与反比例函数有关的面积问题解析.doc

与反比例函数有关的面积问题解析如图1,过双曲线上的任一点,作轴（或轴）的垂线,则.(图2)(图1)如图2,过双曲线上的任一点,作轴、轴的垂线,则.(图3)以上是反比例函数图象的一个重要性质,在解比例函数图象有关的面积问题时,有广泛的应用.利用以上结论我们可以解决以下一系列的问题.如图3,在平面直角坐标系中,点A、B在反比例函数的图象上,ACy轴,BDx轴,设AOC和BOD的面积分别是S1、S2,比较它们的大小,可得（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）大小关系不能确定解析 ,故应选（B）.(图4)如图4,点、是双曲线上的点,过点A作AC垂直于轴,垂足为C,过点B作BD垂直于轴,垂足为D,设AOE和四边形ECDB的面积分别是S1、S2,比较它们的大小,可得（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）大小关系不能确定解析 显然即S1S2(图5)故应选（B）.如图5,函数与的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直于轴,垂足为C,则的面积为 .解析 任意正比例函数与反比例函数图象的两个交点A、B一定关于原点（中心）对称A、O、B三点在一条直线上且OAOB点A与点B的横、纵坐标互为相反数.所以点A、点B横（纵）坐标绝对值相等因此如图6-1,函数与的图象交于A、B两点,AC、BD分别垂直y轴（亦可向x轴作垂线图6-2）于点C、D,则四边形ACBD的面积为 . (图6-1)(图6-2)解析 .如图7,函数与的图象交于A、B两点,AC、BD分别垂直x与y轴于点C、D,连结CD,则四边形ACBD的面积为 . 解析 .(图7)(图8)如图8,函数与的图象交于A、B两点,AC、BF分别垂直x于点C、F, AE、BD分别垂直y于点E、D, 连结CD,则六边形AEFBDC的面积为 . 解析 .(图9)如图9,已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点,且点A的横坐标是1,点B的纵坐标是1 , 求（1）一次函数的解析式； （2）AOB的面积.解析 首先利用反比例函数解析式,将点A、B坐标求完整.其次利用待定系数法求出一次函数的解析式再求出直线AB与x轴交点C的坐标, .(注明：这里出现的与指的是点A、点B的纵坐标)如图10-1,函数与的图象交于A、B两点,则的面积为 .(图10-1)(图10-2)解析 第一种方法：如图10-1,首先要根据条件将A、B、C三点坐标求出,再将的面积看成与的面积之差.即.第二种方法：如图10-2,过点A作ACx轴于点C,过点B作BDx轴于点D,由前面已证的反比例函数的性质得(注明：这里出现的与指的是点C、点D的横坐标)如图11-1,双曲线y经过矩形BDCO的边CD的中点A,交BD于点M,四边形OMDA面积为2,则k的值为（ ） (A)1 (B)2 (C) 4 (D) 6(图11-1)(图11-2)解析 如图11-2,连OD,设,则点在反比例函数 的图象上即点在反比例函数 的图象上点的纵坐标为b点的横坐标为(图5)即, 点为BD的中点与等底同高同理可得反比例函数的图象在第一、三象限内,则.故应选（C）.如图12-1,双曲线y交矩形BDCO边BD于点M,交边CD于点A,且,四边形OMDA面积为2,则k_ _(用含n的代数式表示)(图12-1)(图12-2)解析 如图12-2,连OD,设,则点在反比例函数 的图象上即点在反比例函数 的图象上点的横坐标为na点的纵坐标为即,与同高同理可得反比例函数的图象在第一、三象限内,则.(图13-1)(图13-2)如图13-1,在反比例函数的图像上有点A、B、C、D,它们的横坐标依次为1、2、3、4,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为、,则的值是_ _解析 显然图13-1中的与图13-2中的相等,图13-1中的与图13-2中的相等,所以=点在反比例函数 的图象上又点的横坐标为4点的纵坐标为即所以=反比例函数是每年中考必考的内容,特别是与反比例函数图象有关的面积问题,已成为近年考试园中一支鲜艳的奇葩这类题目主要考查学生灵活运用数学知识,分析和解决问题的能力现就2009年中考试题中有关反比例函数题型, 举例说明例1（2009年钦州市）如图14是反比例函数y在第二象限内的图象,若图中的矩形OABC的面积为2,则k_ _解析 易得,因为反比例函数的图象在第二象限内,yABCDOx(图14)(图15-1)(图15-2) 所以,则.例2(2009年常德市) 如图15-1,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的中心在原点,顶点A、C在反比例函数的图象上,ABy轴,ADx轴,若ABCD的面积为8,则k =( )（A）2 （B）2 （C）4 （D）4解析 显然矩形ABCD的面积是基本矩形（图15-2中阴影部分面积）的4倍,AxyOB(图16)易得,因为反比例函数的图象在第二象限内,所以,则.故应选（A）.例3(2009年济宁市)如图16,和都与轴和轴相切,圆心和圆心都在反比例函数的 图象上,则图中阴影部分的面积等于 解析 设,则有,由点A的坐标可知,圆的半径是1,又由反比例函数的对称性知,两个阴影的面积和为一个圆的面积,因此,图16中两个阴影面积的和为.例4(2009年河池市) 如图17-1,A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点,BC轴,AC轴,ABC的面积记为,则（ ）（A） （B） （C） （D）OBCA(图17-1)(图17-2) 解析 如图17-1,连结OC,显然ABC的面积是基本三角形（图中阴影部分面积）的4倍,易得OACBxy(图18)故应选（B）.例5(2009年青海省)如图18,函数与的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直于轴,垂足为C,则的面积为 解析 显然点A与点B关于O点对称, 所以点A、点B横（纵）坐标绝对值相等,因此例6(2009年青海省)如图19-1,已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C若OBC的面积为3,则k_(图19-1)ABCDyxOABCDEyxO(图19-2)解析 如图19-2,过点D作于E,易证,所以由反比例函数的性质知设例7(2009年宁德市)如图20,已知点A、B在双曲线（x0）上,ACx轴于点C,BDy轴于点D,AC与BD交于点P,P是AC的中点,yxOABPCD(图20)若ABP的面积为3,则k 解析 设,则点P的纵坐标为BDy点B的纵坐标与点P的纵坐标相同即 ,P为BD的中点连AO,例8(2009年莆田市)如图21,在轴的正半轴上依次截取,过点分别作轴的垂线与反比例函数yxOP1P2P3P4P5A1A2A3A4A5(图21)的图象相交于点,得直角三角形并设其面积分别为则的值为 解析 设 ,则点的横坐标为a,点的横坐标为5a点在反比例函数 的图象上点的纵坐标为例9(2009年成都市) 如图16-1,正方形OABC的面积是4,点B在反比例函数的图象上若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点,过点R分别作x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积,记剩余部分的面积为S则当S=m(m为常数,且0m4)时,点R的坐标是_(用含m的代数式表示)(图22-1)(图22-2)解析 显然,因为反比例函数的图象在第二象限内,所以,则. 设,则有,即,设,则如图16-2,当时,设AB与RN交于点Q,则有由题意,得(图22-3)如图16-3,当时, 设BC与RM交于点Q,则有由题意,得点R的坐标是例10(2009年济南市)已知：如图23，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）