2016年考研数学二试题及解答.pdf

2016 年全国硕士研究生入学统一考试 数 学（二）试 题 及 解 答 本文档仅供学习交流之用. 试题来源于网络, 解答由孟庆鑫提供, 个人观点仅供参考. 一、选择题：18 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个 选项是符合题目要求的. 1. 设 a1= x (cosx 1), a2= xln(1 + 3 x), a 3= 3 x + 1 1, 当 x 0+ 时, 以 上三个无穷小量按照从低到高阶的排序是 B (A)a1, a2, a3.(B)a2, a3, a1.(C)a2, a1, a3.(D)a3, a2, a1. 2. 已知函数 f(x) = 2(x 1),x 1, lnx,x 1, 则 f(x) 的一个原函数是 D (A)F(x) = (x 1)2,x 1, x(lnx 1),x 1. (B)F(x) = (x 1)2,x 1, x(lnx + 1) 1,x 1. (C)F(x) = (x 1)2,x 1, x(lnx + 1) + 1,x 1. (D)F(x) = (x 1)2,x 1, x(lnx 1) + 1,x 1. 3. 反常积分1 0 1 x2 e 1 xdx, 2 + 0 1 x2 e 1 xdx 的敛散性为 B (A)1收敛,2收敛.(B)1收敛,2发散. (C)1发散,2收敛.(D)1发散,2发散. 4. 设函数 f(x) 在 (, +) 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则 B (A)函数 f(x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f(x) 有 2 个拐点. (B)函数 f(x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f(x) 有 3 个拐点. (C)函数 f(x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f(x) 有 1 个拐点. (D)函数 f(x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f(x) 有 2 个拐点. Ox y 5. 设函数 fi(x) (i = 1, 2) 具有二阶连续导数, 且 f i (x0) 1.(B)a 2. (C)2 a 0), 求 f (x) 并求 f(x) 的最小值. 解 f(x) = 1 0 | t2 x2| dt = 4 3x 3 x2+ 1 3, 0 x 1, x2 1 3, x 1, 于是 f (x) = 4x2 2x,0 x 0),(1) 对 (1) 式微分得: (2xdx + 2y dy)z + (x2+ y2)dz + 1 z dz + 2(dx + dy) = 0, 整理得: 2(xz + 1)dx + 2(yz + 1)dy + ( x2+ y2+ 1 z ) dz = 0,(2) 求 z 的极值, 就令 dz = 0, 代入 (2) 式得: (xz + 1)dx + (yz + 1)dy = 0, 系数矩阵降秩, 即 xz + 1 = 0, yz + 1 = 0, 与 (1) 式联立可解得 (x, y, z) = (1, 1, 1), 下面判断 z(1, 1) = 1 是极大值还是极小值, 有两种方法. : 方 : 法:一: 对 (2) 式再微分, 得: 2(xdz + z dx)dx + 2(xz + 1)d2x + 2(y dz + z dy)dy + 2(yz + 1)d2y +d ( x2+ y2+ 1 z ) dz + ( x2+ y2+ 1 z ) d2z = 0. 注意到 x, y 是自变量, 于是 d2x = 0, d2y = 0, 再代入 (x, y, z) = (1, 1, 1), dz = 0, 即有 2dx2+ 2dy2+ 3d2z = 0, 于是 d2z ? ? ?(1, 1, 1)= 2 3 (dx2+ dy2) 0, 即 z(1, 1) = 1 是极大值. : 方 : 法:二: 若 z(1, 1) = 1 取极值, 则在 (1) 式确定的曲面上, (1, 1, 1) 的去心邻 域内, z 必从单侧趋近于 1. 令 z = 1 + , 代入 (1) 式, 整理得: (x + 1)2+ (y + 1)2+ (x2+ y2) + ln(1 + ) = 0.(3) 从 (3) 式看出, 必有 0 f(x) 在区间 ( 0, 3 2 ) 内有唯一零点. 22.（本题满分 11 分） 设矩阵 A = 111 a 10a a + 11a + 1 , = 0 1 2a 2 , 且方程组 Ax = 无解. ( I ) 求 a 的值; (II) 求方程组 ATAx = AT 的通解. ( I ) 解 (A | ) = 111 a 10a a + 11a + 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2a 2 10a 011 2a 00a(2 a) ? ? ? ? ? ? ? 1 1 a 2 , 方程组 Ax = 无解 a = 0. (II) 解 (ATA | AT) = 322 222 222 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 100 011 000 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 0 , 方程组 ATAx = AT 的通解为 x = k 0 1 1 + 1 2 0 , 其中 k 为任意常数. 23.（本题满分 11 分） 已知矩阵 A = 011 230 000 . ( I ) 求 A99; (II) 设 3 阶矩阵 B = (1, 2, 3) 满足 B2= BA, 记 B100= (1, 2, 3), 将 1, 2, 3分别表示为 1, 2, 3的线性组合. ( I ) 解 | E A | = ( + 1)( + 2), 1= 2 对应的特征向量为 (1, 2, 0)T, 2= 1 对应的特征向量为 (1, 1, 0)T, 3= 0 对应的特征向量为 (3, 2, 2)T. 令 P = 113 212 002 , 则有 P 1AP = 200 010 000 令 =, 数学（二）试题及解答 第 5 页（共 6 页） A99= (PP 1)99 = P99P 1 = 2 + 2991 2992 298 2 + 21001 21002 299