正弦量的相量表示法例题及答案.doc

52 正弦量的相量表示法一、复数及其运算1、复数的形式及其相互转换（1）代数形式（直角坐标形式）：其中：为实部，为虚部,；每一个复数在复平面上都可找到唯一的点与之对应，而复平面上的每一点也都对应着唯一的复数。复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。复数，可以用一个从原点O到P点的矢量来表示，这种矢量称为复矢量。由图可知：复数的模矢量的长度：复数的辐角：矢量和实轴正方向的夹角：规定 （复数落于第、象限） 或（复数落于第、象限）实部：虚步： （2）复数的三角形式：（3）复数的指数形式：（欧拉公式：）（4）复数的极坐标形式：例5-3 写出复数的极坐标形式。解 的模 辐角 （在第四象限） 则的极坐标形式为。 的模 辐角 （在第二象限） 则 的极坐标形式为。例5-4 写出复数的三角形式和代数形式。解 三角形式： 代数形式： 2、复数的运算 设 （1）复数相等：两个复数相等，则其实部和虚部分别对应相等或模、辅角相等。即：若，则一定有：或。（2）复数的加减法：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。 复数的加减运算也可用几何作图法平行四边形法和三角形法。如图为复数相加减矢量图。（3）复数的乘法运算：模相乘，辐角相加。 （4）复数的除法运算复数相除就是其模相除，辐角相减。 w 一般来说，复数的乘除运算用极坐标形式较为方便，加减运算用代数形式较为方便。3、旋转因子旋转因子，即它是一个模为1 、辐角为的复数。任何一个复数乘以，即：，相当于复数逆时针旋转角度，而模不变；当复数除以时，即：，相当于把顺时针旋转角度，而模不变。如下图(a)所示。当时，。若一个复数乘以，就等于这个复数向量在复平面上按逆时针方向旋转，如下图（b）所示；若一个复数除以，就等于该复数乘以，即该复数在复平面中按顺时针旋转，如下图（c）。 （a） (b) (c)二、正弦量的相量表示1、相量设，在复平面上做一个矢量，如图所示，矢量的长度按比例等于振幅； 矢量和横轴正方向之间的夹角等于初相角；矢量以角速度绕坐标原点逆时针方向旋转。当时间，该矢量在纵轴上的投影为。经过一定时间，矢量从OA转到OB，这时矢量在纵轴上的投影为，即为时刻正弦量的瞬时值。由此可见，上述旋转矢量既能反映正弦量的三要素，又能通过它在纵轴上的投影确定正弦量的瞬时值，所以复平面上一个旋转矢量可以完整地表示一个正弦量。复平面上的矢量与复数是一一对应的，用复数来表示复数的起始位置，再乘以旋转因子便为上述旋转矢量，即则可见，复指数函数中的是以正弦量的有效值为模，以初相为辐角的一个复常数，这个复常数定义为正弦量的有效值相量，记为，。同理，设，则正弦电流的有效值电流相量为。例：电流A，则其有效值相量为A。已知角频率的正弦量的有效值相量为，则其正弦量瞬时值表达式为。2、相量图正弦量的相量是复数，可以将相量在复平面上用矢量表示。相量在复平面上的表示图称为相量图。注意：只有同频率的正弦量所对应的相量才能画在同一复平面上。三、正弦量的基本运算1、同频率正弦量的代数和设，这些正弦量的和设为正弦量，则而 有 上式对于任何时刻都成立，故有 2、正弦量的微分设正弦电流，对求导，有其中，则上式表明：正弦量的导数是一个同频率正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以，此相量的模为原来的倍，辐角则超前原相量。3、正弦量的积分设正弦电流，对积分，有上式表明：正弦量的积分结果为同频率正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以，其模为原正弦量有效值的，其辐角滞后原正弦量。例5-5 试求下列正弦电压。（