“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用-典型例题.pdf

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年山东德州卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点， DPC=A=B=90.求证：ADBC=APBP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当 DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应 用： 请利 用 (1)、 (2)获 得的 经验解决问题：如图3，在ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足 DPC=A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径 的圆与AB相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6，分别以ABC 的边AC 与边BC 为边，向ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使AHK = ACD1 作 D1M KH，D2N KH，垂足分别为点M、N 试探究线段D1M 与线 段D2N 的数量关系，并加以证明 ( 2) 拓展延伸 1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线 K1H1 ，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使AH1K1 = BH2K2 = ACD1 作D1M K1H1，D2NK2H2，垂足分别为点M、N D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由 2 如图8，若将 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变 D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全图形，注明字母，直 接写出结论，不需证明) 二、添加辅助线后运用基本图形 例1、在ABC中， AB =2，B = 45，以 点A为直角顶点作等腰 tADE，点D 在BC 上，点E 在AC上，若 CE=5，求CD的长。 例2、 ( 2013 年海淀区 一模22 题最后一问) 如 图，l1、l2、l3是同一 平面内的三条平行 线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之 间的距离是21/10，等边ABC 的三个顶 点分别在l1、l2、l3上，求ABC 的边 长 例3、 如图，在 矩形纸片A 中， ，在 边上取点， 现将纸片沿 翻折，使点 落 在 边上的点 处，当时，求 的长。 三、应用举例 1、等腰三角形底边上的一线三等角 例1、如图5，在 三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作 MDN=B. (1) 如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线， 写出图中所有与三角形ADE相似的三角形。 (2) 如图6，将MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段 AC,AB于E,F点，（E和A点不重合），不添加辅助线，写出图中 所有相似的三角形，并证明。 (3) 在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于三角 形面积的1/4时，求线段EF的长。 例2、 如图8，在RtABC 中，AB = AC =2，A = 90，现取一块等腰直角三角 板，将45 角的顶点放在BC 中点O 处，三 角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点 E、F，设BE =x，CF = y，BOE = ( 45 90) ( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围; ( 2) 试判断BEO 与OEF 的大小关系?并说明理由; ( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，OEF 能否成为等腰三角形? 若 能，求出对应 x 的值; 若不能，请说明理由 【例3】（2012四川成都卷）如图，ABC和DEF两个全等的等腰直 角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点E与ABC 的斜边BC 的 中点重合将DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相 交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q （1） 如图，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证： BPECQE； （2） （2）如图，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： BPECEQ； 并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式 表示） 6、（东城一模24.） 等边ABC边长为6，P为BC边上一点， MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. （1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形 状； （2）如图2，若点P在BC边上运动，且 保持PEAB，设BP=x，四边 形AEPF面积的y，求y与x的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围； （3）如图3，若点P在BC边上运动，且 MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长. 2、四边形中的一线三等角 例1、如图，正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个 动点， 且始终保持AM MN，设BM 的长为x cm，CN的长为y cm.求点M 在 BC 上的运动过程中y 的最大值 例2 例3、如图，在等腰梯形ABCD 中，ADBC，BC = 4AD = 4 2，B = 45，点 E、F 分别在边BC、CD 上移动，且 AEF = 45，则点E移动过程中，线段AF 长 的最小值是（ ） 例4如图,在梯形 中， ， ， ，点 分别在线段 上（点 与点 不重合），且 ，设 ， 求 与 的函数表达式； 当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？ 例4、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=8， ，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且FEC=ACB，设 DE=x，CF=y. （1）求AC和AD的长； （2）求y与x的函数关系式； （3）当EFC为等腰三角形时，求x的值. Image 3、函数问题中的一线三等角 例1、在直角坐标系中，点A 是抛物线y= x2在第二象限上的点，连结 OA，过点O 作OB OA，交抛物线于点B，以OA、OB 为边构造矩形 AOBC 如图，当点A 的横坐标为1/2时，求点B 的坐标 例2、如图，已知直线y = kx 与抛物线y = 4/27 x2 +