考研数学公式定理背诵手册数学二高等数学.pdf

84 考研数学公式定理背诵手册（数学二）考研数学公式定理背诵手册（数学二） 第一部分第一部分 高等数学高等数学 一、函数、极限与连续一、函数、极限与连续 1基本初等函数基本初等函数 基本初等函数共有以下六个，其性质和图形必须牢记 （1）常数函数：( )y xc= （2）幂函数：( a yxa=为常数) （3）指数函数：( x yaa=是常数且0,1)aa （4）对数函数：log( a yx a=是常数且0,1)aa，定义域(0,)+，它是指数函数 x ya=的反函数 （5）三角函数： 正弦函数sin ()yxx= （或 ( ) 0fx（或 ( ) 0fx， 0 lim( )0 xb f x （或 0 lim( )0 xa f x + ，如果 94 极限 lim( ) b ab f x dx + 存在，则称此极限值为函数( )f x在 ,)a +上的无穷限反常积分无穷限反常积分，记做 ( )lim( ) b aab f x dxf x dx + + = 若lim( ) b ab f x dx + 存在，则称反常积分( ) a f x dx + 收敛收敛，否则称( ) a f x dx + 发散发散 若( ) a f x dx 与( ) a f x dx + 均收敛，则称反常积分( )f x dx + 收敛，且 ( )( )( ) a a f x dxf x dxf x dx + =+ 若上式右端有一个反常积分发散，则称反常积分( )f x dx + 发散 定义（无界函数的反常积分）定义（无界函数的反常积分） 设函数( )f x在( , )a b内连续， 0 lim( ) xb f x = 对任 意0，如果极限 0 lim( ) b a f x dx 存在，则称此极限值为函数( )f x在 , )a b上的反常积分反常积分，记做 0 ( )lim( ) bb aa f x dxf x dx = 若 0 lim( ) b a f x dx 存在，则称( ) b a f x dx 收敛收敛，否则称( ) b a f x dx 发散发散 设( )f x在 , )a c，( , c b内连续，lim( ) xc f x = ，若( ) c a f x dx ，( ) b c f x dx 均收敛时， 则称反常积分( ) b a f x dx 收敛，且 ( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx=+ ， 否则，称反常积分发散（右端有一个不存在，即称发散） 2. 重要定理与性质重要定理与性质 1）定积分性质）定积分性质 设( )f x，( )g x在 , a b上可积，则定积分有下列性质： （1）( )( ) bb aa kf x dxkf x dx= （k为常数） ； （2） ( )( )( )( ) bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx= ； （3）( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx=+ ，c为区间 , a b中一点； 95 （4）若( )0f x ， , xa b，则( )0 b a f x dx ； （5）若( )( )f xg x， , xa b，则( )( ) bb aa f x dxg x dx ； （6）若( )mf xM， , xa b，则()( )() b a m baf x dxM ba ； （7） b a dxba= ； （8）( )|( )|() bb aa f x dxf x dxab，若( )f x在 ,aa上连续，则有 0 0 0, ( ) ( ) ( )() 2( ), ( ) aa a a f x f x dxf xfx dx f x dxf x =+= 为奇函数, 为偶函数. 若( )f x在(,) +上连续且以T为周期，则有 0 ( )( ) a TT a f x dxf x dx + = （2）常用的定积分计算公式 设( )f x为连续函数，则有 22 00 (sin )(cos )fx dxfx dx = ； 00 (sin )(sin ) 2 xfx dxfx dx = ； 2 00 (sin )2(sin )fx dxfx dx = ； 22 00 133 1 , 24 2 2 sincos 134 2 1, . 25 3 mn nn n nn xdxxdx nn n nn = ? ? 为偶数, 为奇数 （3 ）反常积分 反常积分 1 1 pdx x + ：当1p 时收敛于 1 1p ，当1p 时发散 反常积分 1 0 1 q dx x ：当1q ，使lim( ) p x x f xA + =，则( ) a f x + 收敛； 如果存在01p或lim( ) p x x f x + = +， 则( ) a f x dx + 发 97 散 3平面图形的面积平面图形的面积 （1）由曲线( )yf x=( ( )0)f x ，直线,xa xb=与x轴围成的图形，面积微元与 面积分别为 ( )dSf x dx=，( ) b a Sf x dx= （2）由曲线( )yf x=，( )yg x=和直线,xa xb=围成的图形，面积微元与面积分 别为 |( )( )|dSf xg xdx=，|( )( )| b a Sf xg xdx= （3）由曲线( )rr=( ( )0)r和, =围成的图形，面积微元与面积分别为 2 1 ( ) 2 dSrd=， 2 1 ( ) 2 Srd = （4）由参数方程 ( ), ( ) xt yt = = 给出的曲线， 1 t对应起点， 2 t对应终点，( )xt=在 12 , t t （或 21 , t t）上连续可微，( )yt=在此区间上连续，则曲边梯形面积 2 1 ( )( ) t t Stt dt= 特别地，参数方程所确定的是封闭无重点曲线，则曲线围成图形的面积为 2 1 1 ( )( )( )( ) 2 t t Stttt dt= ， 此时要求( ),( )tt都连续可微 4平面曲线的长度平面曲线的长度 （1）曲线方程( )yf x=()axb，则 2 1( )dlfx dx=+， 2 1( ) b a lfx dx=+ （2）曲线方程为( )xt=，( )yt=()t ，则 22 ( )( )dltt dt=+， 22 ( )( )ltt dt =+ （3）曲线方程为( )rr=，则 22 ( )( )dlrrd=+， 22 ( )( )lrrd =+ （4）空间曲线( )xt=，( )yt=，( )zt=，t ，则 98 222 ( )( )( )dlttt dt=+， 222 ( )( )( )lttt dt =+ 5立体体积立体体积V （1）立体是由曲面和平面,xa xb=围成的，垂直于x轴的截面面积( )S x为已知， 则 ( )dVS x dx=，( ) b a VS x dx=（( )S x连续于 , a b） （2）由平面连续曲线( )yf x=，直线,xa xb=及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转 一周所得旋转体之体积为V，则 2( ) dVyx dx=， 2( ) b a Vyx dx= 6变力沿直线运动所做的功变力沿直线运动所做的功 物体在变力( )F x的作用下，沿直线由xa=运动到xb=所做的功W： ( )dWF x dx=，( ) b a WF x dx= 7液体对平板的侧压力液体对平板的侧压力 平板垂直地浸入液体中，设液体的每单位体积的重力为g，其中为液体的密度，g 为重力加速度，则平板一侧所受液体压力P： ( )dPgxf x dx=，( ) b a Pgxf x dx= 8函数的平均值函数的平均值 函数( )yf x=在 , a b上的平均值 1 ( ) b a yf x dx ba = 五、多元函数的微分与应用五、多元函数的微分与应用 1可微与可偏导的关系可微与可偏导的关系 函数( , )zf x y=在点 000 (,)P xy处可微，则必可偏导，即 00 (,) x fxy， 00 (,) y fxy存在； 反之不真特别，即使 00 (,) x fxy， 00 (,) y fxy存在，函数( , )zf x y=在点 000 (,)P xy处也 不一定连续，当然也不一定可微 2多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 定理（复合函数求偏导数）定理（复合函数求偏导数） 如果( , )uu x y=，( , )vv x y=在点( , )x y处有偏导数， ( , )zf u v=在点( , )u v处有连续偏导数，则 ( , ), ( , )zf u x y v x y=在点( , )P x y处也有关于 x与y的偏导数，且 zfufv xuxvx =+ ， zfufv yuyvy =+ 在相应的条件下，还有下列求导公式： 99 若函数( , , )zf u v w=，( , )uu x y=，( , )vv x y=，( , )ww x y=，则 zfufvfw xuxvxwx =+ ； zfufvfw yuxvywy =+ 若( , , )zf u x y=，( , )uu x y=，则 zfuf xuxx =+ ， zfuf yuyy =+ 若( , , )zf u v w=，( )uu t=，( )vv t=，( )ww t=，则有全导数公式 dzfdufdvfdw dtu dtv dtw dt =+ 3隐函数的求导公式隐函数的求导公式 定理定理 设( )yf x=是由方程( , )0F x y =所确定的隐函数， 且二元函数( , )F x y有连续 的偏导数，( , )0 y F x y ，则 ( , ) ( , ) x y F x ydy dxF x y = 定理定理 设( , )zz x y=是由方程( , , )0F x y z =所确定的隐函数，三元函数( , , )F x y z有 连续的偏导数，且( , , )0 z F x y z ，则 ( , , ) ( , , ) x z F x y zz xF x y z = ， ( , , ) ( , , ) y z F x y z z yF x y z = 六、二重积分六、二重积分 1二重积分的性质二重积分的性质 设函数( , )f x y，( , )g x y在有界闭区域D上可积，则有 性质性质 1 D dA= ，其中A为区域D的面积 性质性质 2 12 ( , )( , )( , ) DDD f x y df x y df x y d=+ ，其中 12 DDD= 性质性质 3 ( , )( , ) DD kf x y dkf x y d= ，其中k为常数 性质性质 4 ( , )( , )( , )( , ) DDD f x yg x y df x y dg x y d= 100 性质性质 5 设在D上若有( , )( , )f x yg x y，则 ( , )( , ) DD f x y dg x y d ， 特殊地有 ( , )( , ) DD f x y df x y d 性质性质 6 设,M m分别是( , )f x y在闭区域D上的最大值和最小值，A是D的面积， 则有 ( , ) D mAf x y dMA 性质性质 7（积分中值定理）（积分中值定理） 设( , )f x y在有界闭区域D上连续，则至少存在一点 ( , )D ，使 ( , )( , ) D f x y dfA = ，其中A为D的面积 2化重积分为累次积分计算公式化重积分为累次积分计算公式 1 ）二重积分 设( , )f x y在有界闭区域D上连续 公式公式 1 设:D axb，cyd若( , )( ) ( )f x yxy=，则 ( , )( )( ) bb ac D f x y dx dxy dy = 公式公式 2 设:D axb， 12 ( )( )xyx，则 2 1 ( ) ( ) ( , )( , ) bx ax D f x y ddxf x y dy = 公式公式 3 设 12 :( )( )Dyxy，cyd，则 2 1 ( ) ( ) ( , )( , ) dy cy D f x y ddyf x y dx = 公式公式 4 设:D， 12 ( )( )rrr，则 ( , )( cos , sin ) DD f x y df rrrdrd= 2 1 ( ) ( ) ( , ) r r dF rrdr = ，其中( , )( cos , sin )F rf rr= 特别地，当 1( ) 0r=时，有 101 2( ) 0 ( , )( cos , sin ) r D f x y ddf rrrdr = ； 当0=，2=， 1( ) 0r=时，有 2 2( ) 00 ( , )( cos , sin ) r D f x y ddf rrrdr = 七、常微分方程七、常微分方程 1. 一阶微分方程的分类及其解法 （1）可分离变量的微分方程 1. 一阶微分方程的分类及其解法 （1）可分离变量的微分方程 分类分类 形如( )( ) dy f xg y dx =的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 解法解法 对可分离变量的微分方程，分离变量后两边积分 1 ( ) ( ) dyf x dxC g y =+ ( ( )0)g y 便可求得其通解 分类分类 形如( , ) dy f x y dx =的微分方程中( , )f x y可以写成( , ) y f x y x = 的形式，我 们称这类微分方程为齐次微分方程齐次微分方程 解法解法 对( , ) dyy f x y dxx = ，作变换 y u x =，则yux=， dydu ux dxdx =+，代入 方程得 ( ) du xuu dx =， 化为可分离变量的微分方程求解 注注 形如 11 dyaxbyc dxa xb yc + = + 是可化为齐次的方程具体解法是：令Xxh=+， Yyk=+，其中, h k待定于是dXdx=，dYdy=，从而原方程化为 11111 dYaXbYahbkc dXa XbYa hbkc + = + 如果方程组 111 0, 0 ahbkc a hbkc += += 有解，那么可以定出, h k，使上式变为 11 dYaXbY dXa XbY + = + ， 102 然后化为齐次微分方程求解 （2）一阶线性微分方程 分类 （2）一阶线性微分方程 分类 形如( )( ) dy P x yQ x dx +=的微分方程称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程 如果( )Q x恒等于 零，称方程为齐次的齐次的，如果( )Q x不恒等于零，称方程为非齐次的非齐次的 解法 1解法 1 直接用公式求通解 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC =+ 解法 2解法 2 常数变易法在求得其对应的齐次方程的通解 ( )P x dx yCe =，将解中的常数 C变易为x的函数( )C x即 ( ) ( )( ) P x dx y xC x e =，其中C是待定的函数，对( )y x求 ( ) y x 后代入原方程得 ( ) ( ) ( ) P x dx C xQ x e=， 两端积分得 ( ) 1 ( )( ) P x dx C xQ x edxC =+ 于是方程的通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC =+ （3）伯努利方程 分类 ）伯努利方程 分类 形如( )( ) n dy P x yQ x y dx +=(0,1)n 的微分方程称为伯努利方程 解法解法 做变量代换： 1n zy =，(1) n dzdy n y dxdx =，化原方程为 (1) ( )(1) ( ) dz n P x zn Q x dx += 这是一阶线性微分方程，可用上述一阶线性微分方程求出关于z的通解，再将z换成 1n y 便 可得到y的通解 （4）全微分方程）全微分方程 分类分类 若( , )( , )( , )P x y dxQ x y dydu x y+=，则称形如0PdxQdy+=的微分方程为 全微分方程 解法解法 根据二元函数全微分求积定理：设开区域G是平面上的单连通区域，函数 ( , )P x y，( , )Q x y在G内具有一阶连续偏导数，则( , )( , )P x y dxQ x y dy+在G内为某一函 数( , )u x y的全微分方程的充要条件是： PQ yx = 在G内恒成立，且当这条件满足时，全 微分方程的通解是 00 ( , )( , )( , ) xy xy u x yP x y dxQ x y dyC=+= ， 103 其中 00 ,xy是区域G内适当选定的点 000 (,)Mxy的坐标 注注 若方程( , )( , )0P x y dxQ x y dy+=不是全微分方程，但如果方程两边乘上函数 ( , )x y后可将方程化为全微分方程，我们称( , )x y为该微分方程的积分因子积分因子，该方程称 为具有积分因子的微分方程具有积分因子的微分方程此时积分因子 1 ( , )exp PQ x y Qyx = 2. 可降阶的高阶微分方程及解法可降阶的高阶微分方程及解法 （1）方程）方程 ( ) ( ) n yf x= 解法解法 这个方程的特点是它的右端不含未知函数y及其 1 至1n阶导数， 用逐次求不 定积分的方法可得方程的通解方程 ( ) ( ) n yf x=可改写成 (1) ( ) n dyf x dx = 将上式两边分别求积分，得1n阶微分方程 (1) 1 ( ) n yf x dxC =+ 再按同样的方法积分1n次，即可得所求方程的通解 （2）方程）方程 ( ,)yf x y= 解法解法 这个方程的特点是它的右端不显含y，其解法是：令 yp=，则 dp y dx =，代 入方程 ( ,)yf x y=，其化为一阶微分方程 ( , ) dp f x p dx = 根据此方程所属类型，可求出其通解，设它为 1 ( ,)px C=因 yp=，于是原方程的通解为 12 ( ,)yx C dxC=+ （3）方程）方程 ( ,)yf y y= 解法解法 方程 ( ,)yf y y=的特点是方程右端不显含自变量x，其解法是令 ( )yp y=， 则 dp dydp yp dy dxdy =，代入原方程得关于y， dp dy 的一阶微分方程 104 ( , ) dp pf y p dy = 设此方程的通解为 1 ( ,)py C=，即 1 ( ,) dy y C dx =，再分离变量后，便可求得原方程的通解 3. 高阶线性微分方程的重要定理、性质及其解法高阶线性微分方程的重要定理、性质及其解法 定义定义 形如 ( )(1) 11 ( )( )( )( ) nn nn yp x ypx ypx yf x +=? （9.1） 的微分方程称为n阶线性微分方程阶线性微分方程，其中( )(1,2, ) i p x in=?，( )f x为连续函数 当( )0f x =时， （9.1）式成为 ( )(1) 11 ( )( )( )0 nn nn yp x ypx ypx y +=?， （9.2） （9.2）式称为n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程，而当( )f x0 时，称式（9.1）为n阶线性微分方程阶线性微分方程 （1）齐次线性微分方程解的性质及通解结构定理）齐次线性微分方程解的性质及通解结构定理 定理定理 1 若函数 12 ( ),( ),( ) m y xyxyx?是齐次线性微分方程（9.2）的m个解，则它们 的线性组合，即 1122 ( )( )( ) mm C y xC yxC yx+?也是方程（9.2）的解 定理定理 2 若 12 ( ),( ),( ) n y xyxyx?是n阶齐次线性微分方程 （9.2） 的n个线性无关的解， 则它们的线性组合 1122 ( )( )( ) nn yC y xC yxC yx=+? 是方程（9.2）的通解，其中 12 , n C CC?是n个独立的任意常数 （2）非齐次线性微分方程解的性质及通解结构定理）非齐次线性微分方程解的性质及通解结构定理 定理定理 3 设 1( ) y x与 2( ) yx分别是非齐次线性微分方程 ( )(1) 111 ( )( )( )( ) nn nn yp x ypx ypx yf x +=? 和 ( )(1) 112 ( )( )( )( ) nn nn yp x ypx ypx yfx +=? 的解，则 12 ( )( )y xyx+是方程 ( )(1) 1112 ( )( )( )( )( ) nn nn yp x ypx ypx yf xfx +=+? 的解 定理定理 4 设方程（9.2）是非齐次线性微分方程（9.1）相对应的齐次线性微分方程若Y 是方程（9.2）的通解，y是方程（9.1）的一个特解，则yYy=+是非齐次线性微分方程 105 （9.1）的通解 （3）非齐次线性微分方程的通与对应的齐次线性微分方程解的关系）非齐次线性微分方程的通与对应的齐次线性微分方程解的关系 定理定理 5 设 12 ,y y是非齐次线性微分方程（9.1）的两个解，则 12 yy是对应的齐次线性 微分方程（9.2）的解 （4）二阶常系数齐次微分方程）二阶常系数齐次微分方程 二阶常系数齐次微分方程的一般形式为 0ypyqy+=， （9.3） 其中, p q为常数 对于二阶常系数齐次线性微分方程 （9.3） ， 只要求得它的特征方程 2 0rprq+=的根， 无需积分就能求得它的通解，如表 9.1 所示 表表 9.1 特征方程的根 12 ,r r 微分方程的通解 两个不等的实根 12 rr 12 12 rxrx yC eC e=+ 两个相等的实根 12 rr= 12 () 1 rx yCC x e=+ 一对共轭复根 1,2 ir= 12 (cossin) x yeCxCx =+ 注注 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法， 可以推广到高于二阶的常系数齐次线性 微分方程 设n阶常系数齐次微分方程的一般形式为 ( )(1) 11 0 nn nn yp ypyp y +=?， （9.4） 它的特征方程为 1 11 0 nn nn rp rprp +=? 根据特征方程根的不同情况，可以写出与其对应的微分方程的解，如表 9.2 所示 表表 9.2 特征方程的根 微分方程通解中的对应项 单实根r 给出一项： rx Ce k重实根r 给出k项： 1 12 () krx k CC xC xe +? 一对单复根 1,2 ir= 给出两项： 12