直线与圆的位置关系.ppt

直线与圆的位置关系,一、我们知道，在笛卡尔之前，几何和代数是老死不相往来，各自分开。是笛卡尔让几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 其实笛卡尔曾经有个伟大构想，那就是：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。只要把这个方程解出来，就解决了任何问题。我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。比如化学、生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标，但直线由点组成，所以直线是否有代数形式，这很新鲜的。我们知道在几何中两直线由相交、平行，那反应在代数上会是怎么回事，也是很新鲜的。在几何中有圆，那圆的代数形式是怎样的，在几何中直线与圆有好几种关系，这几种关系如果从代数角度讲会有新鲜的结论吗？ 这节课我们讲直线的代数形式，那就是直线的方程。这是很新鲜的东西，在笛卡尔之前是没有的。,解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一，它的产生有着深刻的原因 首先，生产力的发展对数学提出了新的要求，常量数学的局限性越来越明显了例如，航海业的发展，向数学提出了如何精确测定经纬度的问题；造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积；显微镜与望远镜的发明，提出了研究透镜镜面形状的问题；随着火器的发展，抛射体运动的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹，计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，要求用数学方法确定行星位置所有这些问题都难以在常量数学的范围内解决实践要求人们研究变动的量解析几何便是在这样的社会背景下产生的,总结：在当时以前的几何是定性研究不是定量研究，不是精确的计算。同学们平面几何或立体几何中有精确的计算吗？没有。,其次，解析几何的产生也是数学发展的大势所趋，因为当时的几何与代数都相当完善了实际上，几何学早就得到比较充分的发展，几何原本建立起完整的演绎体系，阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究但几何学仍存在两个弱点，一是缺乏定量研究，二是缺乏证题的一般方法而当时的代数则是一门注重定量研究、注重计算的学科到16世纪末，韦达(FVieta， 15401603)在代数中有系统地使用字母，从而使这门学科具有了一般性它在提供广泛的方法论方面，显然高出希腊人的几何方法于是，从代数中寻求解决几何问题的一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势实际上，韦达的分析术引论(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代数问题，便是为解几何题而列出的,在初中平面几何中我们学习了直线与圆的位置关系。我们知道初中的平面几何是属于笛卡尔时代之前的数学知识。当笛卡尔把几何与代数联系起来时，我们看看用代数角度研究直线与圆的位置关系看看有什么新鲜的结论或有什么不同的风景，又多了些什么，并且直线与圆的位置关系可以精确的计算吗？这在平面几何中是不可能的事情，就算有也是比较肤浅的，比如直接给出d、r。 我们知道笛卡尔之前几何、代数是相互分离，老死不相往来的。,一.复习回顾,5、“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。那你能想象一下，直线和圆的位置关系有几种？,（1）直线与圆相交，有两个公共点；,（2）直线与圆相切，只有一个公共点；,（3）直线与圆相离，没有公共点,一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？,为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度,实例引入,问题,实例引入,问题,轮船航线所在直线 l 的方程为：,问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点,这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:,在初中，初中平面几何属于笛卡尔时代以前的数学知识，我们怎样判断直线与圆的位置关系？,总结：,（2）直线l 和O相切,A、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来揭示圆和直线的位置关系。,（1）直线l 和O相离,（3）直线l 和O相交,dr,d=r,dr,比起笛卡尔之前的平面几何，在笛卡尔时代，圆心到直线的距离与圆的半径却是可以精确的计算，在笛卡尔之前的平面几何中是不可能的,B、高中我们学习的是笛卡尔时代的数学知识，它多了什么来判断直线与圆的位置关系。,1、将直线与圆的方程联立.,2、利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程.,这个就是新鲜的结论和不同的风景，比起笛卡尔之前的平面几何这是多了的判断方法。,答：用方程组的解的个数判断直线和圆的位置关系,分析： 方法一，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系 方法二，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；,例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标,解法一：圆 可化为,其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 ，点C （0，1）到直线 l 的距离,所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点,例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标,虽然这种判断方法在笛卡尔之前的平面几何中有，但在笛卡尔时代却是可以精确计算的，在笛卡尔之前的平面几何中是做不到的。,解法二：由直线 l 与圆的方程，得：,消去y，得：,例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标,因为：,= 1 0,所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点,这是在笛卡尔时代多了的判断方法。,所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：,把 代入方程，得 ；,把 代入方程 ，得 ,A（2，0），B（1，3）,由 ，解得：,例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标,解：,同学们，当几何、代数结合后直线与圆的位置关系可以精确的计算，比如精确的求出直线与圆的交点坐标。在平面几何中即笛卡尔之前是不可能的,解：将圆的方程写成标准形式，得：,即圆心到所求直线的距离为 ,如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为,例2 已知过点 的直线被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程,因为直线l 过点 ，,即：,根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：,因此：,例2 已知过点 的直线被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程,解：,所以可设所求直线l 的方程为：,即：,两边平方，并整理得到：,解得：,所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为：,或,例2 已知过点 的直线被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程,解：,即:,同学们注意只有在笛卡尔时代直线与圆才可以这样精确计算，在笛卡尔之前即平面几何中这样子是不可能的,判断直线与圆的位置关系有两种方法：,方法一：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解如果有解，直线l与圆C有公共点有两