1994年考研数学试题详解及评分参考.pdf

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 1 页 1994 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考数学试题详解及评分参考 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题： （本题共一、填空题： （本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） (1) 0 11 lim cot () sin x x xx = . 【答】 应填 1/6. 【解】 原式 2 0 sin limcos sin x xx x xx = 2 1 2 322 000 sin1 cos1 limlimlim. 366 xxx xxxx xxx = (2) 曲面32=+xyez z 在点)0 , 2 , 1 (处的切平面方程为 . 【答】 应填 240.xy+= 【解】 记( , , )23 z F x y zzexy= +，则(1,2,0)4 x F =，(1,2,0)2 y F =，(1,2,0)0 z F = 于是过点)0 , 2 , 1 (的切平面方程为4(1)2(2)0xy+=，即240.xy+= (3) 设sin x x ue y =，则 yx u 2 在 1 (2,) 点处的值为 . 【答】 应填 2 () . e 【解】 因 11 sincos(cossin) xxx uxxxx eee xyy yyyy = += ，故 2 222 11 cossin()cos() x uxxxxx e x yyyyyyyy = ，于是 2 22322 1 (2,) (cos22sin22cos2 )() . u e x ye =+= (4) 设区域D为 222 xyR+，则 + D dxdy b y a x )( 2 2 2 2 = . 【答】 应填 4 22 111 (). 4 R ab + 【解】 因D关于直线yx=对称，故 2222 2222 ()() DD xyyx dxdydxdy abab +=+ ，于是 222222 222222 1 ()()() 2 DDD xyxyyx dxdydxdydxdy ababab +=+ 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 2 页 2 2224 222222 00 111111111 ()()()(). 224 R D xydxdydrrdrR ababab =+=+=+ (5) 已知(1,2,3)=， 1 1 (1, ) 2 3 =， 设A =， 其中是的转置， 则 n A = . 【答】 应填 11/ 21/3 212/3 . 33/ 21 【解】 由(1,2,3)=， 1 1 (1, ) 2 3 =，知3 = ，于是有 1 ()()()()()()() nn A =? 11 111/ 21/3 11 32 (1)3212/3 . 23 333/ 21 nn = 二、选择题： （本题共二、选择题： （本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） (1) 设 434234 222 2 222 sin cos,(sincos),(sincos), 1 x Mxdx Nxx dx Pxxx dx x =+= + 则有 (A) NPM ，则)(xf在1x =处的 (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 【答】 应选 (B) . 【解】 由 3 22 2 33 111 ( )(1)2 limlimlim(1)2 113 xxx xf xf xx xx =+= ，及 2 2 3 11 ( )(1) limlim 11 xx xf xf xx + = ，知(1)2f=，(1)f+不存在，故选 (B) . (3) 设)(xfy =是满足微分方程0“ sin =+ x eyy的解，且0)( 0 =xf，则)(xf在 (A) 0 x的某个邻域内单调增加 (B) 0 x某个邻域内单调减少 (C) 0 x处取得极小值 (D) 0 x处取得极大值 【答】 应选 (C) . 【解】 由题意，)(xf满足方程 sin ( )( )0 x fxfxe+=，故由0)( 0 =xf，知 00 sinsin 00 ()()0 xx fxefxe=，可见)(xf在驻点 0 x处取得极小值. 故选 (C) . (4) 曲线 2 1 2 1 (1) (2) x xx ye arctan xx + = + 的渐近线有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 【答】 应选 (B) . 【解】 由 0 limarctan1 4 x ye =，知曲线有一条水平渐近线 4 y =，且没有斜渐近线； 又易见函数只可能在0,1,2xxx= =处间断，而 0 1 limarctan() 2 x y = += ， 1 limarctan() 2 x yee = = ， 1 limarctan() 2 x yee + = + =， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 12 页 11 44 2 limarctan() 2 x yee = = ， 11 44 2 limarctan() 2 x yee + =+ =， 所以曲线只有一条铅直渐近线0x =，因而曲线共有两条渐近线，故选 (B) . (5) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 三、 （本题共三、 （本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） (1) 设)(yxfy+=，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 2 2 dx yd . 解：解： (1), 1 f yyfy f =+= 2 分 2 2 3 (1) (1), 1(1) yff yyfy fy ff + =+= . 5 分 (2) 计算 dxxx 1 0 2 3 4) 1 (. 解：解：设 2 sinxt=，则0x =时，0t =；1x =时， 2 t =. 1 分 3 1 44 22 00 1 (1)cos 2 xxdxtdt = 3 分 133 2 4 2 232 = . 5 分 (3) 计算) 2 4 (lim n tg n n + . 解：解： 22 12 2 limln()lim lnlim ln1 22 4 11 n nnn tgtg nn tgnn n tgtg nn + +=+ 2 分 22 2 4 limlim4 222 11 nn tgtg nn n tgtg nnn = , 4 2 lim() 4 n n tge n +=. 5 分 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题】 (5) 如图,设曲线方程为 2 1 2 += xy,梯形 OABC 的面积为 D，曲边 梯形 OABC 的面积为 D1， 点 A 的坐标为 （)0 , a，0a， 证明： 2 3 1 D D . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 13 页 证：证： 32 2 1 0 1(23) () 2326 a aaaa Dxdx + =+=+= 2 分 2 2 11 (1) 22 22 a aa Da + + = 3 分 2 2 2 2 1 (1) 31 2 3 (23)2 2 6 aa Da aaD a + + = + + . 2 2 1 13 1, 3 2 2 aD D a + . 3 分 (1) 当0k 时，( )0fx ，知(- ,0),(0,+ )为凹区间，且无拐点 4 分 (3) 由 3 2 0 4 lim x x x + = +知，0x =为垂直渐近线， 又由 33 32 44 lim1,lim()0 xx xx abx xx + = 知yx=为斜渐近线. (4) 令0y =，得零点 3 4x = . 6 分 于是其图形如图所示. 9 分 六、 （本题满分六、 （本题满分 9 分）分） 求微分方程xyaysin“ 2 =+的通解，其中常数0a. 解：解：对应的齐次方程的通解为 12 cossinycaxcax=+. 1 分 (1) 当1a 时，设原方程的特解为 *sincosyAxBx=+ 2 分 代入原方程得 22 (1)sin(1)cossin ,A axB axx+= 比较等式两端对应项的系数得 22 11 ,0,*sin 11 AByx aa = 所以. 4 分 (2) 当1a 时，设原方程的特解为 *( sincos )yx AxBx=+ 5 分 代入原方程得2cos2 sinsin ,AxBxx= 比较等式两端对应项的系数得 11 0,*cos . 22 AByxx= = 所以 8 分 综上所述，当1a 时，原方程的通解为 12 2 1 cossinsin 1 ycaxcaxx a =+ 当1a =时，原方程的通解为 12 1 cossincos 2 ycxcxxx=+. 9 分 七、 （本题满分七、 （本题满分 9 分）分） 设)(xf在0，1上连续且递减，证明：当10，因此 12 (1) ( )()0ff，即原不等式成立 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 15 页 八、 （本题满分八、 （本题满分 9 分）分） 求曲线|1|3 2 =xy与x轴围成的封闭图形绕直线3=y旋转所得的旋转体体积. 解：解：如图，?AB和?BC的方程分别为 22 2(01)4(12)yxxyxx=+=, 3 分 设旋转体在区间0,1上的体积为 1 V，在区间1,2上的体积为 2 V， 则它们的体积元素分别： 222 1 33(2) dVxdx=+ 222 2 33(4) .dVxdx= 7 分 由对称性得 12 222222 12 01 2()233(2) 233(4) VVVxdxxdx=+=+ 2 24352 0 0 21488 2(82)2 (8) 3515 xxdxxxx=+=+= . 9 分 数数 学（试卷四）学（试卷四） 一、填空题： （本题共一、填空题： （本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） (1) = + + dx x xx 2 2 2 2 | . 【答】 应填 ln3. 【解】 2222 2222 2220 | 02 2222 xxxxx dxdxdxdx xxxx + =+=+ + 2 222 0 2 0 1 (2)ln(2)ln6ln2ln3. 2 dxx x =+=+= + (2) 已知1)( 0 =xf，则 0 00 lim (2 )() x x f xxf xx = . 【答】 应填 1. 【解】 由1)( 0 =xf，知 00 0 ()() lim1 x f xxf x x + = ，于是有 000000 00 (2 )()(2 )()()() limlim xx f xxf xxf xxf xf xxf x xx + = 0000 000 00 (2 )()()() 2limlim2()()()1 2 xx f xxf xf xxf x fxfxfx xx + = += += = 因而 0 00 lim (2 )() x x f xxf xx = 1 1. 1 = 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 16 页 (3) 设方程 2 cos xy eyx+=确定的y为x的函数，则 dx dy = . 【答】 应填 sin . 2 xy xy yex xey + + 【解】 方程两边对x求导，得()2sin xy eyxyyyx+= ，解得 sin . 2 xy xy yex y xey + = + (4) 设 1 2 1 00.0 00.0 , 000. 00.0 n n a a A a a = ?其中0,1,2, i ain=?,则 1 A= . 【答】 应填 1 2 1 00.01/ 1/0.00 01/.00. 00. 1/0 n n a a a a ? 【解】 根据分块求逆公式 1 1 1 1 1 1 1 00 00 AB BA = ，可见 1 1 21 1 2 1 1 00.000.01/ 00.01/0.00 01/.00 000. 00.000. 1/0 n n nn aa aa Aa a aa = ? ? (5) 设随机变量X的概率密度为 2 ,01 ( ) 0, xx f x ，证明)(xF在),(a内单调增加. 证证: : 2 ( )() ( )( ) ( ) () fx xaf xf a F x xa = 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 20 页 1( )( ) ( ) f xf a fx xaxa = . 由中值定理知，存在()ax,即)(xF单调增加6 分 九、 （本题满分九、 （本题满分 11 分）分） 设线性方程组 23 112131 23 122232 23 132333 23 142434 xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa += += += += ， (1) 证明，若 4321 ,aaaa两两不相等，则此线性方程组无解； (2) 设)0(, 4231 =kkaakaa，且已知 21 是该方程组的两个解，其中 = 1 1 1 1 , = 1 1 1 2 . 写出此方程组的通解. 解：解：(1) 增广矩阵A的行列式 23 111 23 222 434241323121 23 333 23 444 1 1 ()()()()()() 1 1 aaa aaa Aaaaaaaaaaaaa aaa aaa =， 4 分 由 1234 ,a a a a两两不相等，知| 0A ，从而矩阵A的秩( )4R A =. 但系数矩阵A的秩( )3R A ，故( )( )R AR A，因此原方程组无解. 6 分 (2) 当 )0(, 4231 =kkaakaa时，方程组为 23 123 23 123 23 123 23 123 xkxk xk xkxk xk xkxk xk xkxk xk += += += += ，即 23 123 23 123 xkxk xk xkxk xk += += . 因 1 20 1 k k k = ，故( )( )2R AR A= ， 从而方程组相容且对应的导出方程组的基础解系应含有 321 个解向量. 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 21 页 又因 12 , 是原非齐次方程组的两个解，故 12 112 110 112 = 是对应齐次线 性方程组的解；且0，因此是导出方程组的基础解系. 10 分 于是原非齐次方程组的通解为 1 12 10 12 Xcc =+=+ ， （c为任意常数.） 11 分 十、 （本题满分十、 （本题满分 8 分）分） 设 001 1 100 Axy = 有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件. 解：解：解特征方程 322 |1(1) (1)0EA=+ =+=， 得特征值 1 1=（二重） ， 2 1= . 3 分 欲使 1 1=有二个线性无关的特征向量，矩阵EA的秩必须等于1， 而 101101 ()00 1 01000 EAxyxy = ，故 11 0yx xy = = ，即0xy+=. 6 分 因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，所以矩阵A要有三个线性无关的特征向量， 必须满足条件0xy+=. 8 分 十一、 （本题满分十一、 （本题满分 8 分）分） 假设随机变量 4321 ,XXXX相互独立，且同分布 00.6, 10.4 (1,2,3,4). ii P XP Xi= 求行列式 12 34 XX X XX =的概率分布. 解：解：记 114 YX X=， 223 YX X=，则 12 XYY=，且 12 ,Y Y独立同分布； 2 分 又 1223 111,10.16P YP YP XX=. 3 分 12 001 0.160.84P YP Y= =. 4 分 于是随机变量 12 XYY=有三个可能值1,0,1，且易见 5 分 12 10,10.84 0.160.1344P XP YY= =， 12 11,00.16 0.840.1344P XP YY=， 012 0.13440.7312P X = =. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 22 页 于是X的概率分布为 12 34 101 0.13440.73120.1344 XX X XX = . 8 分 十二、 （本题满分十二、 （本题满分 8 分）分） 假设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布) 1,(N，内径小于 10 或大于 12 的为不合格品， 其余为合格品， 销售每件合格品获利， 销售每件不合格品亏损， 已知销售利润T(单位：元）与销售零件的内径X有如下关系： ， 则方程 1 ( )0 ( ) xx ab f t dtdt f t += 在开区间( , )a b内的根有 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 【答】 应选 (B) . 【解】 记 1 ( )( ) ( ) xx ab F xf t dtdt f t =+ ，知 1 ( )( )0 ( ) F xf x f x =+，故( )F x在闭区 间 , a b上单调递增，从而( )F x在开区间( , )a b内至多有一个根； 又 11 ( )( )0 ( )( ) aab aba F af t dtdtdt f tf t =+= ，所以由零点定理，知( )F x在开区间 ( , )a b至少有一个根. 故选（B）. (3) 设,A B都是n阶非零矩阵，且0AB =，则A和B的秩 (A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n,一个等于n (D) 都等于n 【答】 应选 (B) . 【解】 因,A B都是非零矩阵， 故( )1r A ，( )1r B ， 又由0AB =， 知( )( )r Ar Bn+， 于是有( )( )r Anr Bna. 求使产鱼总量最大的放 养数. 解：解：设产鱼总量为z，则 22 3422zxyaxayxy=+ 1 分 由极值的必要条件，得方程组3220,4420 zz axyayx xy = . 3 分 由于0，知其系数行列式 22 4(2-)0 =，故方程组有唯一解： 00 2222 3243 , 22(2) xy = . 4 分 记 222 22 2 ,2 ,4 zzz ABC xx yy = = = ，知 222 4(2)0BAC= 且 0 000 0000 3 (3)0 2 (42)20 x xyx xyyy = = . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题详解及评分参考 1994 年 第 25 页 综上所述, 0 x和 0 y分别为所求甲和乙两种鱼的房养数. 8 分 七、 （本题满分七、 （本题满分 8 分）分） 已知曲线)0( ,=axay与曲线xyln=在点 )00, (yx处有公共切线，求： (1) 常数a及切点),( 00 yx； (2) 两曲线与x轴围成的平面图形的平面图形的面积S. 解：解：(1)【 见数学四 第七、(1) 题 】 (2) 1 222 0 () y See ydy= 6 分 2123 12 00 1111 2362 y ee ye=. 8 分 八、 （本题满分八、 （本题满分 7 分）分） 设函数)(xf可导，且 1 0 (0)0,( )() x nnn