1998年考研数学一真题.pdf

1998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、填空题一、填空题 （1） 2 0 112 lim x xx x + = . 【答】 1 4 . 【详解 1】 用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换， () () () 2 2 0 2 2 0 2 2 0 114 lim 112 211 lim 4 1 1 2 lim. 24 x x x xx xxx x x x x + = + = = 原式 因 22 1 11 2 xx 【详解 2】 采用洛必达法则， 200 0 0 11 11 2 12 1 limlim 2 41 11 lim 4 11 1 2 12 1 lim. 44 xx x x xx xx x xx xx x xx + + = + = + = 0 0 0 0 原式 注： () 2 110xx可求出 【详解 3】 采用()1 u +的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当0u 时 () () () 22 1 11, 2! uuuo u += + 所以0x 时 () () 22 22 11 11, 28 11 11, 28 xxxo x xxxo x += + + = + + 考研数学助手 您考研的忠实伴侣 于是 () () 222 2 0 2 2 0 1111 112 2828 lim 1 lim 4 1 4 x x xxxxo x x o x x + + =+ = 原式= （2）设 ()() 1 ,zf xyyxyf x =+具有二阶连续导数，则 2z x y = . 【答】 ()()() yfxyxyyxy+. 【详解】 ()()() ()()()()() ()()() 2 2 1 , 11 zy f xyfxyyxy xxx z fxyfxyyfxyxyyxy x yxx yfxyxyyxy = + = + =+ （3）设l为椭圆 22 1, 43 xy +=其周长记为, a则 () 22 234 l xyxy ds+= ? . 【答】 12 . a 【详解】 以l为方程 22 1, 43 xy +=即 22 3412xy+=代入，得 ()() 22 23421221212 , lll xyxy dsxydsxydsaa+=+=+= ? 其中第一个积分，由于l关于x轴对称，而xy关于y为奇函数，于是 l xyds ? 0. （4）设A是n阶矩阵， * 0,AA为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则 () 2 * AE+必有特征值 . 【答】 2 1 A + . 【详解】 设()0 ,Axx x=则 () 11 1 ,0 A A xxA A xxx = 即 * , A A xx =从而 ( ) 2 2 * , A Axx = () 2 2 * 1,0, A AE xx x +=+ 可见 ( ) 2 * AE+必有特征值 2 1 A + （5）设平面区域D由曲线 1 y x =及直线 2 0,1,yxxe=所围成，二维随机变量(),X Y在 区域D上服从均匀分布，则(),X Y关于X的边缘概率密度在2x=处的值为 . 【答】 1 4 . 【详解】 区域D的面积为 22 1 111 1 2. ee x D Sdxdydx x = 于是 (),X Y的联合概率密度为 () () 1 , ,2 0, x yD f x y = 其他 其关于x的边缘概率密度为 ( )( ) 1 2 0 11 ,1 22 0, x XX dyxe fxfx dy x + = = 其他 故 ( ) 1 2 4 X f=. 二、选择题二、选择题 （1）设( )f x连续，则 () 22 0 x d tf xtdt dx 等于 （A） () 2 xf x (B) () 2 xf x （C） () 2 2xf x （D） () 2 2xf x 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 作变量代换 22 uxt=，则 ()( )( ) () () 2 2 0 22 00 2 2 11 22 1 2 2 xx x ddd tf xtdtf uduf u du dxdxdx f xx xf x = = = （2）函数( ) () 23 2f xxxxx=不可导点的个数是 （A）3. （B）2. （C）1. （D）0. 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 ( )()()() ()() 23 22111 ,f xxxxxxxx xx=+ 可见( )f x在0,1x =处不可导，而在1x = 处是可导的， 故 ( )f x的不可导点的个数为 2. （3）已知函数( )yy x=在任意点x处的增量 2 , 1 y x y x =+ + ? ?且当0x?时，是x?的高 阶无穷小，( )0y=，则( )1y等于 （A）2. （B）. （C） 4 e . （D） 4 e 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 由 2 , 1 y x y x =+ + ? ?，有 2 . 1 yy xxx =+ + ? ? 令0x ?，得 2 1 y y x = + ， 解此微分方程并利用初始条件由( )0,y=得 arctanx ye= 故 ( ) arctan 4 1. x yee = （4）设矩阵 111 222 333 abc abc abc 是满秩的，则直线 333 121212 xaybzc aabbcc = 与直线 111 232323 xaybzc aabbcc = （A）相交于一点. （B）重合. （C）平行但不重合. （C）异面. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 设矩阵 111 222 333 abc abc abc 是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵 121212 232323 333 aabbcc aabbcc abc 仍是满秩的，于是两直线的方向向量 1121212 2232323 , , Saa bb cc Saa aa cc = = 线性无关， 可见此两直线既不平行， 又不重合.又() 111 ,a b c、() 333 ,a b c分别为两直线上的点， 其连线向量为: 1313131 ,Saa bb cc=,满足 312 SSS=+.可见三向量 123 ,S SS共面， 因此 12 ,S S必相交，即两直线肯定相交. （5）设AB、是两个随机事件，且( )( )() () 01,0,|P AP BP B AP B A上的向量() ()() 42242 ,2A x yxy xyixxyj =+为 某二元函数(),u x y的梯度，并求(),u x y. 【详解】 令() ()()() 42242 ,2,P x yxy xyQ x yxxy =+= + 由题设，有 QP xy = 即 ()() 42 410.x xy += 可见， 当且仅当1= 时， 所给向量场时梯度场， 在0x在半平面内任取一点， 比如点()1,0 作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有 () 2 442 10 2 20 , 0 arctan. xy xx u x ydxC xxy y C x =+ + = + 其中C为任意常数. 五、五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算 起）与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m体积为,B海水比重为,仪器所受 的阻力与下沉速度成正比，比例系数为()0k k .试建立y与v所满足的微分方程，并求出函 数关系式( ).yy v= 【详解】 取沉放点为原点,O Oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 2 2 , d y mmgBkv dt = 这是可降阶的二阶微分方程，其中 dy v dt =. 令, dy v dt =则 2 2 , d ydv dydv v dtdy dtdy =于是原方程可化为 , dv mvmgBkv dy = 分离变量得 , mv dydv mgBkv = 积分得 () () 2 ln m mgBm yvmgBkvC kk = + 再根据初始条件 0 0, |y v = =得 () () 2 ln, m mgB CmgBkv k = 故所求函数关系为 () 2 ln. m mgBmmgBkv yv kkmgB = 六、六、计算 () () 2 1 222 2 , axdydzzadxdy xyz + + 其中为下半球面 222 zaxy= 的上侧，a为大 于零的常数. 【详解 1】 添加一平面区域后用高斯公式进行计算 () () () 2 2 1 222 2 1 . axdydzzadxdy Iaxdydzzadxdy a xyz + =+ + 补一块有向平面 222 1: 0 xya z + = ，其侧与z轴负向一致，于是有 ()() () () 11 22 22 2 44 20 4 00 3 11 1 32 1 22 1 22 . 2 D a ar Iaxdydzzadxdyaxdydzzadxdy aa az dVa dxdy a azdVa a adrdrzdz a a + =+ =+ =+ = = ? 【详解 2】 直接分块计算： () () () () 2 2 1 222 2 2 12 1 1 . axdydzzadxdy Iaxdydzzadxdy a xyz xdydzzadxdyII a + =+ + =+=+ 其中 222 1 2, Dyz Ixdydzaxy dydz = yz D为yOz平面上的半圆： 222, 0.yzaz+利用极坐标，得 () () 2 223 1 0 2 2 2 222 2 2. 3 1 1 , xy a D Idar rdra Izadxdy a aaxydxdy a = = =+ = xy D为xOy平面上的圆域： 22 xya+。利用极坐标，得 () 2 22223 2 00 1 22, 6 a Idaa arrrdra a = 故 3 12 . 2 IIIa =+= 七、七、求 2 sinsin sin lim. 11 1 2 n nn n nn n + + + ? 【详解】 由于 sinsinsin ,1,2,3, . 1 iii nnn in i nn n n 即 ( )F x在()0,1内严格单调增加，从而( )0F x =的点 0 xx=必唯一，故（1）中的 0 x试唯 一的. 十、十、已知二次曲面方程 222 2224,xayzbxyxzyz+=可以经过正交变换 x yP z = 化为椭圆柱面方程 22 44,+=求,a b的值和正交矩阵.P 【详解】 由题设知，矩阵 11 1 111 b Aba = 与 000 010 004 B = 相似，于是有 EAEB=， 即 1100 1010 111004 b ba = 解得 3,1ab=. 此时， 111 131 111 A = ，特征值为 123 0,1,4.= 解()00,EA x=得属于特征值 1 0=的特征向量为() 1 1,0, 1 T =. 解()0,EA x=得属于特征值 2 1=的特征向量为() 2 1, 1,1 T =. 解()40,EA x=得属于特征值 3 4=的特征向量为() 1 1,2,1 T =. 将 123 , 单位化，得 312 123 123 11111121 ,0, 22333666 TTT = 令 111 236 12 0 36 111 236 P = ，即为所求得正交矩阵. 十一、十一、设A是n阶矩阵，若存在正整数, k使线性方程组0 k A=有解向量,且 1 0 k A ， 证明：向量组 1 , k AA ?是线性无关的. 【详解】 设有常数 011 , k ?使得 1 011 0, k k AA +=? 则有 () 11 011 0, kk k AAA +=? 从而 1 0 0. k A = 由题设 1 0 k Ax ，所以 0 0.= 类似地可证明 121 0, k =?因此向量组 1 , k AA ?是线性无关的. 十二、十二、已知线性方程组 （I） 11 11221,22 21 12222,22 1 122,22 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xax a xa xax a xa xax += += += ? ? ? ? 的一个基础解系为() ()() 11121,221222,212,2 , TTT nnnnnn bbbbbbbbb?试写出线 性方程组 （II） 11 11221,22 21 12222,22 1 122,22 0 0 0 nn nn nnnnn b xb xbx b xb xbx b xb xbx += += += ? ? ? ? 的通解，并说明理由. 【详解】 （II）的通解为 ()()() 111121,2221222,212,2 , TTT nnnnnnn yc aaacaaacaaa=+?其中 12 , n c cc?为任意常数. 理由：方程组（I） 、 （II）的系数矩阵分别记为,A B，则由题设可知, T ABO=于是 () T TT BAABO=,可见A的n个行向量的转置为（II）的n个解向量. 由于B的秩为, n故（II）的解空间维数为( )22.nr Bnnn=又A的秩为2n与（I）的解 空间维数之差，即为,n故A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II）的一个 基础解系，于是得到（II）的上述通解. 十三、十三、设两个随机变量,X Y相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1 2 的正态分布，求随机变 量XY的方差. 【详解】 令ZXY=，由于,X Y相互独立，且都服从正态分布，因此Z也服从正态分布， 且( )()( )( )()( )0,1,E ZE XE YD ZD XD Y=+= 于是 ()0,1ZXYN= () () ( )( ) 22 2 2 22 2 1 D XYD ZE ZE ZE ZE Z D ZE ZE Z E Z = =+ = 而 22 22 0 122 22 zz E Zzedzzedz + = 故 2 1.D XY = 十四、十四、从正态总体 () 2 3,4,6N中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间 ()1.4,5.4内的概率不小于 0.95，问样本容量n至少应取多大？ 附表：标准正态分布表 ( ) 2 2 1 2