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1 希尔伯特变换的定义1) 卷积积分设实值函数,其中，它的希尔伯特变换为， (1)常记为 (2)由于是函数与的卷积积分，故可写成=* (3)2) 相位设，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，是的傅里叶变换和的傅里叶变换的乘积。由 (4)得 可表达为或者 所以是一个相移系统，即希尔伯特变换等效于的相移，对正频率产生的相移，对负频率产生相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位波长。因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。3) 解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数: (5)也可以写成 (6)其中，称为希尔伯特变换的包络；称为瞬时响应信号。希尔伯特变换包络定义为 (7)相位定义为 (8)瞬时频率定义为 (9)根据傅里叶变换式 (10)为计算，由知 (11)其中因此，可以简单地从得到，而的虚部即。2. 希尔伯特变换的性质1) 线性性质若a,b为任意常数，且，则有 (12)2) 移位性质 (13)3) 希尔伯特变换的希尔伯特变换 (14)此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步得到 (15)4) 逆希尔伯特变换 (16)为与的卷积，可表示为 (17)其中，。5) 奇偶特性如果原函数是的偶（奇），则其希尔伯特变换就是的奇（偶）函数，即 (18)6) 能量守恒 根据帕塞瓦尔定理可知和因而有 (19)7) 正交性质 (20)8) 调制性质对任意函数，其傅里叶变换是带限的，即则有 (21)9) 卷积性质 (22)另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域
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