1992考研数学试题全及答案.pdf

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 1 页 1992 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设函数( )yy x由方程cos()0 x y exy 确定, 则 dx dy = xyxe exyy yx yx sin sin . (2) 函数 222 ln()uxyz在点(1,2, 2)M处的梯度 M gradu9 /2, 2, 12 (3) 设 2 1,0 ( ) 1,0 x f x xx ，则其以 2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于 2 2 . (4) 微分方程xxyycostan的通解为xcxycos)( . (5) 设 A= 1 11 21 2 12 22 12 n n nnn n ababab a ba ba b a ba ba b ， 其中0,0 ii ab,(1,2,in)， 则矩阵 A 的秩 r(A)= 1 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 当 x1时，函数 1 1 2 x x e 1 1 x 的极限 （D） (A) 等于 2 (B) 等于 0. (C) 为. (D) 不存在但不为. (2) 级数 1 )cos1 () 1( n n n (常数)0 (C) (A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 收敛性与有关. (3) 在曲线 32, ,tztytx的所有切线中， 与平面42zyx平行的切线 (B) (A) 只有 1 条 (B) 只有 2 条 (C) 至少有 3 条 (D) 不存在 (4) 92-1、2 设 32 ( )3,f xxx x 则使 ( )(0)n f存在的最高阶数n为 (C) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (5) 要使 1 1 0 , 2 0 1 21 都是线性方程组 AX=0 的解, 只要系数矩阵 A 为 (A) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 2 页 (A) 112 ； (B) 110 102 ；(C) 110 201 ；(D) 110 224 110 三、三、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分分) (1) 求. 11 1sin lim 20 x xe x x 解：解：原式 2 1 0 2 sin1 lim x x ex x = 2 分 0 cos lim x x ex x 4 分 1. 5 分 (2) 设 22 (sin ,) x zf ey xy, 其中f具有二阶连续偏导数, 求 yx z 2 . 解：解： 12 sin2 x z eyfxf x 2 分 2 2 1112221 sincos2( sincos )4cos xxx z feyyeyyxy fxyff ey x y .5 分 (3) 设( )f x 2 1,0 ,0 x xx ex ，求 3 1 )2(dxxf. 解：解：令2xt，则原式 1 1 ( )f t dt = 2 分 01 2 10 (1) t tdte dt 4 分 71 3e 5 分 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) 求微分方程 x eyyy 3 32 的通解. 解：解：对应齐次方程的通解为： 3 12 xx ycec e ，其中 12 ,c c为任意常数. 3 分 设原方程的一个特解为 *3x yAxe，代入原方程得 1 4 A，所以 *3 1 4 x yxe 5 分 所求通解为 33 12 1 4 xxx ycec exe . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 计算面积分 ,)()()( 232323 dxdyayzdzdxaxydydzazx 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 3 页 其中为上半球面 z = 222 yxa的上侧 解：解：记 S 为平面 222 0()zxya的下侧，为 与S所围成的空间区域，则 原式 323232 ()()() S xaz dydzyax dzdxzay dxdy 323232 ()()() S xaz dydzyax dzdxzay dxdy 2 分 222 2222 3() xya xyz dxdydzay dxdy 4 分 22 423 2 00000 3sinsin aa dddadr dr 6 分 555 6129 5420 aaa. 8 分 六、六、(本题满分本题满分 7 分分) 设, 0)0(, 0)( fxf证明: 对任何 x, 0, 0 21 x有)()()( 2121 xfxfxxf. 证证：由微分中值定理，有 11111 ( )(0)( ),(0)f xfx fx 122122212 ()()(),()f xxf xx fxxx. 2 分 不妨设 12 xx ，则有 12 . 4 分 由于( )0fx ，知( )fx 单调减少，故 21 ()( )ff， 而 1 0x ，所以 1221 ()()( )(0)f xxf xf xf， 6 分 由 1212 (0)0()( )()ff xxf xf x即得，. 7 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 在变力 kxyjzxiyzF 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 上第一卦限的点 M(),，问当,取何值时，力 F所作的功 W 最大? 并求出 W 的最大值. 解：解：直线段:,01OMxt yt zt t从 到 ， 1 分 OM Wyzdxzxdyxydz 2 分 1 2 0 3t dt . 4 分 222 222 W1(0,0,0) abc 下面求在条件下的最大值. 222 222 F( , , )(1) abc 令, 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 4 页 由 0 0 F 0 F F ，得 2 2 2 2 , 2 , 2 , a b c 6 分 222222 222222 1 , 3abcabc 从而即得 111 , 333 abc于是得 . 7 分 由问题的实际意义知 max 3 9 Wabc . 8 分 八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设向量组 321 ,线性相关，向量组 432 ,，问： (1) 1 能否由 32, 线性表出？证明你的结论. (2) 4 能否由 321 ,线性表出？证明你的结论. 解：解：(1) 1 能由 32, 线性表出. 1 分 因为已知 432 ,线性无关，所以 32, 线性无关. 3 分 又因为 321 ,线性相关，故证得 1 能由 32, 线性表出. 4 分 (2) 4 不能由 321 ,线性表出. 5 分 用反证法.假设 4 可由 321 ,线性表出，即 4231312 . 又由(1)知， 12233 ll，故代入上式得 421 2231 33 ()()ll. 即 4 可由 23 ,表出，从而 432 ,线性相关，这和已知矛盾. 因此， 4 不能由 321 ,线性表出. 7 分 九、九、(本题满分本题满分 7 分分) 设三阶矩阵 A 的特征值为, 3, 2, 1 321 对应的特征值向量依次为 . 9 3 1 , 4 2 1 , 1 1 1 321 又向量. 3 1 1 (1) 将用 321 ,线性表出；(2) 求 An n (为自然数). (1) 解：解：设 1 1223 3 xxx， 1 分 则由 111111111111 123101200120 149303820022 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 5 页 得唯一解(2, 2,1)，故 123 22. 3 分 (2) 解一：解一： 123 (22) nn AA 4 分 由于,(1,2,3) nn iiiiii i AA， 5 分 故 123112233 2222 nnnnnnn AAAA 6 分 1 21 32 111223 2 12 2233223 149223 nn nnnn nn . 7 分 解二：解二：因 1 100 020 003 P AP ，其中 123 ,P . 4 分 故 1 100 020 003 APP ， 11 100100 020020 003003 n nn n APPPP ， 5 分 所以 1 121 32 1001111002223 0201230202223 0031490031223 nn nnnnn nnnn APP .7 分 十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分) (1) 已知 P(A)=P(B)=P(C)= 4 1 ,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= 16 1 ,则事件 A，B，C 全不 发生的概率为 3/8 (2) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 E X eX 2 4/3. 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从正态分布 N( 2 ,)，Y 服从, 上的均匀分布， 试求 Z=X+Y 的概率分布密度. (计算结果用标准正态分布函数)(x表示，其中 ) 2 1 )( 2 2 dtex x t 解：解：由题设，X和Y的概率分布密度为 2 2 () 2 1 ( ), 2 x X fxex ； 1 ( )2 0 Y y fy 其它 . 2 分 因X和Y独立，故可用卷积公式. 考虑到 ( ) Y fy仅在, 上才有非零值，所以 Z 的概率 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 6 页 分布密度为( )()( ) ZXY fzfzy fy dy 2 2 () 2 1 22 z y edy . 4 分 令 zy t ，则 2 2 1 ( ) 22 zt zZ fzedt 5 分 1 2 zyzy . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 7 页 数数 学（试卷二）学（试卷二） 一、一、二、二、 【 同数学一 第一、二题 】 三、三、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分分) (1) 【 同数学一 第三、 （1）题 】 (2) 【 同数学一 第三、 （2）题 】 (3) 设矩阵 X 满足 AX + I = A 2 + X, 其中 I 为三阶单位阵， 又已知 101 020 101 ， 试求出矩阵 X . 解解：由题设有 2 ()A I XAI，即()()()AI XAIAI 2 分 因AI 001 010 100 可逆. 3 分 故 1 () ()()XA IA IA IA I 201 030 102 . 5 分 四、四、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 18 分分) (1) 【 同数学一 第四、 （1）题 】 (2) 求 2 2 0 () ( ) x d xt f t dt dx ，其中( )f t为已知的连续函数. 解：解：原式 22 2 00 ( )( ) xx xf t dttf t dt = 3 分 2 2222 0 2( )() 2() 2 x xf t dtx f xxx f xx = 5 分 2 0 2( ) x xf t dt . 6 分 (3) 计算dxedydxedy y y x y y x y 1 2 1 2 1 2 1 4 1 . 解：解：原式= y x De dxdy 2 1 1 2 y x x x dxe dy = 3 分 1 1 2 31 () 82 x x ee dxee . 6 分 五五九九、 【 同数学一 第五九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 8 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 ) 1( )( 3t efy tfx ，其中 f 可导且0)0( f ，则 0t dx dy = 3 . (2) 函数2cosyxx在区间2/, 0上的最大值为6/3 . (3) xe x x x cos 11 lim 2 0 0 . (4) 1 2 ) 1(xx dx1 ln2 2 . (5) 由曲线 x yxe与直线yex所围成的图形的面积S 1 2 e . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 0x时，sinxx是 2 x的 （B） (A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小 (2) 设 . 0, , 0, )( 2 2 xxx xx xf ，则 (D) (A) . 0),( , 0, )( 2 2 xxx xx xf (B) . 0, , 0),( )( 2 2 xx xxx xf (C) . 0, , 0, )( 2 2 xxx xx xf (D) . 0, , 0, )( 2 2 xx xxx xf (3) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 (4) 设( )f x连续， F (x) =dttf x )( 2 0 2 ,则)(x F 等于 (C) (A) ).( 4 xf (B) )( 42 xfx (C) ).(2 4 xxf (D) )(2 2 xxf (5) 若)(xf的导数是sin x，则)(xf有一个原函数为 (B) (A) 1 sinx. (B) 1 sinx. (C) 1cosx. (D) 1 cosx 三、(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分分) (1) 求 2 1 ) 6 3 (lim x x x x 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 9 页 解：解：原式 1 2 3 lim(1) 6 x x x 1 分 3(1) 6 2(6) 3 3 lim(1) 6 x x x x x 3 分 3 2 e . 5 分 (2) 设函数)(xyy 由方程1 y xey所确定，求 0 2 2 x dx yd 的值. 解：解：在方程两边对x求导得0 yy yexe y， 1 分 在上式两边再对x求导得 2 ()0 yyyy ye ye yxe yxe y， 3 分 由题设知1x 时1y ，代入上面两式解得 2 (0), (0)2ye ye. 即 2 2 0 2 2 x d y e x . 5 分 (3) 求. 1 2 3 dx x x 解解：原式 2 2 2 (1) 2 1 x dx x = 1 分 22 2 11 ( 1) (1) 2 1 xdx x 3 分 31 22 22 1 (1)(1) 3 xxc . 5 分 (4) 求.sin1 0 dxx 解：解：原式 2 0 (sincos) 22 xx dx = 1 分 0 sincos 22 xx dx 3 分 2 0 2 (cossin)(sincos ) 2222 xxxx dxdx 4 分 2 0 2 2sincos 2cossin4( 21) 2222 xxxx . 5 分 (5) 求微分方程 02)( 3 xdydxxy的通解. 解：解：原方程可化为 2 1 22 x yy x ， 1 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 10 页 这是一阶线性方程，其通解为 112 22 ( () 2 dxdx xx x yeedxC . 3 分 即 5 2 1 () 5 yxxC. 3 1 5 yC xx. 5 分 四、四、(本题满分本题满分 9 分分) 【 同数学一 第三、 （3）题 】 五、五、(本题满分本题满分 9 分分) 求微分方程 x xeyyy 23的通解. 解：解：原方程的特征方程为 2 320rr , 1 分 其根为 12 1,2rr ，于是对应齐次方程的通解为 2 1212 ,(,) xx yCeC eC C为任意常数. 3 分 由于1是特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为：*() x yx axb e， 5 分 将其代入原方程得22axabx，解得 1 ,1 2 ab. 7 分 所以 2 *() 2 x x yx e ，从而所求通解为 2 2 12 () 2 xxx x yCeC ex e. 9 分 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 计算曲线 2 ln(1)yx上相应于 0 2 1 x的一段弧的长度. 解：解： 1 2 2 0 1Sy dx 2 分 1 2 2 2 0 2 1 () 1 x dx x 4 分 12 2 2 0 1 1 x dx x 5 分 1 2 0 11 (1) 11 dx xx 7 分 1 2 0 1 ln(1)ln(1)ln3 2 xxx . 9 分 七、七、(本题满分本题满分 9 分分) 求曲线yx的一条切线l,使该曲线与切线l及直线0,2xx所围成的平面图形面 积最小. 解：解：因 1 2 y x ,故yx在点, tt（）处切线l的方程为 1 () 2 ytxt t . 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 11 页 即 1 22 t yx t .于是 2 0 114 2 ( )() 232 t S txx dxt tt ， 31 22 11 ( ) 22 S ttt . 5 分 令( )0S t ，得驻点1t . 7 分 由于 10S（），故1t 时，S取最小值，此时，l的方程为 1 22 x y . 9 分 八、八、(本题满分本题满分 9 分分)【 同数学一 第六题 分值不同 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 12 页 数数 学（试卷学（试卷四四） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设商品的需求函数为Q = 100 - 5P, 其中Q, P分别表示需求量和价格, 如果商品需求弹性 的绝对值大于 1, 则商品价格的取值范围是 (10，20 . (2) 级数 1 2 4 )2( n n n n x 的收敛域为 ( 0, 4 ) . (3) 交换积分次序 1 0 2 2 ),( y dxyxfdy y 1 00 2 1 2 0 22 ),(),( xx dyyxfdxdyyxfdx. (4) 设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且,Aa,BbC 0 0 A B ，则 Cab mn ) 1( (5) 将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 1/1260. 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 F(x)= x a dttf ax x ,)( 2 其中 f(x)为连续函数,则)(limxF ax 等于 (B) (A) 2 a. (B) )( 2 afa. (C) 0 . (D) 不存在. (2) 当 x0时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量? (D) (A) 2 x. (B) xc o s1 (C) . 11 2 x (D) xxt a n (3) 设 A 为 mn矩阵， 则齐次线性方程组 AX = 0 仅有零解的充分条件是 (A) (A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关 (4) 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则 (B) (A) P(C) P(A)+P(B)-1 (B) P(C)P(A)+P(B)-1 (C) P(C) = P(AB) (D) ( )()P CP AB (5) 设 n 个随机变量 12 , n X XX独立同分布， 2 1 DX, 1 1 n i i XX n , n i i XX n S 1 22 )( 1 1 ,则 (C) (A) S 是的无偏估计量 (B) S 是的最大似然估计量 (C) S 是的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X相互独立. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 13 页 三、三、(本题满分本题满分 5 分分) 设函数( )f x lncos(1) ,1 1sin 2 1,1 x x x x 若 若 ，问函数( )f x在1x 处是否连续? 若不连续， 修改函数在1x 处的定义，使之连续 解：解：因为 111 sin(1) lncos(1)cos(1) lim( )limlim 1 sincos 222 xxx x xx f x xx 1 分 1 2(1) lim cos 2 x tg x x 2 1 1 2cos (1) lim sin 22 x x x 2 分 2 4 . 3 分 而(1)1f，故 1 lim( )(1) x f xf . 所以函数在1x 处不连续 4 分 若令 2 4 (1)f ，则函数在1x 处连续. 5 分 四、四、(本本题满分题满分 5 分分) 计算 I=dx e earc x x cot . 解：解： xx Iarcctge de 1 分 2 1 x xxx x e e arctgeedx e 2 分 2 1 xx x dx e arctge e 3 分 2 2 (1) 1 x xx x e e arcctgedx e 4 分 2 1 ln(1) 2 xxx e arcctgexeC . 5 分 五、五、(本题满分本题满分 5 分分) 设sin()( ,) x zxyx y ，求 2z x y . 其中),(u有二阶偏导数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 14 页 解：解：记, x ux v y ，有 1 cos() uv z yxy xy 2 分 于是 2 222 11 cos()sin()()()() uvvvv zxx xyxyxy x yyyyy 223 1 cos()sin() uvvvv xx xyxyxy yyy . 5 分 六、六、(本题满分本题满分 5 分分) 求连续函数)(xf, 使它满足.)(2)( 0 2 x xdttfxf 解：解：两边求导，得( )2 ( )2fxf xx. 1 分 记( )2,( )2P xQ xx，有通解 ( )( ) ( )( ) p x dxp x dx f xeQ x edxC 2 分 22 ( 2) xx exe dxC 3 分 2x Cex 1 2 . 4 分 由原方程易见(0)0f，故 1 C 2 ，从而所求函数 2 11 ( ) 22 x f xex . 5 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 求证:当1x 时, 2 12 arccos 214 x arctgx x . 证：证：令 2 12 ( )arccos 214 x f xarctgx x ， 1 分 则 22 222 2 22 1112(1)4 ( ) 12(1) 4 1 (1) xx fx xx x x 22 222 2 11 12(1) 0 (1) 121 (1) xx x xxx . 3 分 因为( )f x在1,)连续，所以( )f x在1,)上为常数，故 4 分 ( )(1)0f xf. 5 分 2 12 arccos 214 x arctgx x 即. 6 分 八、八、(本题满分本题满分 9 分分) 设曲线方程为(0) x yex . (1) 把曲线 x ye、x轴、y轴和直线(0)x 所围平面图形绕 x 轴旋转一周, 得 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 15 页 一旋转体，求此旋转体体积( )V；并求满足 1 ( )lim( ) 2 V aV 的a. (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求 出该面积. 解：解：(1) 2222 0 00 ( )(1) 22 xx Vy dxedxee . 2 分 于是lim( ) 2 V ， 2 ( )(1) 2 a V ae 3 分 故由 1 ( )lim( ) 2 V aV ，有 2 24 a （1-e）=.由此可见 1 ln2 2 a 4 分 (2) 设切点为,e ()，则切线方程为()yeex 5 分 令0x ，得(1)ye ；令0y ，得1x ， 故切线与坐标轴所夹面积 2 1 (1) 2 Se 6 分 于是 22 1111 (1)(1)(1)()(1) 2222 Seeee ， 7 分 令S0，得 12 1,1 ，其中 2 应舍去. 由于当1时，S0；当1时，S0，故当1时，面积S有极大值，即最大值. 此时，所求切点为 1 (1,)e，最大面积 211 1 S=22 2 ee . 9 分 九、九、(本题满分本题满分 7 分分) 设矩阵A与B相似，其中 200100 22 ,020 31100 AxB y ， (1) 求x和y的值；(2) 求可逆矩阵 P,使得 P. 1 BAP 解：解：(1) 因为AB，故其特征多项式相同，即| |IAIB， 1 分 亦即 2 (2)(1)(2)(1)(2)()xxy. 2 分 令0，得2(2)2xy，即2yx；令1，得2y ，即0x ； 4 分 (2) 由(1)知， 200100 202020 311002 AB ，.对应于 A 和 B 共同的特征值 1,2, 2的特征向量为 123 (0,2, 1) ,(0,1,1) ,(1,0, 1) TTT 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 16 页 则可逆矩阵 001 210 111 P ，满足 1 .P APB 7 分 十十、(本题满分本题满分 6 分分) 已知三阶矩阵0B ,且B的每一个列向量都是以下方程组的解： 03 02 022 321 321 321 xxx xxx xxx ， (1) 求的值； (2) 证明 . 0B 解：解：(1) 因0B ，故B中至少有一个非零列向量. 依题意，所给齐次线性方程组有非 零解，故必有系数行列式|A 122 210 311 . 2 分 由此可得1. 3 分 (2) 因B的每一列向量都是原方程组的解，故有0AB . 4 分 因此由0A 必有| 0B . 事实上，倘若不然，设| 0B ，则B可逆. 故在0AB 两边右 乘 1 B，得0A ，这与条件矛盾，可见必有| 0B . 6 分 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设,A B分别为 m，n 阶正定矩阵,试判定分块矩阵 B A C 0 0 是否正定矩阵. 解：解： 设mn维列向量(,) TTT ZXY,其中 1212 ( ,),(,) TT mmmm n Xx xxYyyy . 若0Z ，则,X Y不同时为 0.不妨设0X ，因A是正定矩阵，所以0 T X AX . 3 分 又因为B是正定矩阵，故对任意n维向量Y，有0 T Y BY . 4 分 于是有 0 ()0 0 TTTTT AX Z CZXYX AXY BY BY . 6 分 又显然C是对称阵，故C是正定矩阵. 十二、十二、(本题满分本题满分 7 分分) 假设测量的随机误差 X N(0, 2 10),试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量 误差的绝对值大于 19.6 的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有 效数字). 1 2 3 4 5 6 7 e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 17 页 解：解：设p为每次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率，则 |19.6| | 19.61.960.05 101010 XX pPXPP . 3 分 又记为 100 次独立重复测量中事件| 19.6X 出现的次数，知服从参数为100n ， 0.05p 的二项分布，故所求概率为 313PP 10099982 100 99 1 0.95100 0.950.050.950.05 2 . 5 分 由泊松定理，知近似服从参数为100 0.055np的泊松分布，故 2 1(1) 2 e 1 0.007 18.50.87 . 7 分 十三、十三、(本题满分本题满分 5 分分) 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30. 假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调的部件数，试求 X 的数学期望 EX 和方差 DX. 解解一一：设 i A=第i个部件需要调整， 1, i=1,2,3 0 i i i A X A 若 出现； （） ， 若 不出现； 1 分 易见()()1() iiiii EXP ADXP AP A；， 2 分 123 XXXX， 3 分 因此，由 123 ,XXX独立，可见0.1 0.20.30.6EX ， 4 分 0.1 0.90.2 0.80.3 0.70.46DX . 5 分 解二解二： 【 见数学五 第十四题 分值不同 】 十四、十四、(本题满分本题满分 4 分分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 它其0 0 ),( yxe yxf y ，求： (1) 求随机变量 X 的密度)(xfX； (2) 概率1YXP. 解：解：(1) ,0 ( )( , ) 00 yx x X e dyex fxf x y dy x . 2 分 (2) 1 1 2 0 1 1( , ) x y x x y P XYf x y dxdydxe dy 3 分 11 (1)1 22 0 12 xx eedxee . 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 18 页 数数 学（试卷学（试卷五五） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 x x tx tx ttf lim)(,则 ) (tf 2 (21) t et. (2) 【 同数学四 第一、 （1）题 】 (3) 设 2 ( )sin , ( ) 1f xx fxx ，则 2 ( )arcsin(1)xx；其定义域为22， (4) 矩阵 1111 1111 1111 1111 A的非零特征值是 4 . (5) 设对于事件 A,B,C,有 P(A)=P(B)=P(C)= 4 1 ,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)= 8 1 ，则 A,B,C 三个事 件中至少出现一个的概率为 5 / 8 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 【 同数学四 第二、 （1）题 】 (2) 当 x0时， 下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量? (D) (A) 2 x. (B) xc o s1 (C) . 11 2 x (D) s i nxx (3) 设 A, B, A+B, A 11 B均为 n 阶可逆矩阵, 则(A 111 ) B等于 (C) (A) A 11 B (B) A + B (C) A(A + B) 1 B (D) (A + B) 1 (4) 设 12 , m 均为 n 维向量，那么下列结论正确的是 (B) (A) 若 1122 0 mm kkk，则 12 , m 线性相关. (B) 若对任意一组不全为零的数 1,2, , m k kk，都有 1122 0 mm kkk，则 12 , m 线性无关. (C) 若 12 , m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 12 , m k kk，都有 1122 0 mm kkk. (D) 若 12 0000 m ，则 12 , m 线性无关. (5) 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则 (D) (A) P(C) = P(AB) (B) ( )()P CP AB (C) P(C)P(A)+P(B)-1 (D) P(C)P(A)+P(B)-1 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1992 年数学试题参考解答及评分标准 1992 年 第 19 页 三、三、(本题满分本题满分 5 分分) 求极限 1 lncos(1) lim 1 sin 2 x x x . 解：解： 11 sin(1) lncos(1)cos(1) limlim 1 sincos 222 xx x xx xx 2 分 1 2(1) lim cos 2 x tg x x 3 分 2 1 2sec (1) lim sin 22 x x x 4 分 2 4 . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 5 分分)【 同数学四 第四题 】 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 求连续函数( )f x,使它满足 1 0 .sin)()(xxxfdttxf 解：解：令txu，则原式变为 0 1 ( )( )sin x f u duf xxx x ， 2 分 即 2 0 ( )( )sin x f u duxf xxx 两边求导数，得 2 ( )( )( )2 sincosf xf xxfxxxxx 即( )2sincosfxxxx 3 分 积分，得( )2cossinf xxxdx 4 分 2cossinsin2cossincosxxxxdxxxxxC