值范围就可求出 S 的取值范围。 解：解：设方程的两个实根为 2 21 2 2121 1 ， 32 ，则， m xx m m xxxx 方程有两个实根 32 1 32 11 0且 4 3 0，且04)32( 2 2 21 1 21 222 m m m m xx xx xx S mm mmm 0 2 3 且 4 3 2 3 2 3 SS S m 。3且 2 3 SS 4. 已知关于 x 的方程 x2(2m1)x(m2)20。m 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 解析解析: :(2m1)24(m2)25(4m3)。 （1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，原方程没有实数根。 5. 已知关于 x 的方程 xkxkk 22 21210() （1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）如果 a 是关于 y 的方程 的根，其中为方程的两yxxk yxkxk 2 1212 20()()()xx 12 ， 个实数根。 求：代数式的值。() 1 1 4 1 1 2 a a aa a a 分析：分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成 ，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代012 2 yy12 2 aa12 2 aa 6 数式的值。 （1）证明：证明： 08484484)12(4)1(4 2222 kkkkkkk 对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：解：是方程的两个实数根 21，x x 12，)1( 2 2 2121 kkxxkxx 1)1(212 )()( 22)1( 22 22 2 212121 21 kkkkk kxxkxxkxkx kkkxx 方程012为 2 yy a 是方程的根，012 2 aa a a aa a a aaaa 1 1 4 ) 1 1 ( 12，01，0 2 2 2 1 4 2)( 4 )112)(12(1 4 )1)(1(1 4 1 )1( 1 22 2 2222 a aa a aaa a aaa a aa aa aa 注：注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。 6. 已知关于 x 的一元二次方程的两个实数根之差的平方为 maxaxc 2 20 （1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由；acac 1322，与，m 4 （2）若对于任意一个非零的实数 a，总成立，求实数 c 及 m 的值。m 4 解：解：（1）原方程化为时，3，1当ca3，1，则032 21 2 xxxx 416)3(1 2 m 即成立4m 当时，原方程化为2，2ca0242 2 xx 由，可设方程的两根分别为022442 21，x x 则 2 2 ，2 2121 xxxx 42244)()( 21 2 21 2 21 xxxxxxm 即不成立4m （2）设原方程两个实数根是 21，x x 7 则 a c xxxx 2121 ，2 a c xxxxxxm 4 44)()( 21 2 21 2 21 对于任意一个非零的实数 a，都有4 4 4 a c 4，0 04时，0当 0 2 mc ac c 第第 2 2 讲讲 根的判别式根的判别式 【知识要点知识要点】 1.根的判别式： 关于 x 的一元二次方程axbxca 2 00 () bac 2 4 当时，方程有两个不相等的实根 0 当时，方程有两个相等的实根 0 当时，方程无实根 0 【典型例题典型例题】 1. a，b，c 是三角形的三条边， 求证：关于 x 的方程 b2x2(b2c2a2)xc20 没有实数根 分析：分析：此题需证出0。已知条件中 a，b，c 是三角形的三边，所以有 a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关 系“任意两边之和大于第三边” ， “任意两边之差小于第三边” 。 证明：证明：因为(b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。 (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为 bca，即 bca0， 同理 bca0，又 cab，即 bca0。 又 abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。 所以，原方程没有实数根。 【经典习题经典习题】 为三边长的三角形是cba ca bxxcax、0 4 )( . 1 2 （ ） A. 以 a 为斜边的直角三角形 B. 以 c 为斜边的直角三角形 C. 以 b 为底边的等腰三角形 D. 以 c 为底边的等腰三角形 8 2. 已知关于 x 的一元二次方程xkxk 22 1 1 4 10() （1）k 取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根满足，求 k 的值。xx 12 ，|xx 12 解：解：（1）032)1 4 1 (4)1( 22 kkk 解得时，方程有两个实数根 2 3 当， 2 3 kk （2），分两种情况 21 |xx 当，方程有两个相等的实数根。 211 时，得0xxx 2 3 ，0k 当0，时，得0 2112 xxxxx 由根与系数关系，得01 k ，矛盾 2 3 知)1(，由1kk 2 3 舍去1 k k 3. 已知方程的两根的平方和为 11，求 k 的值。xkxk 22 2120() 解：解：设方程的两根为 21，x x 则有2，)12( 2 2121 kxxkxx 112)( 11 21 2 21 2 2 2 1 xxxx xx 0)1)(3( 032 0642 1142144 11)2( 2)12( 2 2 22 22 kk kk kk kkk kk 94 )2(4)12( 1，3 22 21 k kk kk ，舍去0时，3当k 当。0时，1k 9 1k 注：注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 4含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程 x|x|8|x|40 的实数根的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 解：解： 显然 x0 不是方程的根。 当 x0 时，xx8x40。 x0 的任何实数不可能是方程的根。 当 x0 时，方程为 x28x40。 此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因 x0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选 A。 （2）. 求方程 x2|2x1|40 的实数根。 解：解：令得012x 2 1 x 显然不是方程的解 2 1 x 当时，方程是 2 1 x04)12( 2 xx 即1或3，解得032 2 xxxx x1 舍去，x3 当时，方程是 2 1 x04)21( 2 xx 即解得，052 2 xx61x 舍去，61 x61 x 故方程的实数根是。61，3 21 xx 5a，b，c，d 为有理数，先规定一种新的运算：，那么=18 时，x= 。bcad c d a b x x 4 5 2 )1( 6. 已知是方程的两根，求代数式的值。 21,x x0194 2 xx135 2 3 1 xx 7.（广东广州，19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程)0(01 2 abxax有两个相等的实数根，求 4)2( 22 2 ba ab 的值。 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此 2 40ba，可得出 a、b 之间的关系，然后将 4)2( 22 2 ba ab 化简后，用含 b 的代数式表示 a，即可求出这个分式的值 【答案】解：)0(01 2 abxax有两个相等的实数根， 10 2 40bac，即 2 40ba 全品中考网 2 2 22 2 22 2 22 2 44444)2(a ab baa ab baa ab ba ab 0a ，4 2 2 2 a b a ab 8.（四川乐山中考）（四川乐山中考）若关于x的一元二次方程012)2(2 22 kxkx有实数根、 （1）求实数 k 的取值范围； （2）设 k t ，求 t 的最小值 （3）解：（1）一元二次方程012)2(2 22 kxkx有实数根、， （4）0， 2 分 （5）即0)12(4)2(4 22 kk， （6）解得2k4 分 （7）（3）由根与系数的关系得：kk24)2(2， 6 分 （8）2 424 kk k k t ， 7 分 （9）2k，02 4 2 k ， （10） 22 4 4 k ， （11） 即 t 的最小值为4 10 分 9.（ 四川绵阳中考）四川绵阳中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值 【答案答案】 （1）将原方程整理为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有两个实数根， = 2（m1）24m2 =8m + 40，得 m 2 1 （2） x1，x2为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 的两根， y = x1 + x2 =2m + 2，且 m 2 1 因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m = 2 1 时，取得极小值 1 10.（ 湖北孝感中考）湖北孝感中考）关于 x 的一元二次方程 1 2 01xpxx有两实数根、. 2 x （1）求 p 的取值范围；（4 分） （2）若pxxxx求, 9)1 (2)1 (2 2211 的值.（6 分） 11 【答案答案】解：（1）由题意得： . 0 ) 1(4) 1( 2 p2 分 解得： 4 5 p4 分 （2）由9)1 (2)1 (2 2211 xxxx得， . 9 )2)(2( 2 22 2 11 xxxx6 分 . 1 , 1 , 01, 01 ,01, 2 22 2 11 2 2 21 2 1 2 21 pxxpxx pxxpxx pxxxx的两实数根是方程 . 9) 1(, 9) 12)(12( 2 ppp即8 分 . 4 , 2pp或9 分 . 4 , 4 5 ppp的值为所求10 分 说明：1可利用,1, 1 2121 xxxx得 12 1xx代入原求值式中求解； 11.（山东淄博中考）（山东淄博中考）已知关于 x 的方程014)3(2 22 kkxkx （1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值； （3）若以方程014)3(2 22 kkxkx的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 x m y 的图象上，求满足条件的 m 的最小值 【答案】解解: （1）由题意得14432 2 2 kkk0 化简得 102 k0，解得 k5 （2）将 1 代入方程，整理得 2 660kk，解这个方程得 1 33k ， 2 33k . （3）设方程014)3(2 22 kkxkx的两个根为 1 x， 2 x， 根据题意得 12 mx x又由一元二次方程根与系数的关系得 2 12 41x xkk， 那么5214 2 2 kkkm，所以，当 k2 时 m 取得最小值5 12.（广东茂名中考）（广东茂名中考）已知关于x的一元二次方程 22 60xxk（k为常数） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设 1 x， 2 x为方程的两个实数根，且 12 214xx，试求出方程的两个实数根和k的值 【答案】解：解：（1）0436)(14)6(4 2222 kkacb，2 分 12 因此方程有两个不相等的实数 根3 分 （2） 12 6 6 1 b xx a ， 4 分 又 12 214xx， 解方程组： 12 12 6, 214,x xx x 解得： 2 1 8. 2,x x 5 分 方法一：将2 1 x代入原方程得：0)2(6)2( 22 k，6 分 解得： 4k 7 分 方法二：将 21 xx 和代入 12 c x x a ，得： 1 82 2 k ，6 分 解得： 4k 7 分 第第 3 3 讲讲 根与系数的关系根与系数的关系 【知识要点知识要点】 1. 根与系数关系 关于 x 的一元二次方程 当axbxca 2 00 () 0 1212 时，有，xx b a x x c a 推论 1：如果方程的两个实数根是，那么xpxqxxxxp x xq 2 121212 0 ,. 推论 2：以为根的一元二次方程（二次项系数为 ）是：xxxxxxx x 12 2 1212 10,() 【典型例题典型例题】 1. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的 2 倍，求 m 的值。xxm 2 30 解：解：设方程的一个根为 x，另一根 2x 由根系关系知： xx xx m 2 3 2 1 2 2 2 解得： x m 1 2 1 m1 2. 已知方程的两根不解方程，求和的值。3730 2 xxxxxx 1212 、()xx 12 xx 1 2 2 2 解：解：由题设条件 xx x x 12 12 7 3 1 13 xxxxx x 1212 2 12 4 13 3 xxxx 1212 2 xxx x 1212 2 7 3 2 39 3 xxxxxx 1 2 2 2 1212 7 13 9 【经典习题经典习题】 一. 选择题。 1. 已知是关于 x 的一元二次方程的一个根，则 k 与另一根分别为（ ）x 3kxkx1230 2 A. 2，-1B. -1，2C. -2，1D. 1，-2 2. 已知方程的两根互为相反数，则 m 的值是（ ）3410 2 xmxm A. 4B. -4C. 1D. -1 3. 若方程有两负根，则 k 的取值范围是（ ）xxk 2 0 A. B. C. D. k 0k 0k 1 4 0 1 4 k 4. 若方程的两根中，只有一个是 0，那么（ ）xpxq 2 0 A. B. pq 0pq00， C. D. 不能确定pq00， 5. 方程的大根与小根之差等于（ ）xpx p 2 2 1 4 0 A. B. C. 1D. 121 2 p 21 2 p 6. 以为根的，且二次项系数为 1 的一元二次方程是（ ） 15 2 15 2 ， A. B. xx 2 10xx 2 10 C. D. xx 2 10xx 2 10 二. 填空题。 7. 关于 x 的一元二次方程的两根互为倒数，则 m_。xmxm 22 210 8. 已知一元二次方程两根比 2：3，则 a，b，c 之间的关系是_。axbxc 2 0 9. 已知方程的两根，且，则 _。xmxm m 2 1 3 40xx 12 、xx 12 229m 14 10. 已知是方程的两根，不解方程可得：_，_，、xx 2 520 22 11 33 _。 11. 已知，则以为根的一元二次方程是_ 22 13112，、 _。 三. 解答题。 12. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。2370 2 xx、22、 13. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于 3，试求 m 的值。xx 12 、xmxm 22 210 【试题答案试题答案】 一. 选择题。 1. A2. B3. D4. B5. C6. B 二. 填空题。 7. 2140 1 1 2 1 1 2 2 2 mm m m m m 8. 设，则xtxt 12 23， 5 6 625 2 2 t b a t c a bac 9. xxm x xm m xx 12 12 12 1 3 4 229 1 3 425m mm mm 2 2150 或m5m 3 时，原方程0，故舍去，m 5m 3 15 10. 5 2 1 22 2 2 25 4 2 33 4 111 333 33 1 3 5 2 25 4 3 185 8 23 1 8 3 2 22 4 25 4 4 41 2 11. 2222 13 112 13 12 由此 22 13 1 2 22 2 22 22 2132 121 4120 或6 2 或 5 6 3 2 所求方程或xx 2 560xx 2 320 三. 解答题。 12. 解：解：由题意 3 2 7 2 即 223 9 2 16 22 25 2 9 2 7 2 8 22 2 故所求方程是，即xx 2 9 2 8029160 2 xx 13. 解：解： 21401 212 3 11 34 2 2 12 12 2 12 mm xxm x xm xx 由1410： m m 1 4 由43 1212 ：xxx x 213 2 mm 3210 1 310 1 1 3 2 12 mm mm mm， 不符合题意，舍去m2 1 3 m 1 4 m1 第第 4 4 讲讲 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 【知识要点知识要点】 1. 列一元二次方程解实际问题的步骤： （1）设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。 （2）列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。 （3）解：解所列的一元二次方程。 （4）验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。 （5）答：根据题意，写出答案。 【典型例题典型例题】 1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为 200kg，出油率为 50%（即每 100kg 花生可加工成花生油 50kg） ，现 在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油 132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求： 1 2 新品种花生亩产量的增长率。 解：解：设新品种花生亩产量的增长率为 x， 则有132) 2 1 1(%50)1(200xx 17 解得（不合题意，舍去）2.3，2.0 21 xx 答：答：新品种花生亩产量的增长率是 20%。 注：注：对于增长率问题，解这类问题的公式是，其中，a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长bxa n )1( 的次数，b 为增长的量。 2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商 场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 求：（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，则有 020030 1200)220)(40( 2 xx xx 解得20，10 21 xx 根据题意，取 x=20， 每件衬衫应降低 20 元。 （2）商场每天赢利 1250)15( 2 260800 )220)(40( 2 2 x xx xx 当时，商场赢利最多，共 1250 元15x 每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天获利最多。 【经典习题经典习题】 1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来 的两位数的乘积为 736，求原来的两位数。 2一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了 66 次手。这次会议到会的有多少人？ 3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利 10 元，每天可售出 500 千克。经市场调查发现，在进货价格 不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商场要保证每天赢利 6000 元，同时又要使顾客得 到实惠，那么每千克应涨价多少元? 18 【模拟试题模拟试题】 （一）填空题 1. 一元二次方程化为一般式后，()()32 2122 2 xxx _，_，_。a b c 2. 若方程有两个实数根，则 m 的值是_。xxm 2 3. 关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_。kxx 2 610 4. 关于 x 的一元二次方程的一个根是 1，另一个根是_，m=_。20 2 xxm 5. 若是方程的两个根，则=_。xx 12 、2430 2 xx()()xx 12 11 6. 已知两不等实数 a、b 满足条件，则_27102710 22 aabb， 11 ab 7. 已知 a、b 是方程的两个实数根，则_。xx 2 270abb 22 34 （二）解下列方程 1. ()21160 2 x 2. xx 2 890 3. ()()xx12 1 2 4. xx 2 520 5. x x()760 （三）解答题 1. 已知关于 x 的方程xmx m 2 2 2 30() 求证无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根 若这个方程的两个实数根，求 m 的值xxxxm 1212 22、满足 2. 已知关于 x 的方程的两个实数根是 x1、x2，且，如果关于 x 的另一个方程xmxm