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郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 1 页 1995 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 0 lim x x x sin 2 )31 ( = 6 e. (2) dx d dt x tx 0 2 2cos = 2 0 224 cos2cos x t dtxx . (3) 设 2)(cba, 则 )()()(accbba = 4 . (4) 幂级数 12 1 )3(2 n n nn x n 的收敛半径R 3. (5) 设三阶方阵AB、 满足关系式 1 6A BAABA ， 且A 1 / 300 0 1 / 40 00 1 / 7 ， 则B 3 0 0 0 2 0 0 0 1 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 有直线L： 03102 0123 zyx zyx 及平面：0224zyx， 则直线L (C) (A) 平行于. (B) 在上 (C) 垂直于. (D) 与斜交 (2) 设在 10 ，上0)( x f， 则)0( f 、) 1 ( f 、)0() 1 (ff和) 1 ()0(ff的大小顺序是 (B) (A) )0() 1 ()0() 1 (ffff. (B) )0()0() 1 () 1 (ffff. (C) )0() 1 ()0() 1 (ffff. (D) )0() 1 ()0() 1 (ffff. (3) 设( )f x可导，( )( )(1sin )F xf xx， 则( 0 ) 0f是( )F x在0x 处可导的 (A) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设) 1 1ln() 1( n u n n ，则级数 (C) (A) 1n n u与 1 2 n n u都收敛. (B) 1n n u与 1 2 n n u都发散 (C) 1n n u收敛而 1 2 n n u发散. (D) 1n n u发散而 1 2 n n u收敛. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 2 页 (5) 设 A= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa ，B= 133312321131 131211 232221 aaaaaa aaa aaa ，P1= 100 001 010 ，P2= 101 010 001 ， 则必有 (C) (A) A P1P2 = B (B) A P2P1 = B (C) P1P2A = B (D) P2P1A = B. 三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分) (1) 设( , , )uf x y z, 2 (, )0,sin y x e zyx,其中, f都具有一阶连续偏导数， 且 z 0， 求 dx du . 解：解：, dufz dyf dz dxxy dxz dx 2 分 12 3 1 cos ,(2cos) y dydz xxex dxdx , 4 分 故 sin 12 3 1 cos(2cos) x dufzf xxex dxxyz . 5 分 (2) 设( )f x在区间1, 0上连续，并设 1 0 ( )f x dxA ，求 11 0 ( ) ( ) x dxf x f y dy . 解：解：更换积分次序，可得 1111 00000 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) yx x dxf x f y dydyf x f y dxdxf x f y dy , 2 分 于是 11111 0000 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x xx dxf x f y dydxf x f y dydxf x f y dy 11 2 00 ( ) ( )dxf x f y dyA 4 分 所以 11 2 0 1 ( ) ( ) 2 x dxf x f y dyA . 5 分 四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分) (1) 计算曲面积分zdS ，其中为锥面 22 zxy在柱体 22 2xyx内的部分. 解：解：在xoy平面上的投影区域为 22 D2xyx：， 22 1 ()()2 zz dSdd xy . 于是 22 2 D zdSxyd 3 分 2cos 2 2 0 2 2dr dr 3 2 0 1632 2cos2 39 d . 6 分 (2) 将函数( )1(02)f xxx展成周期为 4 的余弦级数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 3 页 解：解： 2 0 0 2 (1)0, 2 axdx 1 分 222 000 222 (1)cos(1) sinsin 2222 n n xn xn x axdxxddx nn 22 4 ( 1)1 n n 4 分 22 02 (1,2,)8 21 (21) nk k nk k . 22 1 81(21) ( )cos,0,2 (21)2 k kx f xx k . 6 分 注：展开式也可写作 22 1 4( 1)1 ( )cos,0,2 2 n n n x f xx n . 五、五、(本题满分本题满分 7 分分) 设曲线 L 位于xoy平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与y轴总相交，交点记 为 A.已知MA = OA，且 L 过点) 2 3 , 2 3 (，求 L 的方程. 解：解：设点 M 的坐标为( , )x y，则切线MA的方程为()Yyy Xx . 令0X ，则Yyxy，故点 A 的坐标为(0,)yxy. 2 分 由MAOA，有 22 (0)()yxyxyyxy. 即 2 1 2yyyx x . 4 分 令 2 zy，得 dzz x dxx . 解得 11 ()() dxdx xx zexedxcxxc ，即 22 yxcx 6 分 由于所求曲线在第一象限内,故 2. ycxx 再以条件 33 ( ) 22 y代入得3c ，于是 L 的方程为 2 3.(03)yxxx 7 分 注：注：不写(03)x不扣分. 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数),(yxQ在xoy平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分 L dyyxQxydx),(2与路 径无关，并且对任意t恒有 dyyxQxydxdyyxQxydx tt , 1 0, 0 1 , 0, 0 ),(2),(2，求),(yxQ. 解：解：由曲线积分与路径无关的条件知 (2) 2 Qxy x xy . 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 4 页 于是， 2 Q( , )( )x yxc y，其中( )c y为待定函数. 3 分 又 ( ,1)11 22 (0,0)00 2( , )( )( ), t xydxQ x y dytc y dytc y dy (1, ) 2 (0,0)00 2( , )1( )( ) ttt xydxQ x y dyc y dytc y dy . 6 分 故由题设知 1 2 00 ( )( ) t tc y dytc y dy .两边对t求导得21( ),( )21tc tc tt 从而( )21c yy，所以 2 ( , )21Q x yxy. 8 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 假设函数)(xf和( )g x在 , a b上存在二阶导数，并且( )0gx， ( )( )( )( )0f af bg ag b，试证： (1) 在开区间( , )a b内( )0g x ； (2) 在开区间( , )a b内至少存在一点，使 ( )( ) ( )( ) ff gg . 证证：(1) 用反证法. 若存在点( , )ca b，使( )0g c ，则对( )g x , a c和 , c b上分别 应用罗尔定理，知存在 1 ( , )a c和 2 ( , )c b，使 12 ( )()0gg. 2 分 再对( )g x在 12 , 在上应用罗尔定理，知存在 3123 ( ,),( )0g 使， 这与题设( )0gx 矛盾，故在( , )a b内( )0g x . 4 分 (2) 令( )( ) ( )( ) ( )xf x g xfx g x， 6 分 易见( )( )0ab，对( )x在 , a b上应用罗尔定理，知存在( , )a b，使( )0 . 即( ) ( )-( ) ( )0fgfg.因( )0,( )0gg，故得 ( )( ) ( )( ) ff gg . 8 分 八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设三阶实对称阵A的特征值为 123 1,1，对应于 1 的特征向量为 1 (0,1,1)T，求A. 解：解：对应于 23 1有两个线性无关的特征向量 23 , ，它们都与 1 正交， 故可取 23 (1,0,0) ,(0,1, 1) TT ，. 3 分 令 010 1/201/2 1/201/2 P ， 5 分 则 1T PP ，于是 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 5 页 1 010 1000 1/21/2100 1/201/2010100001 001010 1/201/20 1/21/2 APAP . 7 分 九、九、(本题满分本题满分 6 分分) 设A是n阶矩阵，满足AAI （I是n阶单位阵， A 是A的转置矩阵） ，0A ， 求IA. 解：解：因| | |AIAAAA IA 2 分 |() | |AIAA IA， 4 分 所以(1 |)| 0AIA.由因1 | 0A，故| 0IA. 6 分 十、十、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分分) (1) 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4 ，则 2 X的 数学期望 )( 2 XE 18.4 . (2) 设 X 和 Y 为两个随机变量，且 7 3 0, 0YXP， 7 4 00YPXP，则 max(,)05 7PX Y /. 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设 X 的概率密度为 00 0 )( x xe xf x X ，求 X eY 的概率密度)(yfY. 解：解：( ) X Y F yP YyP ey 1 分 0,1 ln ,1 y P Xyy ， 3 分 故1y 时， ln 0 ( )ln y x Y FyP Xye dx ， 2 1 ( )( ) YY fyFy y 5 分 因此 2 0,1 ( )1 ,1 Y y fy y y . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 6 页 数数 学（试卷学（试卷二二） 一、一、填空题填空题【 同数学一 第一题 】 二、二、选择题选择题【 同数学一 第二题】 三、三、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分分) (1)【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 求曲面 2 2 2 y x z 平行于平面022zyx的切平面方程. 解：解： 2 2 00000 (,). ,2, 1. 2 x P xy zzyPxy设切点为于是曲面在点 的法矢量为 因所给平面的法矢量为2,2, 1.故由条件知 00 21. 221 xy 所以切点坐标为 2 2 0 0000 2,1,3 2 x xyzy. 3 分 于是所求切平面方程为2(2)2(1)(3)0,xyz即2230xyz. 5 分 (3) 计算二重积分 2 D x ydxdy ，其中 D 是由双曲线1 22 yx及直线 y = 0, y = 1 所围成 的平面区域. 解：解： 2 2 11 22 01 y y D x ydxdydyx ydx 2 分 1 3 5 1 222 2 0 0 222 (1)(1)(4 21) 31515 yydyy . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分)【 同数学一 第四题 】 五、五、(本题满分本题满分 7 分分)【 同数学一 第五题 】 六、六、(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第六题 】 七、七、(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第七题 】 八、八、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 7 分，满分分，满分 14 分分) (1) 设 1234 234 24 321 1 233 xxxx xaxax xx ，问a为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 7 页 解：解：因 1321113211 01101222 1203300221 aa aa ， 3 分 所以2a 时，方程组有解， 4 分 其通解为 1 2 3 4 710 2 3 22 0 2 1 1 1 2 0 a a x a x ka x x a ，其中k为任意常数. 7 分 (2)【 同数学一 第八题 】 九、九、(本题满分本题满分 6 分分)【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 8 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 221 cos()sinyx x ，则y 222 2 112 2 sin()sinsincos()xxx xxx . (2) 微分方程xyy2 的通解为xcxcxysincos2 21 . (3) 曲线 2 3 1xt yt 在2t 处的切线方程为370xy. (4) n lim( 1 1 2 nn + 2 2 2 nn nnn n 2 ) = 2 1 . (5) 曲线 2 2x yx e的渐近线方程为0y . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设( )f x和( )x在(,) 内有定义，( )f x为连续函数，且( )0f x ，( )x有间断 点，则 （D） (A) ( )f x必有间断点 （B） 2 ( )x必有间断点 (C) ( )fx必有间断点 （D） )( )( xf x 必有间断点 (2) 曲线(1)(2)yx xx与x轴所围图形的面积可表示为 (C) (A) 2 0 (1)(2).x xx dx （B） 1 0 2 1 .)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx (C) 12 01 (1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx ； （D）dxxxx)2)(1( 2 0 (3) 设( )f x在(,) 内可导， 且对任意 12 ,x x， 当 12 xx时， 有 12 ( )()f xf x， 则 （D） (A) 对任意x，( )0fx. (B) 对任意x，()0fx . (C) 函数()fx单调增加. (D) 函数()fx单调增加. (4) 设在0,1上( )0fx(0)=0 f ，则) 1 ( f 、)0( f 、)0() 1 (ff 和) 1 ()0(ff 的大小顺序是 (B) (A) )0() 1 ()0() 1 (ffff. ( B ) )0()0() 1 () 1 (ffff (C) )0() 1 ()0() 1 (ffff. ( D ) )0() 1 ()0() 1 (ffff. (5) 设( )f x可导，( )( )(1sin )F xf xx，若( )F x在0x 处可导，则必有 (A) (A)(0)0f. (B). 0)0( f (C)(0)(0)0.ff (D)(0)(0)0.ff 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 9 页 三、三、(本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分) (1) 求 )cos1( )cos(1 lim 0 xx x x . 解：解：原式 0 1 cos lim (1 cos)(1cos ) x x xxx 1 分 2 0 1 2 lim 1 (1cos ) 2 x x xxx 4 分 1 2 . 5 分 (2) 设函数( )yy x方程 ( )f yy xee确定，其中f具有二阶导数，且, 1f求 2 2 d y dx . 解解：方程两边取对数，得ln( )xf yy. 对x求导，得 1 ( ) fy yy x 从而 1 (1( ) y xfy 2 分 故 2 2223 1( )( ) (1( )( ) (1( )1( ) fyxfy yfyfy y xfyxfy . 5 分 (3) 设 2 ln) 1( 2 2 2 x x xf，且xxfln)(， 求dxx)( 解：解：因为 2 2 2 (1) 1 (1)ln (1) 1 x f x x ，所以 1 ( )ln 1 x f x x . 1 分 又 ( ) 1( ) 11 ( )lnln , ( )= ( ) 1( ) 11 xxx fxxxx xxx 从而 . 3 分 于是 2 1 ( )2ln(1)(ln(1) 1 x x dxdxxxcxxc x 或 5 分 (4) 设 2 1 ,0 ( ) 0,0 xarctgx f xx x ，试讨论( )fx在0x 处的连续性. 解解：因为 2 0 1 (0)lim 2 x xarctg x f x ， 2 分 2 24 00 12 lim( )lim() 12 xx x fxarctg xx , 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 10 页 所以( )fx在0x 处是连续的. 5 分 (5) 求摆线 tty tx sin cos1 一拱（02 t）的弧长. 解解：sin ,1 cos , dxdy tt dtdt 1 分 所以 22 sin(1 cos )dsttdt2(1 cos )2sin(02 ) 2 t t dtdtt . 3 分 从而 2 0 2sin8 2 t sdt . 5 分 (6) 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 00 vv t .已知阻力与速度成正比（比例常 数为 1） ，问 t 为多少时此质点的速度为 0 3 v ？并求到此时刻该质点所经过的路程. 解解：设质点的运动速度为 v t.由题设,有 00 ( )( )0 t v tv t vv . 2 分 解此方程,得 0 ( ) t v tv e. 3 分 由 0 0 3 t v v e，解得ln3t 4 分 到此时刻该质点所经过的路程 ln3 00 0 2 3 t sv e dtv . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 8 分分) 求函数( )f x 2 0 )2( x tdt et的最大值和最小值. 解：解：因为( ),( ).f xf x是偶函数 故只需求在0,+内的最大值与最小值 2 分 令 2 2 ( )2 (2)0 x fxxx e，故在区间(0,)内有唯一驻点2x . 而当02x时，( )0fx ；当2x 时，( )0fx ， 所以2x 是极大值点，即最大值点. 4 分 最大值为 22 2 0 00 ( 2)(2)(2) ttt ft e dtt ee dt 2 1 e . 6 分 又因为 00 0 (2)(2)2 1 1 ttt t e dtt ee ，(0)0f， 故(0)0f是最小值. 8 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设 x ye是微分方程xyxpxy)(的一个解，求此微分方程满足条件 ln2 0 x y 的 特解. 解：解：以 x ye代入原方程，得( ) xx xep x ex，解出( ). x p xxex 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 11 页 代入原方程，得 (). x xyxex yx 解其对应的齐次方程 (1)0 x yey ，有 (1), lnln xx dy edxycex y ，得齐次方程的通解 x x e yce . 5 分 所以原方程的通解为 x xx e yece . 6 分 于是由 ln2 0 x y ，得 1 2 220e c，即 1 2 ce ，故所求特解为 1 2 x x e x yee . 8 分 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 如图， 设曲线 L 的方程为( )yf x， 且. 0 f又 MT、 MP 分别为该曲线在点 M （x0,y0） 处的切线和法线.已知线段 MP 的长度为 0 2 3 2 0 )(1 ( y y ， （其中， )( ),( 0000 xyyxyy） ，试推导出点),(P的坐标表达式. 解：解：由题设得 2 3 22 0 00 2 0 (1) ()() y xy y (1) 又PMMT，所以 0 0 0 x y y (2) 4 分 22 2 0 0 2 0 (1) (1),(2) () y y y 由解得. 2 0 00 0 1 0,L0, y yyy y 由于曲线 是凹的,故从而. 6 分 又 2 00 000 0 (1) () yy xyy y ，于是得 2 00 0 0 2 0 0 0 (1) (1) yy x y y y y . 8 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 设 0 sin ( ) x t f xdt t ，计算 0 )(dxxf. 解：解： 0 00 ( )( )( )f x dxxf xxfx dx 3 分 00 sinsinxx dxxdx xx 6 分 00 sinsin2 x xdxxdx x . 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 12 页 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 设1 )( lim 0 x xf x ，且0)( xf, 证明( )f xx. 证证：因为 f x连续且具有一阶导数，所以由 0 ( ) lim1 x f x x ，知(0)0f. 从而有 00 ( )(0)( ) (0)limlim1 0 xx f xff x f xx . 3 分 令( )( )F xf xx，则(0)0F. 由于( )( ) 1F xfx，所以(0)0 F . 又由( )( )0Fxfx 5 分 (0)( )( ).( )FF xF xF x知是的极小值和单调故只有一个驻点，(0)F从而是( )F x的最小值. 因此( )(0)0,( )F xFf xx即. 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 13 页 数数 学（试卷四）学（试卷四） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 1 ( ) 1 x f x x ，则 ( )( )n fx= 1 ( 1)2! (1) n n n x . (2) 设( ) y zxyf x ，( )f u可导，则zzyzx yx 2. (3) 设xxf1)(ln，则( )f x x xec. (4) A = 543 022 001 ，A*是 A 的伴随矩阵，则( A* ) 1 = 1/1000 1/51/50 3/10 1/5 1/2 (5) 设 12 , n X XX是来自正态总体),( 2 N的简单随机样本，其中参数和 2 未知， 记X= n i i X n 1 1 ， n i i XXQ 1 22 )( ，则假设0: 0 H的 t 检验应使用统计量 t (1) X n n Q . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设( )f x为可导函数， 且满足条件 1 2 )1 () 1 ( lim 0 x xff x ， 则曲线( )yf x在点(1,(1)f 处的切线斜率为 (D) (A) 2 （B）-1 （C） 1 2 . (D) -2 (2) 下列广义积分发散的是 (A) (A) 1 1 . sin 1 dx x (B) 1 21 1 1 dx x (C) 2 0 x edx (D) 2 2 1 ln dx xx (3) 设矩阵Amn的秩为R(A) = m n ， Im为m阶单位矩阵， 下述结论中正确的是 (C) (A) A 的任意 m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个 m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0 (D) A 通过初等行变换，必可以化为（Im 0）的形式 (4) 设随机变量X和Y独立同分布， 记U=X-Y,V=X+Y， 则随机变量U与V必然 (D) (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 14 页 (5) 设随机变量X服从正态分布N （ 2 ,） ,则随着的增大， 概率PX (C) (A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 三、三、(本题满分本题满分 6 分分) 设( )f x 2 2 0 2 (1 cos ),0 1,0 1 cos,0 x xx x x t dtx x 若 若 若 ，试讨论( )f x在0x 处的连续性和可导性. 解：解：(1) 由 2 00 2sin lim(1 cos )lim1, xx x x xx 1 分 2 2 0 00 1cos limcoslim1 1 x xx x t dt x , 2 分 可知 0 lim ( )1(0) x f xf ，于是，函数( )f x在0x 处连续 3 分 (2) 分别求 f x在0x 处的左右导数， 2 23 00 1 2(1 cos )2(1 cos ) (0)lim1lim xx xxx f xxx 2 000 2sin22cos2sin limlimlim0 363 xxx xxxx xx ， 4 分 2 2 0 2 0 00 cos 1 1 (0)limcos1lim x x xx t dtx ft dt xxx 22 00 cos12 sin limlim0 22 xx xxx x . 5 分 由于左、右导数都等于 0,可见 f x在0x 处可导.且(0)0f. 6 分 注：注：若只说明 f x在0x 处可导，并说明可导一定连续，仍给满分. 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) 已知连续函数)(xf满足条件 3 2 0 ( )( ) 3 x x t f xfdte ,求)(xf. 解：解：两端同时对x求导数，得一阶线性微分方程 2 ( ) 3 ( )2 x f xf xe 1 分 解此方程,有( )f x 233332 ( 2)(2)2. xxxxxxx eedxc ee dxc ecee 4 分 由于(0)1,3.fc可得 5 分 于是 xx eexf 23 23)(. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 15 页 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 将函数 2 ln(12)yxx )展成x的幂级数，并指出其收敛区间. 解：解： 2 ln(12)ln(1 2 )(1)ln(1)ln(1 2 )xxxxxx 1 分 23 1 ln(1)( 1),(-1,1; 23 n n xxx xx n 其收敛区间为 3 分 23 1 ( 2 )( 2 )( 2 ) ln(1 2 )( 2 )( 1) 23 n n xxx xx n , 1 1 , ). 2 2 其收敛区间为-5 分 于是有, 211 1 ( 2 ) ln(12)( 1)( 1) nn nn n xx xx nn 1 1 ( 1)21 1 ,). 2 2 nn n n x n 其收敛区间为 6 分 六、六、(本题满分本题满分 5 分分) 计算 22 () min, xy x y edxdy . 解：解： 2222yx yxxy Iedyxedxedxyedy 2 分 222 222 11 . 22 yxx edyedxedx 3 分 作换元,令, 22 tdt xdx，有 22 22 121 222 tt Iedtedt 4 分 2 , 22 5 分 其中用到泊松积分 2 2 1 1 2 t edt . 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 设某产品的需求函数为( )QQ P,收益函数为RPQ,其中P为产品价格,Q为需求量 （产品的产量） ，( )Q P是单调减函数，如果当价格为 0 P时，边际收益 0 0 |Q Q dR a dQ ,收 益对价格的边际效应 0 0 P P dR c dP ,需求对价格的弹性为1 p Eb，求 0 P和 0 Q. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 16 页 解：解：由收益RPQ对Q求导，有 dRdP PQ dQdQ P dP P dQ Q 1 ()(1) p PP E ， 于是 0 0 1 (1) Q Q dR Pa dQb . 即 0 . 1 ab P b 3 分 又由收益RPQ对Q求导，有()(1) p dQ dRdQQ QPQQQE dP dPdP P ， 故 0 0(1 ). P Pp dR QEc dP 5 分 因此 0 . 1 c Q b 6 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 设( )f x、( )g x在区间 , a a(0a ) 上连续，( )g x为偶函数，且( )f x满足条件 ( )()f xfxA (A为常数) (1) 证明: 0 ( ) ( )( ) aa a f x g x dxAg x dx ； (2) 利用(1)的结论计算定积分 2 2 .sin dxarctgex x 证证：(1) 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) aa aa f x g x dxf x g x dxf x g x dx 而 00 0 ( ) ( )() ()() ( ) a aa xt f x g x dxft gt dtfx g x dx . 2 分 00 ( ) ( )() ( )( ) ( ) aaa a f x g x dxfx g x dxf x g x dx 于是 00 ( )() ( )( ) aa f xfx g x dxAg x dx . 3 分 (2) 取( ), ( )sin, 2 x f xarctgeg xx a ，则( ), ( )f x g x在, 2 2 上连续，且 ( )g x为偶函数. 由于(arctge +arctge )=0 xx ，故arctge +arctge =A xx ， 4 分 令0x ，得21arctgA，故. 2 A 从而( )(). 2 f xfx 5 分 于是有 22 0 2 sinsin 2 x xarctge dxxdx 22 0 0 sin( cos ) 222 xdxx . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 17 页 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 已知向量组(I) 123 , ；(II) 1234 , ；(III) 1235 , .如果各向量组的秩分别 为 R(I)= R(II)=3，R(III)=4. 证明:向量组 12354 , 的秩为 4. 证证：因 R(I)= R(II)=3，所以 123 , 线性无关.而 1234 , 线性相关，故存在数 123 , 使 2423131 . （1） 3 分 设有数 1234 ,k k k k，使得 123123454) (0kkkk， 将（1）代入上式，化简得 11 421232 433 445 )(0()kkkkkkk. 由 R(III)=4，知 1235 , 线性无关. 6 分 所以 114 224 334 4 0 0 0 0 kk kk kk k ，于是有 1234 0kkkk. 故 12354 , 线性无关，即其秩为 4. 9 分 十、十、(本题满分本题满分 10 分分) 已知二次型),( 321 xxxf 323121 2 3 2 2 84434xxxxxxxx. (1) 写出二次型f的矩阵表达式； (2) 用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵. 解：解：(1) f的矩阵表达式为 1 1231232 3 022 ( ,)( ,)244 243 x f x x xx x xx x ， 2 分 (2) 二次型的矩阵为 022 244 243 A， A的特征方程为 2 22 |244(1)(36)0 243 IA，由此得A的特征值为 123 1,6,6.对应的特征向量为 1 2 0 1 , 2 1 5 2 , 3 1 1 2 ； 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1995 年数学试题参考解答及评分标准 1995 年 第 18 页 对应的单位特征向量为 1 2 5 0 1 5 ， 2 1 30 5 30 2 30 ， 3 1 6 1 6 2 6 . 由此可得正交矩阵 123 211 5306 51 (,0 306 122 5306 P ,). 8 分 对二次型f作正交变换 11 22 33 xy xP y xy ， 9 分 则二次型f可以化为如下标准型 222 123123 ( ,)66f x x xyyy. 10 分 十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分) 假设一厂家生产的每台仪器，以概率为 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试， 经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n ( n 2 ) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立） ，求： (1) 全部能出厂的概率； (2) 其中恰好有两件不能出厂的概率； (3) 其中至少有两件不能出厂的概率. 解：解：