1993考研数学全试题及答案.pdf

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 1 页 1993 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 函数 )0() 1 2()( 1 xdt t xF x 的单调减少区间为 1 (0, ) 4 .(答 1 (0, 4 也对) (2) 由曲线 22 3212 0 xy z 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0,2, 3）处的指向外侧 的单位法向量为 1 0, 2, 3 5 (3) 设函数 2 ( )f xxxx的傅里叶级数展开式为 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 则其中系数 3 b的值为 3 2 (4) 设数量场 222 lnuxyz，则()div gradu 222 1 xyz (5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1，则线性方程组 AX=0 的通解为 1,1,1 T k 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 sin 234 0 ( )sin( ) , ( ) x f xt dt g xxx ， 则当 x0 时，( )f x是( )g x的 （B） (A) 等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小 (2) 双纽线 22222 )(yxyx所围成的区域面积可用定积分表示为 （A） (A) 24 0 2cos d (B) 44 0 2cos d (C) 2 d 4 0 2cos (D) 2 1 4 0 2 2cos d (3) 设直线 1 8 2 5 1 1 : 1 zyx l与 32 6 : 2 zy yx l ， 则 1 l与 2 l的夹角为 (C) (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 设曲线积分ydyxfydxexf x L cos)(sin)( 与路径无关，其中( )f x具有一阶连续 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 2 页 导数， 且(0)0f， 则( )f x等于 (B) (A) 2 xx ee (B) 2 xx ee (C) 1 2 xx ee (D) 2 1 xx ee (5) 已知 Q= 963 42 321 t ，P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ = 0，则 (C) (A) 6t 时 P 的秩必为 1 (B) 6t 时 P 的秩必为 2 (C) 6t 时 P 的秩必为 1 (D) 6t 时 P 的秩必为 2 三、三、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分分) (1) 求 21 lim(sincos )x x xx . 解：解：因 0 21ln(sin2cos ) lim ln(sincos )lim xt tt x xxt 2 分 0 2cos2sin lim2 sin2cos t tt tt , 4 分 所以原式 2 e. 5 分 (2) 求 dx e xe x x 1 . 解：解：令 1 x ue ，则 2 2 2 ln(1), 1 u xudxdu u ，从而 22 2 (1)ln(1)2 (1) 1 x x xeuuu dxdu uu e 2 分 2 2 ln(1)u du 2 22 2 4 2 ln(1)2 ln(1)44 1 u uuduuuuarctguC u 4 分 214141 xxx x eearctg eC . 5 分 (3) 求微分方程 22 yxyyx满足初始条件1 1 x y的特解. 解一解一： 2 2 yxy y x ，令yxu，有 22 ,2xuuuu xuuu. 2 分 分离变量得 2 2 dudx uux ，积分得 1 1ln( 2)ln ln 2 uuxC 即 2 2u Cx u ，亦即 2 2yx Cx y . 4 分 由 1 1 x y 得1C ，故所求特解为 2 2yx x y ，即 2 2 1 x y x . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 3 页 解二解二 2 2 22 111 1,1, xx yzx zxzzz yyyxx 令有, 2 分 解得 3 11 () 2 zxdxCCx xx 4 分 即 2 2 1 2 x y Cx ，由 1 1 x y 得 1 2 C ，故所求特解为 2 2 1 x y x 5 分 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) 计算 dxdyzyzdzdxxzdydz 2 2 ，其中是由曲面 22 yxz 与 22 2yxz 所围立体的表面外侧. 解：解： 2 2,2 ,2 , PQRPQR Pxz Qyz Rzzzzz xyzxyz 因故. 根据奥-高公式， 2 2xzdydzyzdzdxz dxdyzdxdydz 2 分 22 3 4 000 sincosddr dr 5 分 2 . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 求级数 0 2 2 11 n n n nn 的和. 解：解： 2 000 ( 1) (1)11 (1)()() 222 n nn n nnn nn n n , 1 分 其中 1 0 2 112 () 213 n n , 2 分 设 2 2 ( )(1),( 1,1) n n S xn nxx ，则 2 00 2 ( ) 1 xx n n x S x dx dxx x 故 2 3 2 ( )() 1(1) x S x xx 2 3 0 2 (1),( 1,1) (1) n n x n nxx x ， 5 分 于是 0 14 (1)() 227 n n n n ， 6 分 2 0 ( 1) (1)4222 227327 n n n nn 所以. 7 分 六、六、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分) (1) 设在0,)上函数( )f x有连续导数，且 f (x)0 k，(0)0f，证明( )f x在 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 4 页 (0,)内有且仅有一个零点 证证：在0,)上，由( )fxk得 00 ( ) xx fx dxkdx ，即( )(0)f xkxf. 11 (0)(0) 0,( )(0)0 ff xf xkf kk 取有 . 2 分 1010 ( )0,(0)0,(0,),()0f xfxxf x因由题设根据零点定理故必存在使. 4 分 又因( )0fxk，故( )f x严格单调增加，( )f x在(0,)内有且仅有一个零点5 分 (2) 设bae，证明 ab ba . 证证: 要证 ab ba ，只需证lnln .baab 令( )lnln (),f xxaax xa 2 分 因为( )ln10(), aa fxaxa xx 所以( )f x在xa时单调增加. 3 分 于是，当ba时，( )( )0f bf a，即有lnlnbaab. 5 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 已知二次型02332),( 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf通过正交变换化成标准形 2 3 2 2 2 1 52yyyf，求参数a及所用的正交变换矩阵. 解：解：二次型f的矩阵 200 03 03 a a A， 1 分 特征方程为 22 200 |03(2)(69)0 03 aa a IA， 2 分 由题设，知A的特征值为 123 1,2,5.将1（或5）代入特征方程，得 2 40,2aa . 又0a ，故取2a .这时 200 032 023 A， 当 1 1时， 由()IA x0， 即 1 2 3 100 0220 022 x x x ， 解得对应的特征向量 1 0 1 1 . 当 2 2时，由(2)IA x0，解得对应的特征向量为 2 1 0 0 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 5 页 当 3 5时，由(5)IA x0，解得对应的特征向量为 3 0 1 1 . 7 分 将 123 , 单位化，得 000 123 010 11 1 ,0 ,1 , 22 101 故所用的正交变换矩阵为 010 1/20 1/2 1/20 1/2 T . 8 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 设 A 是n m矩阵，B 是m n矩阵，其中nm，I 是 n 阶单位矩阵.若 AB = I，证明 B 的列向量组线性无关. 证一：证一：设 12 , n B ，其中(1,2, ) i in是B的列向量. 若 1 122 0 nn xxx，即 1 2 12 (,)0 n n x x BX x ， 2 分 两边左乘 A，则得0ABX ，即0I X ，亦即0X . 5 分 所以 12 , n 线性无关. 6 分 证二：证二：因为( )r Bn， 1 分 又( )()( )r Br ABr In， 4 分 故( )r Bn. 5 分 所以 12 , n 线性无关. 6 分 九、九、(本题满分本题满分 6 分分) 设物体 A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运 动.物体 B 从点（-1，0）与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向 始终指向 A. 试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出 初始条件. 解：解：设在时刻t，B 位于点( , )x y处，则 (1)dyyvt dxx ， 2 分 两边对x求导得 2 2 ( ) d ydt xv xdx 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 6 页 由 2 21 () dsdydx v dtdxdt ，得 2 1 1 () 2 dtdy dxvdx ， 代入(*)式得到所求的微分方程为 2 2 2 1 1 ()0 2 d ydy x xdx . 5 分 其初始条件为 11 0, 1 xx yy . 6 分 十、十、填空题填空题 (本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分分) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则 第二次抽出的是次品的概率为1/6. (2) 设随机变量X服从(0,2)的均匀分布，则随机变量 2 YX在（0，4）内概率分布密度 ( ) Y fy 1 4 y 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设随机变量X的概率分布密度为 1 ( ),. 2 x f xex (1)求X的数学期望 EX 和方差 DX； (2)求X与X的协方差;并问X与X是否不相关？ (3)问X与X是否相互独立？为什么？ 解：解：(1) ( )0EXxf x dx ， 1 分 22 0 ( )02 x DXx f x dxx e dx . 2 分 (2) cov(,|)(|)|( )00XXE XXEX E Xx x f x dx ， 3 分 故X与X不相关. 4 分 (3) 对给定0a ， 显然|XaXa， 故,|P Xa XaPXa. 又易见1P Xa，|0PXa，所以|P XaPXaPXa， 因此,|P Xa XaP XaPXa，因此 X 与X不独立. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 7 页 数数 学（试卷二）学（试卷二） 一一 三三、 【 同数学一 第一 三题 】 四、四、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分分，满分，满分 18 分分) (1) 设),( 3 x y xyfxz ，f具有连续二阶偏导数，求 2 2 , y z y z 及 yx z 2 解解: 42 12 z x fx f y . 2 分 2 53353 11122122111222 2 2 z x fx fx fxfx fx fxf y . 3 分 2 3422 1111222122 42 z x fx yfx yfxfx yfyf x y 34 121122 42x fxfx yfyf . 6 分 (2) 【 同数学一 第四题 】 (3) 已知 3 R的两个基为 1 1 1 1 ， 1 0 1 2 ， 1 0 1 3 ； 1 2 1 1 ， 4 3 2 2 ， 3 4 3 3 . 求由基 3, 2, 1 到基 3, 2, 1 的过渡矩阵. 解：解：设由基 123 , 到基 123 , 的过渡矩阵为C， 则 1,2,31,2,3 C 1 分 故 1 1,2,31,2,3 C ，其中 1 1 1,2,3 111 100 11 1 010 11 0 22 11 1 22 3 分 于是 234 010 101 C . 5 分 五五九、九、 【 同数学一 第五 九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 8 页 数数 学（试卷学（试卷三三） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 0lnlim 0 xx x . (2) 函数( )yy x由方程0sin 222 xyeyx x 所确定，则 dx dy = 222 22 2 cos() 2 cos()2 x yexxy yxyxy . (3) 【 同数学一 第一（1）题 】 (4) 2 coscos tgx dxc xx . (5) 已知曲线( )yf x过点 1 (0,) 2 ，且其上任一点( , )x y处的切线斜率为 2 ln(1)xx，则 ( )f x 22 (1)ln(1) 1/2xx. 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 当 x0时， 变量 xx 1 sin 1 2 是 ( D) (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界的，但不是无穷小量 (D) 无界的,但不是无穷大 (2) 设( )f x 1,2 1, 1 1 2 x x x x ，则在点1x 处函数( )f x ( A ) (A) 不连续 (B) 连续，但不可导 (C) 可导，但导数不连续 (D) 可导，且导数连续 (3) 已知( )f x 2 01 112 xx x ， 设 1 ()()02 x Fxftd tx ， 则( )F x为 (D) (A) 21 10 3 1 3 xx xx (B) 21 10 3 1 3 1 3 xx xx (C) 211 10 3 1 3 xx xx (D) 211 10 3 1 3 1 3 xx xx (4) 设常数0k ， 函数k e x xxf)ln()(在 , 0内零点个数为 ( B ) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 9 页 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若( )()f xfx ， 且在, 0内0)( xf,0)( xf,则( )f x在0 ,内 (C) (A) 0)( , 0)( xfxf (B) 0)( , 0)( xfxf (C) 0)( , 0)( xfxf (D) 0)( , 0)( xfxf 三、三、(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分分) (1) 设 2 sin ()yf x，其中f具有二阶导数，求 2 2 dx yd . 解：解： 22 2()cos () dy xfxf x dx , 2 分 2 222222222 2 2()cos ()2()cos ()2() sin () d y fxf xx fxf xxfxf x dx 22222222 2 ()cos () 4 ()cos () () sin ()fxf xxfxf xfxf x. 5 分 (2) 求 2 lim(100) x xxx . 解：解：原式 2 100 lim 100 x x xx 1 分 2 100 lim 100 11 x x 4 分 50 . 5 分 (3) 求 dx x x 4 0 2cos1 . 解：解：原式 44 2 00 1 tan 2cos2 x dxxdx x 1 分 44 0 0 1sin ( tan) 2cos x xxdx x 3 分 4 0 11 (lncos)ln2 2 484 x . 5 分 (4) 求 dx x x 0 3 1 解：解：原式 3 0 1 1 (1) x dx x 1 分 232 0 0 1111 lim (1)(1)12(1) b b dx xxxx 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 10 页 1 2 . 5 分 (5) 求微分方程0)cos2() 1( 2 dxxxydyx满足初始条件1 0 x y的特解. 解：解：原方程可化为 22 2cos 11 dyxx y dxxx 1 分 此一阶线性微分方程的通解为 22 22 11 2 cos (), 1 xx dxdx xx x yeedxC x 3 分 即 2 sin 1 xC y x . 4 分 由 0 1 x y ，得1C ，故满足初始条件的特解是 2 sin1 1 x y x . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 9 分分) 设二阶常系数线性微分方程 x eyyy 的一个特解为 xx exey1 2 .试确 定常数,并求该方程的通解. 解一：解一：由题设特解知原方程的特征根为 1 和 2， 2 分 所以特征方程为(1)(2)0rr，即 2 320rr，于是 3,2 5 分 将 1 x yxe代入方程得(2)3(1)2 xxxx xexexee，即1 7 分 从而原方程的通解为 2 12 xxx ycec exe. 9 分 解二解二: 将 2 (1) xx yex e代入原方程得 2 (4 2)(3 2)(1) xxxx eexee, 2 分 比较同类项的系数，有 420 32 10 ，解方程组得=-3, =2, =-1. 5 分 即原方程为32 x yyye ，它对应的齐次方程的特征方程为 2 320rr， 解之得特征根 12 1,2rr，故齐次方程的通解为 2 12 xx Ycec e. 7 分 由题设特解知，原方程的通解为 22 12 (1) xxxx ycec eex e, 即 2 34 xxx yc ec exe 9 分 五、五、(本题满分本题满分 9 分分) 设平面图形 A 由xyx2 22 与xy 所确定，求图形 A 绕直 线2x 旋转一周所得旋转体的体积. 解：解：A 的图形如下图所示. 取y为积分变量,它的变化区间为0,1， 易见 A 的两条边界曲线方程 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 11 页 分别为 2 11(01)xyxyy 及 . 2 分 于是相应于0,1区间上任一小区间, y ydy的薄片的体积元素为 22222 2(11)(2) 2 1(1) dVyydyyydy， 5 分 于是所求体积为 1 22 0 2 1(1) Vyydy 6 分 1 3 2 0 1(1) 2 1arcsin 223 yy yy 8 分 1 2 () 43 2 2 23 9 分 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 作半径为 r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 为何值时， 其体积 V 最小，并求出该最小值. 解：解：设圆锥底面圆半径为 R，如图所示 SCh, OCODr,BCR. 因 2 2 2 ,R 2 () BCCDRrrh SCSDh hhr hrr 故从而 = . 2 分 于是圆锥体积为 22 2 ( )(2) 332 rh V hR hrh hr .4 分 22 2 4 (h)=,(h)04 ,0(). 3 (2 ) rhrh hr h hr 因V故解V得舍去 7分 由于圆锥的最小体积一定存在,且h=4r是( )V h在(2r,+ )内的唯一驻点， 所以当h=4r时，V 取最小值 223 (4 )8 (4 ) 3 (42 )3 rrr Vr rr . 9 分 七、七、(本本题满分题满分 9 分分) 设0x ，常数ae，证明： xa a axa . 证证：因为lnyx是单调增加函数，所以欲证明 xa a axa ，只需证 ln()()lnaaxaxa. 2 分 设( )()lnln(),f xaxaaax 4 分 则在0,)内连续且可导，又有( )ln a fxa ax . 5 分 ln1,1,( )0,( )0,. a afxf x ax 因为故所以函数在内单调增加 7 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 12 页 (0)0,( )0(0),ln()()ln ,()a a x ff xxaaxaxa axa 而所以即. 9 分 八、八、(本题满分本题满分 9 分分) 设 fx在0, a上连续，且(0)0f，证明： 2 0 ( ) 2 a Ma f x dx ，其中 0 max( ) x a Mfx . 证一：证一：任取(0, xa，由微分中值定理有( )(0)( ) ,(0, )f xffxx. 3 分 又(0)0f，故( )( ) ,(0, f xfx xa. 所以 000 ( )( )( ) aaa f x dxfxdxfxdx 6 分 0 a Mxdx 2 2 M a 9 分 证二证二：设0, xa，由(0)0f，知 0 ( )( )(0)( ) x ft dtf xff x 4 分 由积分基本性质，并考虑到 0 max( ) x a Mfx ，有 000 ( )( )( ) xxx f xf t dtf t dtMdtMx . 7 分 于是 2 000 ( )( ) 2 aaa Ma f x dxf x dxMxdx . 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 13 页 数数 学（试卷学（试卷四四） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 5 62 sin 35 53 lim 2 xx x x . (2) 已知 2 32 , 32 x yffxarctgx x 则 0x dx dy 4 3 . (3) 级数 0 2 3ln n n n 的和为 2 2ln3 . (4) 设 4 阶方阵 A 的秩为 2, 则其伴随矩阵 * A的秩为 0 . (5) 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5， 则 X 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 ( 4.804 ,5.196 ) . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 已知函数 0, 0 0, 1 sin )( 2 x x x x xf, 则 f (x ) 在点x = 0处 ( C ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续. (C) 连续但不可导. (D) 可导. (2) 设( )f x为连续函数，且 ln 1 ( )( ) x x F xf t dt, 则)(x F 等于 ( A ) (A) ) 1 ( 1 )(ln 1 2 x f x xf x (B) ) 1 ()(ln x fxf (C) ) 1 ( 1 )(ln 1 2 x f x xf x (D) ) 1 ()(ln x fxf (3) n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 (B) (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A和B满足()1P B A ， 则 (D) (A) A 是必然事件 (B)()0P B A (C) A B (D) A B (5) 设随机变量 X 的密度函数为)(x,且)( x=)(x,( )F x是 X 的分布函数,则对任 意实数a， 有 (B) (A) 0 ()1( ) a Fax dx (B) 0 1 ()( ) 2 a Fax dx 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 14 页 (C) ()( )FaF a (D) ()2 ( ) 1FaF a 三、三、(本题满分本题满分 5 分分) 设( , )zf x y是由方程0 z y x zyxxe 所确定的二元函数，求dz. 解：解：将方程两端微分，得()0 z y xz y x dzdydxedxxedzdydx 3 分 整理后得(1)(1)(1) z y xz y xz y xz y x xedzxeedxxedy 4 分 由此，得 1 (1) 1 z y x z y x xe dzdxdy xe . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 7 分分) 已知 a x x x dxex ax ax 22 4lim，求常数a的值. 解：解：左边= 2 2 lim(1)x a x a e xa . 2 分 22222 224 xxx a aa x dex exedx 右边 3 分 222 22 ax a a exde 4 分 2222 222 axx a a a exeedx 5 分 2222 22 aax a a eaee 2222 22 aaa a eaee . 6 分 于是，有 22222 22 aaaa ea eaee ，解得0a 或1a 7 分 五、五、(本题满分本题满分 9 分分) 设某产品的成本函数为 2 Caqbqc，需求函数为 1 qdp e ，其中C为成本， q为需求量(即产量)，p为单价，, , , ,a b c d e都是正的常数，且db，求： (1) 利润最大时的产量及最大利润； (2) 需求对价格的弹性； (3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量. 解：解：(1) 利润函数为 22 ()()()()Lpq Cdeq qaqbqcdb qea qc 2 分 两侧同时对q求导，得()2()Ldbea q. 令 L =0 ，得 2() db q ea 3 分 因为2()0Lea ，所以当 2() db q ea 时，利润最大，且 4 分 2 max () L 4() db c ea . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 15 页 (2) 因为 1 q e ， 所以需求对价格的弹性为 p q q 7 分 1 () deqdeq qeeq . 8 分 (3) 由1，得 2 d q e . 9 分 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 假设: (1) 函数)(xfy ( x0) 满足条件 0)0(f 和1)(0 x exf； (2) 平行于y轴的动直线 MN 与曲线)(xfy 和1 x ey 分别交于点 1 P和 2 P； (3) 曲线)(xfy 、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 21P P的长度. 求函数)(xfy 的表达式. 解：解：由题设可得示意图如下： 由图可知 0 ( )1( ) x x f x dxef x 3 分 两端求导，得( )( ) x f xef x 4 分 即( )( ) x f xf xe. 解此一阶线性方程，得 1 ( )() 2 xxxxx f xee e dxCeCe , 7 分 因(0)0f，故有 1 C 2 ，因此所求函数为 1 ( )() 2 xx f xee 8 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 假设函数)(xf在0,1上连续，在1 , 0内二阶可导,过点(0,(0)Af与(1,(1)Bf的直 线与曲线( )yf x相交于点( ,( )C c f c，其中01c. 证明：在1 , 0内至少存在一点， 使0)( f. 证一：证一：因为( )f x在0,c上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 1 (0, ),c使 1 ( )(0) ( ) 0 f cf f c 2 分 由于点 C 在弦 AB 上，故有 ( )(0)(1)(0) (1)(0) 01 0 f cfff ff c ， 1 ( )(1)(0)fff从而. 3 分 同理可证，存在 22 ( ,1),()(1)(0)cfff使, 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 16 页 于是有 12 ()()ff ，从而( )fx 在 12 , 上满足罗尔定理的条件， 所以存在 12 ( ,)(0,1) 使( )0f . 6 分 八、八、(本题满分本题满分 10 分分) k 为何值时，线性方程组 42 4 321 2 321 321 xxx kxkxx kxxx 有唯一解、无解、有无穷多组解? 在 有解情况下，求出其全部解. 解：解： 2 114114 110228 1124(1)(4) 00(4) 2 kk kkk kk k k A， 1 分 当1k 和 4 时，有 2 2 2 100 1141 224 014010 21 22 001001 11 kk kk kkk k kk kk A， 2 分 这时方程组有唯一解： 22 123 2242 , 111 kkkkk xxx kkk . 4 分 当1k 时，有( )2( )3RRAA，方程组无解. 6 分 当4k 时，有 11441030 01140114 00000000 A，( )( )23RRnAA，故方 程组有无穷多组解.这时，得同解方程组 13 23 3, 4 xx xx . 8 分 令 3 xc，得方程组的全部解： 3 4 c xc c 或 03 41 01 xc .其中c为任意常数.10 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 设二次型 222 1231231 22 31 3 ( ,)222f x x xxxxx xx xx x经正交变换 X = P Y 化成 f 2 3 2 2 2yy ，其中 T xxxX 321 ,和 T yyyY 321 ,是三维列向量，P 是 3 阶正交 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 17 页 矩阵. 试求常数, . 解：解：变换前后二次型的矩阵分别为 11000 1,010 11002 AB ， 2 分 二次型可以写成 T fX AX和 T fY BY， 3 分 由于 T P APB，P为正交矩阵，故 1 P APB ， 5 分 因此| |EAEB，即 1100 1010 11002 ， 6 分 亦即 3222232 3(2)()32， 8 分 故其解0为所求常数. 9 分 十、十、(本题满分本题满分 8 分分) 设随机变量 X 和 Y 同分布,X 的概率密度为( )f x 他其0 20 8 3 2 xx , (1) 已知事件 A=Xa和 B=Ya独立，且 P(AB)= 3 4 ,求常数a； (2) 求 2 1 X 的数学期望. 解：解：(1) 由条件知( )( )()( ) ( )P AP BP ABP A P B；， 1 分 2 3 ()( )( )()2 ( ) ( ) 4 P A BP AP BP ABP AP A， 3 分 由此得 1 ( ) 2 P A .又由条件知 2 2 233 3311 ( )(8) 8882 aa a P Xaf x dxx dxxa ， 于是有 3 4a . 6 分 (2) 2 2 2 222 0 0 113133 ( ) 884 Ef x dxx dxx Xxx . 8 分 十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分) 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为t的泊松分 布. (1) 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； (2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率 Q . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 18 页 解：解：(1) 由于T是非负随机变量，可见当0t 时，( )0F tP Tt， 1 分 设0t ，则事件Tt与 ( )0N t 等价. 因此，当0t 时，有( ) 1 1 ( )0 1 t F tP TtP TtN te ， 4 分 于是，T服从参数为的指数分布. (2) 16|8QP TT 5 分 16,816 88 P TTP T P TP T 7 分 16 8 8 e e e . 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 19 页 数数 学（试卷学（试卷五五） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题，每小题小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) lim1 21 2(1)2 /2 n nn . (2) 已知 2 32 ,arcsin, 32 x yffxx x 则 0x dy dx 3 2 . (3) xx dx 1)2( 2arctan 1 xc. (4) 【 同数学四 第一、 （4）题 】 (5) 设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品， 则另一件也是不合格品的概率为 1 5 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，