中考数学压轴题解题方法大全和技巧.pdf

中考数学压轴题解题技巧 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地 中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多， 条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对 数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还 必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、C（8，0） 、D （8，8）.抛物线 y=ax 2+bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向终点 B 运动， 同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动速度均为每秒 1 个 单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E. 过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长? 连接 EQ在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值. 解：(1)点 A 的坐标为（4，8） 1 分 将 A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax 2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 2 解 得 a=- 1 2 ,b=4 抛物线的解析式为：y=- 1 2 x 2+4x 3 分 （2）在 RtAPE 和 RtABC 中，tanPAE= PE AP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 PE= 1 2 AP= 1 2 tPB=8-t 点的坐标为（4+ 1 2 t，8-t）. 点 G 的纵坐标为：- 1 2 （4+ 1 2 t） 2+4(4+1 2 t）=- 1 8 t 2+8. 5 分 EG=- 1 8 t 2+8-(8-t) =-1 8 t 2+t. - 1 8 0，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. 7 分 共有三个时刻. 8 分 t1= 16 3 ， t2= 40 13 ，t3= 8 5 25 11 分 压轴题的做题技巧如下： 1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重 心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜” 。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点” 一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题， 尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第 一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是 按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少 3 写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代 数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、 正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、 结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压 轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的 思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的 关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视 题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第 24 题和 25 题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即 在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性 质。初中已知函数有：一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图 像是直线；反比例函数，它所对应的图像是双曲线；二次函数，它所对应的图像 是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点 的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第 24 题，满 分 12 分，基本分 23 小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或 动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在 4 没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函 数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边 形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系 等或探索面积之间满足一定关系求 x 的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值 等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含 有 x、y 的方程），变形写成 yf（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有 x 和 y 的方程）和复合法（列出含有 x 和 y 和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和 x 之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到 yf（x）的形式），当然还有参数法， 这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行 线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置 （极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分 析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。几何型综合题基本在第 25 题做为压轴题 出现，满分 14 分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘， 化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得 提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点 是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题， 一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的 解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 5 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过 建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一 方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图 形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函 数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或 结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能 造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已 知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与 转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更 要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法， 它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也 较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至 连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试 中还需要有一种分题、分段的得分策略。 6 5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第（1） 小题较易，第（2）小题中等，第（3）小题偏难，在解答时要把第（1）小题的分数一 定拿到，第（2）小题的分数要力争拿到，第（3）小题的分数要争取得到，这样就大 大提高了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段 的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中 考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分。因 此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压 轴题变成最有价值的压台戏。 近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐，它不仅综合考查初中数学骨干知识， 如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数） 与方程等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。此类题型也往往起到了考 试的选拔作用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离，所以准确快速解决此类 问题是赢得中考数学胜利的关键。如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决 此类题型的规律与方法以静制动。 另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题， 考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和 方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准 确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。 7 一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运 用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 例 1：在ABC 中，B=60,BA=24CM,BC=16CM, (1)求ABC 的面积； (2)现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q 从 C 点出发，沿射 线 CB 也向点 B 方向运动。如果点 P 的速度是 4CM/秒，点 Q 的速度是 2CM/秒，它们同 时出发，几秒钟后，PBQ 的面积是ABC 的面积的一半？ (3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？ 点评：此题关键是明确点 P、Q 在ABC 边上的位置，有三种情况。 （1）当 0t6 时，P、Q 分别在 AB、BC 边上； （2）当 6t8 时，P、Q 分别在 AB 延长线上和 BC 边上； （3）当 t 8 时, P、Q 分别在 AB、BC 边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解. 例 2:已知正方形ABCD的边长是 1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一 个动点，动点P从A点出发，沿A B C E运动，到达点E. 若点P经过的路程为自变量x，APE的面积为函数y， （1）写出 y 与 x 的关系式 (2)求当y 1 3 时，x的值等于多少？ 点评:这个问题的关键是 明确点P在四边形ABCD边上的 A C B 8 位置,根据题意点 P 的位置分三种情况:分别在 AB 上、BC 边上、EC 边上. 例 3：如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中，B=90，DCAB，动点 P 从 B 点出发，沿 梯形的边由 BC D A 运动，设点 P 运动的路程为x ,ABP 的面积为y , 如果 关于x 的函数y的图象如图 2 所示 ，那么ABC 的面积为（ ） A32 B18 C16 D10 例 4：直线 3 6 4 yx 与坐标轴分别交于AB、两点，动点 段PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线 OA 运动， 速度为每秒 1 个单位长度， 点P沿路线OBA运 动 （1）直接写出AB、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶点的平行四边形 的第四个顶点M的坐标 点评：本题关键是区分点 P 的位置：点 P 在 OB 上，点 P 在 BA 上。 例 5：已知：等边三角形ABC的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段MN在ABC的 边AB上沿AB方向以 1 厘米/秒的速度向B点运动 （运动开始时， 点M与点A重合， 点N 到达点B时运动终止） ，过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC的其它边交于PQ、两 点，线段MN运动的时间为t秒 （1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩 形的面积； 运（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S， x A O Q P B y C P Q B A M N 9 动的时间为t求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围 解： （1）过点C作CDAB，垂足为D则2AD ， 当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即 3 2 AM 时， 四边形MNQP是矩形， 3 2 t 秒时，四边形MNQP是矩形 3 tan603 2 PMAM=， 3 3 2 MNQP S 四边形 （2）1当01t 时， 1 () 2 MNQP SPMQN MN 四边形 3 3 2 t 2当12t 时， 1 () 2 MNQP SPMQN MN 四边形 3 3 2 3当23t 时， 1 () 2 MNQP SPMQN MN 四边形 7 33 2 t 点评：此题关键也是对 P、Q 两点的不同位置进行分类。 例 6：如图（15） ，在梯形ABCD中，906DCABAAD ， ，厘米，4DC 厘米， BC的坡度3 4i ，动点P从A出发以 2 厘米/秒的速度沿AB方 向向点B运动，动点Q从点B出发以 3 厘米/秒的速度沿 BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个 动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时 间为t秒 （1）求边BC的长； （2）当t为何值时，PC与BQ相互平分； 图 （3） CD A B Q P E C P Q B A M N C P Q B A M N 10 （3）连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大 值？最大值是多少？ 6. 解： （1）作CEAB于点E，如图（3）所示，则四边形AECD为矩形 46AECDCEDA，又 3 3 4 4 CE i EB ，812EBAB， 2 分 在RtCEB中，由勾股定理得： 22 10BCCEEB （2）假设PC与BQ相互平分由DCAB，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上） 即310122CQBPtt，解得 22 5 t ，即 22 5 t 秒时，PC与BQ相互平分 （3）当Q在BC上，即 10 0 3 t 时，作QFAB于F，则CEQF QFBQ CEBC ，即 39 6105 QFtt QF 119 (122 ) 225 PBQ t SPB QFt = 2 981 (3) 55 t 当3t 秒时， PBQ S 有最大值为 2 81 5 厘米 当Q在CD上，即 1014 33 t 时， 11 (122 ) 6 22 PBQ SPB CEt =366t 易知S随t的增大而减小故当 10 3 t 秒时， PBQ S 有最大值为 2 10 36616 3 厘米 2 95410 55381 16 51014 636 33 ttt y tt ，0 ， 综上，当3t 时， PBQ S有最大值为 2 81 5 厘米 11 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化 为函数或方程。 例 7：如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC 厘米，点D为 AB的中点 （1） 如果点P在线段BC上以 3 厘米/秒的速度由B点向C点运动， 同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD与CQP是否全 等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能 够使BPD与CQP全等？ （2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出 发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边 上相遇？ 解： （1）1t 秒，3 13BPCQ 厘米， 10AB 厘米，点D为AB的中点，5BD 厘米 又8PCBCBPBC，厘米，8 35PC 厘米，PCBD 又ABAC，BC，BPDCQP PQ vv， BPCQ， 又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD， 点P，点Q运动的时间 4 33 BP t 秒， 515 4 4 3 Q CQ v t 厘米/秒 A Q C D B P 12 （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 15 32 10 4 xx ，解得 80 3 x 秒 点P共运动了 80 380 3 厘米 802 2824 ， 点P、点Q在AB边上相遇，经过 80 3 秒点P与点Q第一次在边AB上 相遇 例 8： 如图， 在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从 B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发 沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒 （1）求BC的长 （2）当MNAB时，求t的值 （3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 解： （1）如图，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是 矩形 3KHAD 在RtABK中， 2 sin454 24 2 AKAB 2 cos454 24 2 BKAB在，RtCDH中，由勾股定理得， 22 543HC 43 310BCBKKHHC （2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 （图） A D C B K H （图） A D C B G M N 13 MNABMNDG3BGAD1037GC 由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt， DGMNNMCDGC又CC MNCGDC CNCM CDCG 即 102 57 tt 解得， 50 17 t （3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt 10 3 t 当MNNC时，如图，过N作NEMC于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得 11 1025 22 ECMCtt 在RtCEN中， 5 cos ECt c NCt 又在RtDHC中， 3 cos 5 CH c CD 53 5 t t 解得 25 8 t 90CCDHCNEC ，NECDHC NCEC DCHC 即 5 53 tt 25 8 t 当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点. 11 22 FCNCt 解法一： （方法同中解法一） 1 3 2 cos 1025 t FC C MCt 解得 60 17 t 解法二： A D C B M N （图） （图） A D C B M N H E （图） A D C B H N M F 14 A B O C D P Q 90CCMFCDHC ，MFCDHC FCMC HCDC 即 1 102 2 35 t t 60 17 t 综上所述，当 10 3 t 、 25 8 t 或 60 17 t 时，MNC为等腰三角形 例 9：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB12cm，AD8cm，BC 22cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以 1cm/s 的速度运动，动 点Q从点C开始沿CB边向点B以 2cm/s 的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发， 当其中一点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s) (1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ (2)当t为何值时，PQ与O相切？ 解：(1)直角梯形ABCD，ADBCPDQC 当PDQC时，四边形PQCD为平行四边形 由题意可知：2APtCQt， 82tt ，38t ， 8 3 t 当 8 3 ts时，四边形PQCD为平行四边形 （2）解：设PQ与O相切于点H，过点P作PEBC，垂足为E 直角梯形ABCDADBC， PEAB由题意可知：2APBEtCQt，222BQBCCQt 22222 3EQBQBEttt O A P D B Q C O A P D B Q C H E 15 AB为O的直径，90ABCDABADBC、为O的切线APPHHQBQ， 22222PQPHHQAPBQttt 在RtPEQ中， 222 PEEQPQ 222 12(223 )(22)tt即： 2 8881440tt 2 11180tt，(2)(9)0tt 12 29tt， 7 分 因为P在AD边运动的时间为 8 8 11 AD 秒，而98t 9t （舍去） 当2t 秒时，PQ与O相切 例 10. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的 边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端 点 时 ， 运 动 即 停 止 已 知 在 相 同 时 间 内 ， 若 BQ=xcm(0x )，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x 2cm （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能， 请说明理由 解：解： （1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点P与点N重合时， A B D C P Q M N （第 25 题） 16 2 12 220211211xxxx 由，得，（舍去） 因为BQ+CM=34( 211)20xx，此时点Q 与点M不重合所以21 1x 符合题意 当点Q与点M重合时， 320,5xxx由得此时 2 2520DNx，不符合题意故点Q与点M不能重合 所以所求x的值为21 1 （2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧， 当点P在点N的左侧时，由 2 20(3 )20(2)xxxx，解得 12 0()2xx舍去， 当x=2 时四边形PQMN是平行四边形 当点P在点N的右侧时，由 2 20(3 )(2)20xxxx， 解得 12 10()4xx 舍去 ， 当x=4 时四边形NQMP是平行四边形所以当24xx或时，以P，Q，M，N为顶点的四 边形是平行四边形 （3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F由于 2xx，所以点E一定在 点P的左侧 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF， 即 2 23xxxx解得 12 0()4xx舍去， 由于当x=4 时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对 称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来， 就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来。中等的 17 动点题也就没问题了。但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角 形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再 求出来看看在不在某个范围内 【典型例题】【典型例题】 例 1在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你 对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形，这个条件是 。 解：解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以） 例 2将两块全等的含 30角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1。 （1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_。 （2）如图 2，将 RtBCD沿射线BD方向平移到 RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_。 18 （3）在 RtBCD沿射线BD方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为_时，四 边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点 B 的移动距离为_ 时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_。 （图 3、图 4 用于探究） 解：解： （1）是，此时AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （2）是，在平移过程中，始终保持 ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形。 （3），此时ABC1=90，有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ，此时点D与点 B1重合，AC1BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 例 3如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点 P 为 x 轴上的个动点，点 P 不与点 O、点 A 重合。连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D。 （1）求点 B 的坐标； （2）当点 P 运动什么位置时，OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标； （3）当点 P 运动什么位置时，使得CPD=OAB，且=，求这时点 P 的坐标。 解析：解析：（1）过 C 作 CHOA 于 H，BEOA 于 E 19 则OCHABE，四边形 CHEB 为矩形 OH=AE，CH=BE OC=AB=4，COA=60 CH=，OH=2 CB=HE=3 OE=OH+HE=5 BE=CH= B（5，） （2）COA=60，OCP 为等腰三角形 OCP 是等边三角形 OP=OC=4 P（4，0） 即 P 运动到（4，0）时，OCP 为等腰三角形 （3） CPD=OAB=COP=60 OPC+DPA=120 又PDA+DPA=120 OPC=PDA OCP=A=60 COPPAD 20 ，AB=4 BD= AD= 即 得 OP=1 或 6 P 点坐标为（1，0）或（6，0） 例 4已知：如图，四边形ABCD是矩形（ADAB），点E在BC上，且AE =AD，DF AE，垂足为F。 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明。 解：解：经探求，结论是：DF = AB 证明如下： 四边形ABCD是矩形， B = ADBC， 21 DAF = AEB。 DFAE AFD =