自动控制理论PPT课件-第三章线性控制系统的时域分析.ppt

第三章 线性控制系统的时域分析,3.1 引言 3.2 典型输入信号 3.3 控制系统的时域响应及性能指标 3.4 一阶系统时域响应 3.5 二阶系统时域响应 3.6 高阶系统时域响应 3.7 线性定常系统的稳定性与劳斯稳定判据 3.8 控制系统的稳态误差分析及计算,3.1 引言,对于线性系统，常用的性能分析方法有三种： 时域法；根轨迹法；频率特性法。,时域法的特点 时域法是最基本的分析方法, 是学习复域法、频域法的基础。 (1) 直观，准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 求解系统输出的解析解，比较烦琐,适用于低阶系统。,3.2 典型输入信号,典型的输入信号有5种： 阶跃函数；斜坡函数；抛物线函数；脉冲函数；正弦函数 典型输入信号的特点： 数学表达简单，便于分析和处理， 易于实验室获得,一、阶跃函数,a为常量，a=1称为单位阶跃函数 1(t),表达式：,拉氏变换：,作用：考查系统对于恒值信号跟踪能力,二、斜坡函数,a为常量，a=1称为单位斜坡函数。,表达式：,拉氏变换：,作用：考查系统对于等速度信号跟踪能力,a为常量，a=1/2时称为单位抛物线函数。,三、抛物线函数,表达式：,拉氏变换：,作用：考查系统对于等加速信号跟踪能力,四、脉冲函数,表达式：,拉氏变换：, 0称为单位脉冲函数，记为,作用：考查系统在脉冲扰动后的复位运动,a为常数,五、正弦信号,表达式：,分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。,作用：用来求取频率响应,拉氏变换：,3.3 控制系统的时域响应及性能指标,求解微分方程的方法有经典法，拉氏变换法和数值求解,系统的时域响应：求解一定输入作用下，微分方程的解,一、控制系统的时域响应,控制系统的时域响应：使用拉氏变换法，研究初状态为零的系统，在典型输入作用r(s)下，输出量c(t)随时间的动态变化过程,拉氏变换求微分方程解的步骤： 对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为 s域的代数方程 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式 c(s) 对上式进行部分分式展开，并求待定系数 查拉氏变换表，得到各部分分式对应的原函数,时域性能指标 暂态性能指标 稳态性能指标,1）暂态性能指标 最大超调量 : 输出量的最大值超过稳态值的百分数。,快速性,上升时间tr：输出第一次达到稳态值所需要的时间 峰值时间tp：对应于最大超调量发生的时间 调整时间ts：输出响应曲线达到并保持与稳态值之差在 预定的差值内（又叫误差带 ）所需要的时间。 =0.02 或0.05,延迟时间td: 输出第一次达到50输出稳态值所需的时间。,系统误差 e(t)=r(t)-c(t),2）稳态性能指标: 稳态误差esr,稳态误差,3.4 一阶系统的时域响应,分析系统在典型输入信号r(s)的响应,(3-4-1),单位阶跃响应,（2）是一单调上升的指数曲线，随着时间的增加趋于稳态值，它的特点是,c(t)的输出：,1)快速性：阶跃响应无超调量，主要以ts来衡量。,ts=3 （= 0.05） ts=4 （= 0.02） （） 因此， 越小，系统过渡时间就越短。,2）t= ，2，3, 4时，输出分别达到稳态值的0.632， 0.865，0.95，0.98,1)t0时，响应曲线的切线斜率为1/, 切线与稳态值的交点处的t= 。,性能指标,2)平稳性： 非周期、无振荡、无超调量，平稳性好,举例说明（一阶系统）,解：系统闭环传函,系统时间常数=1/k，则系统阶跃响应调节时间ts,ts=3=3s（= 0.05）ts=4=4s（= 0.02）,2单位脉冲响应：系统在脉冲扰动后的复位运动,c(t)的输出：是一单调下升的指数曲线,结论：一阶系统在脉冲扰动作用下，可以在ts=（3-4） 内将扰动的影响衰减到允许误差之内。,3单位斜坡响应,c(t),c(t)的输出：是一单调上升的曲线,输出与输入的误差为,结论：一阶系统可以跟踪斜坡信号，但只能实现有差跟踪，稳态误差，可以通过减小来减小差值，但不能消除它。,c(t),性能指标 : 准确性,稳态误差,稳态误差趋于 ， 越小，稳态误差越小,仅有一个特征参量 时间常数； 可以跟踪阶跃信号，使系统的输出在ts=（3-4）内，平稳的达到稳态值； 在脉冲扰动作用下，可以在ts=（3-4） 内将扰动的影响衰减到允许误差之内； 可以跟踪斜坡信号，但只能实现有差跟踪，稳态误差，可以通过减小来减小差值，但不能消除它。,由上面分析可知，一阶系统,3.5 二阶系统的时域响应,自动控制理论,用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统,二阶系统在工程中比较常见，其响应特性常被 视为一种基准 许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究 因此研究二阶系统具有很重要的意义,注意：当不同时，极点有不同的形式，其单位阶跃响应c(t) 的形式也不同。图3-5-2,j,一二阶系统的单位阶跃响应,系统的c(t),过阻尼,c(t)的输出： 与一阶系统类似： 不振荡，单调上升的曲线 与一阶系统区别： 初始斜率为0，暂态过程长,非周期、无振荡、无超调量，平稳性好,离虚轴近的极点s1对响应产生的影响大 离虚轴远的极点s2对响应产生的影响小 当s2 s1 1, s2甚至可以忽略不计，,在工程上， 时，使用上述近似式已有足够的准确度,s2极点离虚轴远， 衰减速度快， s1极点离虚轴近， 衰减速度慢；,近似为一阶系统,2.临界阻尼,系统的c(s),系统的c(t),c(t)的输出： 与过阻尼二阶系统类似：不振荡，初始斜率为0，单调上升的曲线 与过阻尼二阶系统区别：暂态过程较短,性能指标：,1)平稳性： 非周期、无振荡、无超调量，平稳性好,2）快速性：调节时间ts,3）准确性：,由 决定，与 wn 无关， 称为二阶系统的阻尼角,系统的c(t),欠阻尼下，系统的c(s),由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状态。经典控制理论将临界稳定系统划归为不稳定的范畴。,曲线是等幅振荡的，超调量为100，振荡频率为wn,从图可见： ）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲线变为单调上升; ）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应; ） 0.50.8之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值;阻尼比为0.707称为最佳阻尼比； ）过阻尼系统反应迟钝，动作很缓慢,不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线图,工程上，一般的控制系统大都设计成欠阻尼系统，阻尼比一般取0.50.8,二欠阻尼下（01)二阶系统暂态响应性能指标,暂态响应指标tr、tp、mp、ts与二阶系统的特征参量 和wn的关系,1.上升时间tr:在暂态过程中，c(t)第一次达到稳态值的时间,则必有,可得,令,峰值时间tp:响应由零上升到第一个峰值所需的时间,到达第一个峰值时,移项后得,在c(t)达到最大值时，有,而,调整时间,与稳态值 之间的差值达到允许误差带（取0.02或0.05）范围时所需要的时间。,用包络线代替实际响应来估算调节时间。,取sin项为1,当tsts时，有：,二阶系统的时域响应,由此可求得,如何选取 和n使系统满足设计要求： 1）mp只由 决定， 越小， mp 越大。所以，一般根据mp 的要求选择值 (实际系统中，值一般在0.5-0.8之间),小结,欠阻尼二阶系统瞬态响应性能完全取决于 和n 。,2) 可通过n的选取来满足各种时间性能指标的要求 增大n ，能使tr，tp和ts都减少。,不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线图,三、二阶系统举例,例1：试画出对应于下列每一技术要求的二阶系统在s平面上的区域。,解：,例2： 设位置随动系统，其结构图如图所示，给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益k13.5, 59.2, 200，1500时，输出响应特性的性能指标：上升时间tr,峰值时间tp，调节时间ts和超调量mp，并分析比较之。(=0.05),例题2 解析,输入：单位阶跃,系统的闭环传递函数,例题2解析,当k 13.5时,系统的闭环传递函数：,无,与标准的二阶系统传递函数对照得：,例题2解析,当k 59.2时,系统的闭环传递函数：,无,与标准的二阶系统传递函数对照得：,例题2解析,当k 200时,系统的闭环传递函数：,与标准的二阶系统传递函数对照得：,例题2解析,当k 1500时,系统的闭环传递函数：,与标准的二阶系统传递函数对照得：,暂态性能指标随k变化的情况,2）改变k值，系统处于不同阻尼状态 k=13.5时， 1 过阻尼状态 k=59.2时， 1无阻尼状态 k59.2时， 01欠阻尼状态，系统的闭环极点在垂线 n上下移动，这时k值的改变并不影响ts,结论：,1）k增大时，n增大而减小，mp增大，一般较强的振荡趋势对应较短的tr、tp,系统极点分布与在单位阶跃作用下的响应曲线,3.6 高阶系统的时域响应,凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。高阶系统的闭环传函分母中s的最高幕次n2. 高阶系统闭环传函的一般形式为,写成,求拉氏反变换，得：,(3-6-2),(3-6-3),1、偶极子：一对数值上相近即位置靠得很近的闭环零、极点（极端情况下，一对重合的闭环零、极点）,2、偶极子相消：一对重合的闭环零、极点偶极子对暂态响应无任何影响，此时可将此对偶极子一起消去;,工程上确定主导极点方法: 1)极点p距虚轴的距离|re(p)| 极点b距虚轴的距离|re(b)| |re(p)|5|re(b)| 2)极点b附近无零点 b为主导极点，分析时可忽略极点p,3、系统极点p的负实部愈是远离虚轴，则极点p对应的瞬态响应项衰减得愈快 距虚轴最近的极点b对应着瞬态响应中衰减最慢的项，极点b对瞬态响应起主导作用,主导极点作用： 可将高阶系统用低阶系统的响应来近似 1)主导极点若以共轭形式出现，该系统可近似看成二阶系统； 2)若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。,例1 已知四阶系统的闭环传递函数为,试求系统近似的单位阶跃响应c(t),解：,2)上式s1= -5 , res2,3= -0.75。|re(s1)|=55|re(s2,3)|,1)系统传函有零点z1= -20.03和极点s4=-20距离很近，远离其它零极点。对消此零极点得,将高阶系统近似为一个二阶系统:1)以s2,3为系统的主导极点；2）在单位阶跃下其初始值及终值与原系统传函相同,初值定理,将高阶系统近似为一个二阶系统:1)以s2,3为系统的主导极点；2）其在单位阶跃下初始值及终值与原系统传函相同,终值定理,原,近似,原,近似,将高阶系统近似为一个二阶系统,3.7 线性定常系统的稳定性与劳斯稳定判据,一稳定的概念与条件 线性系统正常工作的首要条件是系统必须保持稳定两个问题： 什么样的系统是稳定的？ 线性系统稳定的充分必要条件是什么？,零输入响应稳定性：如果系统在扰动的作用下，偏离了原有的平衡状态，而当扰动消失后，又能回到原来的平衡状态，即系统零输入响应具收敛性质，则该系统为稳定系统；反之，系统不能回到原有的平衡状态，即系统零输入响应具有发散性质，则该系统为不稳定系统,零状态响应稳定性：系统在受到输入信号下的稳定性,系统特征方程为,此高阶系统的单位阶跃响应为,(3-6-3),设高阶系统闭环传函为,当d（s）=0，可得到系统特征方程的根即系统极点,线性系统的稳定性,高阶系统的单位阶跃响应为,如果系统稳定，其暂态分量的各个项随着时间的增长应很快趋近于 指数项的系数si应为负值，也就是实数极点应位于左半平面的负实轴上； 指数部分knk应为负值，也就是说共轭复数极点的实部应为负，即共轭复数极点位于左半平面； 系统中只要有一个极点位于右半平面，或虚轴上，暂态分量就是发散的或不衰减的，系统就不稳定,由此可得到线性系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于s平面的左半部，即所有极点si 都有负实部,对于一般线性定常系统的闭环传递函数为,系统特征多项式,三、劳斯稳定判据,劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。 第一行为0，2，4， 第二行为1，3，5，,1. 劳斯表,设线性系统的特征方程为,劳斯表为,一直计算到最后一行为止,系统稳定（极点全部都在s左半平面上）的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值 （ai0 ,ai不缺项)； 劳斯表的第1列也为正 0。,2. 劳斯判据,设线性系统的特征方程为,系统不稳定(在s右半平面上有极点): 劳斯表第1列数有正、负符号变化; 在s右半平面上的极点个数等于劳斯表第1列系数符号改变的次数,在计算时，用一个正数去乘或除某整行，不影响稳定性判断,例1：特征方程为： ，试判断稳定性。,1)劳斯阵第1列有负数，系统是不稳定的。 2)其符号变化2次，表示有2个极点在s的右半平面。,例2：系统的特征方程为：,试判断系统稳定性,解：劳斯阵为：,1）劳斯表某行第1列系数为零，而其余系数不全为零,例3：,则 故第一列不全为正。,3 .两种特殊情况下劳斯表的列写及结论,按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部,第1列系数符号改变的次数2,处理办法：可以用一个很小的正数来代替零值项，然后按通常的方法计算劳斯表中其余各项。,结论若第1列系数中有符号变化，其变化的次数等于该系统在s平面右半面上极点数目；若第1列系数符号都为正，则表示系统有一对共轭虚根存在。,处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程; 对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行; 用通常的方法继续求下面各行的系数; 解辅助方程，得各对称根。,显然，这些根的数目一定是偶数。,例4：,从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要计算对称根再来判稳。由辅助方程求得：,此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。,例5(3-9-1),四、劳斯判据的其它应用,1.分析系统参数对稳定性的影响,当增益k=30时系统有一对共轭虚数极点，此时系统处于临界稳定状态，出现等幅振荡，因此临界增益kc=30, 欲使系统稳定，增益k的取值范围是0k30,当增益k30时系统变得不稳定,系统的无阻尼振荡频率为,将上式代入原方程d(s)，得到以z为变量的新的特征方程，再利用劳斯判据检验其相对稳定性,2、确定系统的相对稳定性（稳定裕度）,1）若新劳斯表第1列均为正数，则所有根均在新虚轴(垂直线s= - s1 )的左边，可判定系统有稳定裕度s1 ； 2）若新劳斯表第1列有正、负数，数符号变化的次数等于系统位于新虚轴(垂直线s= - s1 )的右边根的个数，可判定系统没有稳定裕度s1,这时可以移动s平面的虚轴，如图所示：,例6 已知系统的特征方程为,试判断系统稳定性，并检验有几个根在垂直线s = -的右边。,解 劳斯表为,s 3 1 15 s 2 8 20 s 1 25/4 s 0 20,第1列无符号改变，故没有极点在s平面的右半平面，说明系统稳定。,再令s= z-1，代入特征方程式，得,新的劳斯表为,z 3 1 2 z 2 5 12 z 1 -2/5 z 0 12,可看出，第1列符号改变2次，故有2个根在垂直线s= -1（即新虚轴）的右边，因此稳定裕度达不到s1 1。,s11,3.8 控制系统的稳态误差分析及计算,系统误差及稳态误差的定义 误差传递函数 控制系统的类型 给定稳态误差和扰动稳态误差的计算 提高系统稳态精度的方法,一、系统误差及稳态误差定义,系统的误差常定义为： 期望值实际值,2. 稳态误差定义：系统误差的终值称为稳态误差。当时间t趋于无穷时，e(t)和e(t) 极限存在，则稳态误差为,3.误差类型：给定误差er(s)和扰动误差en(s),系统开环传函,二、误差传递函数,(3-11-1),给定误差传函,扰动误差传函,误差定义2)：,误差传函,(3-11-2),于是,误差定义1)：,e(s)=r(s)-b(s) = -b(s),两者之间的关系,对于单位反馈系统，上述两种定义是等价的,误差定义2)：,三、控制系统的类型,k1,v:控制环节的增益,串联积分环节数,k2,:被控环节的增益，串联积分环节数,k3:反馈环节增益,k=k1k2k3系统的总开环增益；j， i系统的时间常数 v + 开环传函中串联积分环节个数,设系统的开环传函为,v +=0、 v +=1、 v +=2、 v +=n分别是 0型系统、 型系统、型系统、 n型系统；,控制系统的类型: g(s)分母中含有几个积分环节v +数，则称该系统为几型系统,k=k1k2k3系统的总开环增益,四、给定稳态误差和扰动稳态误差的计算, 给定和扰动稳态误差终值的计算：利用拉氏变换的终值定理,（1）给定稳态误差终值计算,显然，esr 与r(s) 和g(s)有关,令n(s)=0,假设开环传递函数g(s) 的形式如下：,可见给定作用下的稳态误差 esr 与外作用r(s)有关； 与开环增益k有关； 与积分环节的个数v +(控制系统类型）有关,1)单位阶跃输入 r(t)=1(t),典型输入信号作用下系统稳态误差,位置误差系数,对于v +=0 型系统,对于v +=1型系统,结论： 1）0 型系统能跟踪阶跃输入，但存在稳态误差，欲减小稳态误差，应增大开环增益k。但k的增大受系统稳定性的制约。 2）若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，应使系统g(s)有一个以上的积分环节。也即采用型或型系统。,2)单位斜坡输入 r(t)=t,式中速度误差系数,结论：1）型系统不能跟踪斜坡输入信号，稳态误差趋于无穷大 2）i型系统能跟踪斜坡输入信号，但存在稳态误差 3）要使斜坡响应的稳态误差为零，需选用g(s) ii型系统,式中加速度误差系数,3)单位抛物线输入 r(t)=t2/2,结论：）型、型系统都不能跟踪抛物线信号，稳态误差趋于无穷大 ）型系统能跟踪抛物线信号，但有稳态误差 ）为使系统的稳态误差为零，需使系统g(s)的积分环节增多，系统的稳定性越来越差。实际上，型以上的系统是很少见的。,小结：表3-12-1 给定作用下的稳态误差esr与外作用r(s)有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。 与g(s)的开环增益k有关；对有差系统，k，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 与g(s)的积分环节的个数v+(控制系统类型）有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。,指出：稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。,当系统的输入信号由阶跃，斜坡和抛物线分量组成时，即,e(s)=r(s)-b(s),线性叠加,例1,增大pd控制器的增益，可以减小对于抛物线信号的跟踪误差,解：系统的开环传递函数为,各静态误差系数,输入信号为,系统在r(t)作用下的稳态误差终值为,（2）给定稳态误差级数,e(s)在s=0的邻域内展成泰勒级数,（*）两边取拉氏反变换，可得给定稳态误差级数的表达式,（*）,上式无穷误差级数收敛于s=0的邻域，cn为动态误差系数,输入信号r(t)是已知的，求稳态误差esr级数关键为求动态误差系数cn,方法：1）由系统已知的开环传函g(s)，写出系统给定误差传函（按s的升幂排列）,2）用上式的分子多项式除以它的分母多项式，得到一个s的升幂级数,3）于是有,4）对上式取拉氏反变换，得（*）,例2（3-12-1),设单位反馈系统的开环传函为,试计算： 1） 2）,解：1)系统的静态位置、速度和加速度误差系数分别为,系统的给定误差传递函数,(本例输入信号r(t)的二阶以上导数等于零，不必求n=3的cn),稳态误差级数为：,由于esr(t)不是t的函数，所以esr(t) 与其esr相等。,稳态误差级数为：,稳态误差级数随时间增长，当t时，esr也趋于无穷大。,(4),结论：,一个系统的稳态误差终值esr与稳态误差级数esr(t)是互相对应的，如当esr为无穷大，其esr(t)级数中至少含有时间t的一次方项,另外应注意： 求静态误差系数kp,kv,ka是对系统的开环传递函数g(s)求极限，而求动态误差系数cn,是对系统的误差传递函数e(s)进行运算,（3）扰动稳态误差终值的计算,误差定义2)：,显然， esn 与扰动输入n(s)、g0(s) 和g(s)有关。,假设开环传递函数g(s) 、g0(s)的形式如下：,（*）,1)单位阶跃扰动 n(t)=1(t),典型扰动作用下系统稳态误差,对于v =0 , =0 系统,对于v=1型系统,结论：1） v =0 系统能抗阶跃扰动，但存在稳态误差，欲减小稳态误差，应增大增益k1、 k3 。 2）若要求系统对阶跃扰动的稳态误差为零，应使系统gc(s)有一个以上的积分环节。,对于v =0 , 0系统,2)单位斜坡扰动 n(t)=t,对于v =0, =0( 0)系统,对于v=2型系统,结论：1）v =0系统不能抗斜坡扰动信号，稳态误差趋于无穷大 2）v =1系统能抗斜坡扰动信号，但存在稳态误差 3）要使斜坡扰动的稳态误差为零，应使系统gc(s)有两个以上的积分环节,对于v=1型系统,3)单位抛物线扰动 n(t)=t2/2,对于v =0, =0( 0)系统,对于v=2型系统,对于v=1型系统,对于v2型系统,小结：表3-12-2 扰动下的稳态误差esn与扰动信号n(s)有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。 与k1、k2、k3增益有关；对有差系统， k1、k3 ，稳态误差， 与控制器gc(s)中积分环节的个数v有关。积分环节的个数，稳态误差，,e(s)=c*(s)-c(s)=-c(s),当系统的扰动信号由阶跃，斜坡和抛物线分量组成时，即,（4）扰动稳态误差级数的计算,例3,系统结构如图所示，如扰动n(t)是1(t)和t，试求系统扰动稳态误差终值及误差级数。,解：系统的开环传递函数为：,系统的扰动误差传函,利用终值定理可得扰动稳态误差终值,单位阶跃扰动时,n(s)=1/s,单位斜坡扰动时,