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柯西不等式的变形及其应用周学员作者单位：湖北省安陆市第一高级中学邮政编码：432600 高中新课程标准实施后与以前的课本比较新增了一些内容，这些新增内容在拓宽学生知识面的同时也增加了新的难点，例如新增的柯西不等式就是其中的难点之一，下面谈一谈柯西不等式的两种变形及其应用，希望对读者理解与应用柯西不等式有所帮助。一柯西不等式如果ai、biR(i=1,2,n)，那么，当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个常数k，使得ai=kbi(i=1,2,n)时，等号成立。二两个推论 推论1.如果aiR，bi0，(i=1,2,n)，那么，当且仅当bi=kai (i=1,2,n)(i=1,2,n)时，等号成立。证明：由柯西不等式得，当且仅当bi=kai (i=1,2,n)(i=1,2,n)时，等号成立。推论2.如果aibi0(i=1,2,n)，那么，当且仅当b1=b2=bn时，等号成立。证明：由柯西不等式得，当且仅当b1=b2=bn时，等号成立。三。应用提高例1.已知a,b,cR+，a+b+c=1，求证：证明：a,b,cR+，a+b+c=1由推论1得例2已知a,b,cR+，求证：证明：a,b,cR+，由推论1得即例3已知a,b,cR+，求证：证明：a,b,cR+，由推论2得=例4已知nN*且n2，求证：证明：由推论1得又由推论2得故原不等式成立四练习巩固1：设定义在R上的函数，若且求证：.分析：要证明，即证：只需证：证明：12x+22x+(n1)2x+an2x （，）即2若 求证：分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式的推论1了 由推论1得3分析：由推论2得五小结升华由上面例题和练习的证明可知运用柯西不等式的推论1和推论2证明其他不等式的关键是构造分式，并按照推论1和推论2的形式进行探索，寻求证题思路。联系地址：湖北省安陆市凤凰寄宿高中高三数
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