1991考研数学试题全及答案.pdf

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 1 页 1991 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 设 ty tx cos 1 2 ，则 2 2 dx yd 3 4 cossin t ttt . (2) 由方程 2 222 zyxxyz 所确定的函数( , )zz x y在点(1,0, 1)处的全微分 2dzdxdy . (3) 已知直线 L1和 L2的方程 1 123 : 101 xyz L 和 2 21 : 211 xyz L ， 则过 L1且平 行于 L2的平面方程是 x -3 yz + 2 = 0 . (4) 已知当0x 时， 2 1/2 (1)1 x a与cos1x是等阶无穷小，则常数a 3/2. (5) 设 4 阶方阵 A = 1100 2100 0012 0025 , 则 A 的逆矩阵 1 A 1200 2500 001/32/3 001/31/3 . 二、选择题：二、选择题：(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 曲线 2 2 1 1 x x e e y （D） (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数 f (x) 满足关系式2ln) 2 ()( 2 0 x dt t fxf，则 f (x) 等于 (B) （A）2ln x e （B）2ln 2x e （C）2ln x e （D）2ln 2 x e. (3) 已知级数 5, 2) 1( 1 12 1 1 n nn n n aa， 则级数 1n n a等于 (C) （A） 3 （B） 7 （C） 8 （D） 9 (4) 设 D 是 XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域， D1是 D 在第一象限的 部分，则(cos sin ) D xyxy dxdy 等于 （A） 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 2 页 (A) 1 2cos sin D xydxdy (B) 1 2 D xydxdy (C) 1 4(cos sin ) D xyxy dxdy (D) 0. (5) 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC = E， 其中 E 是 n 阶单位阵，则必有 (D) (A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E 三、三、(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 求 0 lim(cos)x x x 解解 原式 ln os 0 lim cx x x e 0 limln os x cx x e 2 分 0 sin1 lim cos2 x x xx e 4 分 2 e . 5 分 (2) 设n 是曲面632 222 zyx在点 P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数 z yx u 22 86 在点 P 处沿方向n 的方向导数 解：解：462nijk . 1 分 22 66 14 68P P x zx x y u ， 22 88 14 68 P P y zx y y u , 22 2 68 14 P P u z xy z . 3 分 从而cos( , )cos( , )cos( , ) PP uuuu n in jn k xyzn 6283211 14 71414141414 . 5 分 (3) 求 dvzyx)( 22 ，其中是由曲线 0 2 2 x zy 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 4z 所围成的立体 解解 2 284 222 00 2 ()() r xyz dvdrdrrz dz 2 分 8 35 0 5 2(48) 8 rrr dr 4 分 256 3 . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 3 页 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) 在过点 O (0,0)和 A(0 ,)的曲线族)0(sinaxay中，求一条曲线 L，使沿该曲 线从 O 到 A 的积分 L dyyxdxy)2()1 ( 3 的值最小. 解：解： 33 0 ( )1sin(2sin ) cos I aaxxax ax dx , , 2 分 3 4 4 3 aa . 4 分 令 2 ( )4(1)0I aa,得1,(1)aa 舍去 ，且1a 是( )I a在+ )(0，内的唯一驻点 5 分 由于(1)80 I ,( )I a在1a 处取到最小值.故所求曲线是sin (0)yxx 6分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 将函数( )2( 11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 1 2 1 n n 的和. 解：解：由于( )2( 11)f xxx 是偶函数，所以 1 0 0 2(2)5ax dx ， 1 分 11 22 00 2(cos1) 2(2)cos()2cos(),1,2, n n axn x dxxn x dxn n 3 分 0,1,2, n bn 4 分 因所给函数在 1,1满足收敛定理的条件，故 2222 10 52(cos1)54cos(21) 2cos() 22(21) nk nkx xn x nk ， 1,1x 5 分 令0x ，有 22 0 541 2 2(21) k k ，即 2 2 0 1 (21)8 k k 于是 2 2222 0001 11111 (21)(2 )84 kkkn nkkn ，因此 22 2 1 14 386 n n .8 分 六、六、(本题满分本题满分 6 分分) 设函数 f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且 1 2 3 3( )(0)f x dxf ，证明在(0,1)内存在一点 c，使( )0fc. 解：解：由积分中值定理知,在 2 ,1 3 上存在一点 1 c，使 2 3 1 1 1 ( )( ) 3 f x dxf c ， 3 分 从而有 1 ( )(0)f cf, 4 分 故( )f x在区间 1 0, c上满足罗尔定理的条件，因此在 1 (0,)c内存在一点c，使得 (c)0. f 1 (0, )(0,1)cc. 7 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 4 页 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 已知)3 , 2 , 0 , 1 ( 1 ，)5 , 3 , 1 , 1 ( 2 ，) 1 , 2, 1, 1 ( 3 a，)8, 4 , 2 , 1 ( 4 a， )5,3, 1 , 1 (b， 问： (1) , a b为何值时，不能表示成 4321 ,的线性组合？ (2) , a b为何值时，有 1234 , 的唯一线性表示式？并写出表示式. 解：解：设 11223344, xxxx则 1234 234 1234 1234 1 21 23(2)43 35(3)5 xxxx xxx xxaxxb xxxax 2 分 因 11111 01121 23243 35135 ab a 11111 01121 0110 00010 ab a 4 分 故当1,0ab 时，不能表示成 4321 ,aaaa的线性组合. 5 分 当1a 时，表示式唯一，且 1234 21 0 111 babb aaaa aaa . 8 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1. 解解一一：因A是正定阵，故存在正交阵Q，使 1 21 n Q AQ . 1 分 其中0 (1,2, ) i in是A的特征值. 故 111 ()QA E QQ AQ Q Q 11 22 1 1 1 nn E . 4 分 在上式两端取行列式得 1 1 (1) | |()| | | n i i QAEQAE ，从而| 1AE.6 分 解二解二：因A是正定阵，故A的特征值0 (1,2, ) i in 1 分 于是AE的特征值1 1 (1,2, ) i in 4分 因此A+E的行列式 12 |1111 n AE 6分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 5 页 九、九、(本题满分本题满分 6 分分) 在上半平面求一条向上凹的曲线， 其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段 PQ 长度的倒数（Q 是法线与 x 轴的交点） ，且曲线在点(1,1)处的切线与 X 轴平行. 解：解：曲线( )yy x在点( , )x y处的法线方程是 1 (),( 0)YyXxy y , 1 分 它与x轴的交点是(,0)xyy，从而该点到x轴之间的法线段 PQ 的长度是 1 222 2 ()(1)yyyyy （ 0y 也满足上式） 2 分 故由题意得微分方程 31 22 22 1 (1 )(1 ) y yyy ，即 2 1yyy 3 分 且当1x 时，1,0yy. 4 分 令 yp，则 dp yp dy ，代入方程得 2 1 dp ypp dy ，或 2 1 pdy dp py 积分并注意到1y 时，0p ，使得 2 1yp 6 分 代入 dy p dx ，得 2 2 1, 1 dy yydx y 积分上式，并注意到1x 时1y ，得 2 ln(1)(1)yyx. 因此所求曲线方程为 2(1)1(1) 1 1() 2 xxx yyeyee 即. 8 分 十、十、填空题填空题 (本题满分本题满分 6 分分,每小题每小题 3 分分) (1) 若随机变量 X 服从均值为 2，方差为 2 的正态分布，且240.3PX，则 0P X 0.2 . (2) 随机地向半圆 2 02(0)yaxxa内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 的概率为 11 2 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设二维随机变量( X，Y )的概率密度为 它其0 0, 02 ),( )2( yxe yxf yx ， 求 Z=X+2Y 的分布函数. 解：解： 2 ( )2( , ) Z xy z F zP ZzP XYzf x y dxdy 2 分 当0z 时，00P Z . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 6 页 当0z 时， (2 ) 2 00 2 z x z xy P Zzdxedy 4 分 2 2 000 2()1 z x zz xyxzzz e dxedyeedxeze . 5 分 所以2ZXY的分布函数 0,0 ( ) 1,0 Z zz z Fz ezez . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 7 页 数数 学（试卷学（试卷二二） 一、一、 【 同数学一 第一题 】 二、二、 【 同数学一 第二题 】 三、三、 【 同数学一 第三题 】 四、四、(本题满分本题满分 18 分分,每小题每小题 6 分分) (1) 求 42 3 (1)2 dx xxx . 解：解： 4242 33 (1)2(1)(1)1 dxdx xxxxx 令1secx ，则sectandxd . 2 分 故原式 2 4 3 sectan sectan d 3 分 2 2 3 23 3 (1 sin)cos 38 d . 6 分 (2) 计算 (1) s ydzdxzdxdy ，其中 S 是圆柱面4 22 yx被平面2xz和 0z 所截出部分的外侧 解一：解一：设 1,2,1 ,DS S S 如图所示， 记 12 12 (1),(1) SS Iydzdxzdxdy Iydzdxzdxdy , 12 3 (1) S SS Iydzdxzdxdy ,则 312 IIII. 1 分 而 11 1 (1) SS Iydzdxzdxdy 11 (1)(21)12 SD zdxdyxdxdy ， 3 分 221 2 (1)4 SSD Iydzdxzdxdydxdy . 4 分 又由奥高公式有 3 ( 1 1)0Idv . 5 分 故 312 8IIII. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 8 页 解二：解二：设 2 ,DS如上图所示，则 2 (1)0 SS Iydzdxzdxdyydzdx 1 分 2 2 2 4 D x dzdx 3 分 22 2 20 24 x dxx dx 4 分 2 2 2 2(2) 4xx dx 5 分 2 2 2 448x dx . . 6 分 (3) 【 同数学一 第四题 】 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第五题 】 六、六、(本题满分本题满分 7 分分)【 同数学一 第六题 】 七、七、(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第七题 】 八、八、(本题满分本题满分 6 分分)【 同数学一 第八题 】 九、九、(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 9 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题：一、填空题：(本题本题满分满分 15 分分，每小题每小题 3 分分) (1) 设)31ln( x y ，则dy 3ln3 13 x x dx . (2) 曲线 2 x ey 的向上凸区间是 22 (,) 22 . (3) 2 1 lnxdx x 1 (4) 质点以速度)sin( 2 tt米 / 秒作直线运动， 则从时刻 1 t 2 到 2 t秒内质点所经过 的路程等于 1 / 2 米. (5) 1 1 0 1 lim x x x e xe = -1 二、选择题：二、选择题：(本题满分本题满分 15 分分，每小题每小题 3 分分) (1) 若baxxy 2 和 3 12xyy在(1, 1)点相切，其中, a b是常数，则 (D) (A) 0,2ab (B) 1,3ab (C) 3,1ab (D) 1,1ab (2) 设函数 212 10 )( 2 xx xx xf ，记 0 ( )() ,02 x F xf t dtx ，则 （B） (A) ( )F x 3 2 01 3 1 212 32 x x x xx (B) ( )F x 3 2 01 3 7 212 62 x x x xx (C) ( )F x 3 32 01 3 212 32 x x xx xx （D）( )F x 3 2 01 3 212 2 x x x xx (3) 设函数( )f x在(,)内有定义，0 0 x是函数( )f x的极大点， 则 (B) (A) 0 x必是( )f x的驻点 (B) 0 x必是()fx的极小点 (C) 0 x必是( )f x的极小点 (D) 对一切x，都有)()( 0 xfxf. (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】 (5) 如图，x轴上有一线密度为常数，长度为l的细杆，若质量为m的质点到杆右端的 距离为a，引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为 (A) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 10 页 (A) 0 2 1( ) km dx ax (B) 1 2 0( ) km dx ax (C) 0 1 2 2 2 () km dx ax (D) 1 2 2 0 2 () km dx ax 三、三、(本题满分本题满分 25 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 设 tty ttx sin cos ， 求 2 2 dx yd 解：解： sincos cossin dyttt dxttt ， 2 分 2 2 sincos cossin t d ytttdt dxtttdx 4 分 2 3 2 (cossin ) t ttt . 5 分 (2) 计算 4 1 )1 (xx dx 解：解：令tx，则 2, 2xt dxtdt，于是有 原式 2 1 2 (1) dt tt 2 分 2 1 11 2 1 dt tt 3 分 2 1 2lnln(1)tt 4 分 4 2ln 3 . 5 分 (3) 求 2 0 sin lim (1) x x xx x e 解：解：原式 3 0 sin lim x xx x 2 分 2 0 1 cos lim 3 x x x 4 分 2 1 2 2 0 1 lim 36 x x x . 5 分 (4) 求xdxx 2 sin 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 11 页 解解：原式 1 cos2 2 x xdx 2 分 11 sin2 24 xdxxdx 3 分 2 11 sinsin2 444 x xxxdx 4 分 2 11 sin2cos2 448 x xxxC. 5 分 (5) 求微分方程 x xeyxy 2 满足(1)1y的特解 解：解： ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC 1 分 11 dxdx x xx ee edxC 2 分 1 (1) x xeC x 4 分 当1,1xy代入，得1C ，所以特解 11 x x ye xx . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 9 分分) 利用导数证明：当1x 时，有不等式 x x x x 1ln )1ln( . 证一：证一：令( )(1)ln(1)lnf xxxxx， 2 分 则 1 ( )ln(1)0fx x . 5 分 所以在1,)中( )f x为增函数. 6 分 又(1)2ln20f，所以在1,)中，有( )0f x .即(1)ln(1)ln0xxxx， 故当1x 时，有 ln(1) ln1 xx xx . 9 分 五、五、(本题满分本题满分 9 分分) 求微分方程xxyycos 的通解. 解：解： 原方程所对应齐次方程的通解为 12 cossinCx Cx. 2 分 设非齐次方程yyx 的特解为 1 yAxB.代入方程得0,1BA，所以 1 yx. 又设非齐次方程cosyyx 的特解为 2 cossinyExxDxx, 则代入方程得 1 0, 2 ED，所以 2 1 sin 2 yxx. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 12 页 因此原方程的通解为 12 cossinsin 2 x yCxCxxx. 9 分 六、六、(本题满分本题满分 6 分分) 曲线 y=(x1)(x2)和 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积 解：解：在1,2上取积分元，得2|dVx y dx， 4 分 于是有 2 1 2|Vx y dx 6 分 2 1 2(1)(2)x xxdx 7 分 2 . 9 分 七七、(本题满分本题满分 6 分分) 如图，A 和 D 分别是曲线 x ey 和 x ey 2 上的点， AB 和 DC 均垂直 x 轴，且1, 1:2:ABDCAB， 求点 B 和 C 的坐标，使梯形 ABCD 的面积最大. 解：解： 设 B，C 的横坐标为 1, x x, 则有 1 2 2 xx ee， 由此可得 1 ln22xx. 2 分 又 1 3ln2(0)BCxxxx . 故梯形 ABCD 的面积 2 3 (3ln2) 2 x Sxe， 5 分 令 2 3 (3 62ln2)0 2 x Sxe ，得驻点 11 ln2 23 x ， 7 分 由于当 11 ln2 23 x 时，0S ；当 11 ln2 23 x 时，0S. 所以 11 ln2 23 x 是极大值点，又驻点唯一. 故 11 ln2 23 x 是最大值点. 8 分 即当 11 ln2 23 x ， 1 1 ln2 1 3 x 时，梯形 ABCD 的面积最大. 9 分 八、八、 (本题满分本题满分 6 分分) 设函数( )f x在),(内满足( )()sinf xf xx，且( )f xx，), 0x， 计算 3 )(dxxf. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 13 页 解一：解一： 333 ( ) ()sin ()f x dxf xx dxf xdx 1 分 2 0 ( ) tx f t dt 令 3 分 2 0 ( )( )f t dtf t dt 2 0 ()si)n(ff t dtt dtt 6 分 2 2 ( 2 )2f tdt 2 0 2( ) 2 xt f x dx 令 8 分 2 2. 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 14 页 数数 学（试卷四）学（试卷四） 一、填空题：一、填空题：(本题本题满分满分 15 分分，每小题每小题 3 分分) (1) 设 sin xy ze，则)(cos sin xdyydxxyedz xy . (2) 设曲线 3 ( )f xxax与cbxxg 2 )(都通过点( 1,0)，且在点( 1,0)有公共切线， 则a -1 ，b -1 ，c 1 . (3) 设 x xexf)(，则)( )( xf n 在点x (1)n处取极小值 )1( n e. (4) 设 A 和 B 为可逆矩阵， 0 0 B A X为分块矩阵，则 0 0 1 1 1 A B X. (5) 设随机变量 X 的分布函数为)xX(P)x(F 3 31 11 1 1 8 . 0 4 . 0 0 x x x x 若 若 若 若 . 则 X 的概率分布为 113 0.40.40.2 二、选择题：二、选择题：(本题满分本题满分 15 分分，每小题每小题 3 分分) (1) 下列各式中正确的是 （A） (A) 1) 1 1 (lim 0 x x x (B) e x x x ) 1 1 (lim 0 (C) e x x x ) 1 1 (lim (D) e x x x ) 1 1 (lim (2) 设nan10 (n=1,2, )，则下列级数中肯定收敛的是 （D） (A) 1n n a (B) 1 ) 1( n n na (C) 1n n a (D) 1 2 ) 1( n n n a (3) 设A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根， 则A的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B) (A) n A 1 (B) A 1 (C) A (D) n A (4) A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是 (D) (A) A与B不相容 (B) A与B相容 (C) P(AB)=P(A)P(B) (D) P(A-B)=P(A) (5) 对于任意两个随机变量 X 和 Y， 若 E(XY)= EXEY ， 则 (B) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 15 页 (A) D(XY)=DXDY (B) D(X+Y)=DX+DY (C) X 和 Y 独 立 (D) X 和 Y 不 独 立 三、三、(本题满分本题满分 5 分分) 求极限 12 0 lim() xxnx x x eee n 其中 n 是给定的自然数. 解：解：原式 2 0 1 limexp ln() xxnx x eee xn 2 0 ln(ln ) explim xxnx x eeen x .1 分 其中大括号内的极限是 0 0 型未定式，因此由罗比塔法则，有 22 2 00 ln()ln2 limlim xxnxxxnx xxnx xx eeeneene xeee 2 分 1 2n n 1 2 n . 4 分 于是 1 2 n e 原式. 5 分 四、四、(本题满分本题满分 5 分分) 计算二重积分 D Iydxdy，其中 D 是由x轴，y轴与曲 1 b y a x所围成的 区域；0,0ab. 解：解：积分区域 D 如图中阴影部分所示. 由1 xy ab ，得 2 1 x yb a . 因此 2 1 00 x ab a Idxydy 2 分 2 4 0 (1) 2 a b x dx a . 3 分 令1tx a ，有 2 1xat，2 (1)dxat dt . 则 1 245 0 ()Iabttdt 1 562 2 0 5630 ttab ab . 5 分 五、五、(本题满分本题满分 5 分分) 求微分方程 22 yx dx dy xy满足条件2 x e ye 的特解. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 16 页 解：解：原方程可以化为 2 22 1 y dyxyx y dxxy x ，可见是齐次微分方程. 1 分 设, dydu yuxux dxdx 有，将其代入上式，得 2 1duu ux dxu ， 2 分 即 1du x dxu ， dudx u dxx , 2 1 ln| 2 uxC. 3 分 将 y u x 代入上式，得通解 22 2(ln| |)yxxC， 4 分 由条件|2 , x e ye 求得1C ，于是，所求特解为 22 2(ln| | 1)yxx. 5 分 六、六、(本题满分本题满分 6 分分) 假设曲线) 10(1: 2 1 xxyL、x 轴和 y 轴所围区域被 曲线 2 2 :axyL分为面积相等的两部分，其a是大于零的常数， 试确定的a值. 解：解： 由 2 1(01)yxx 与 2 yax联立， 可解得故曲线 12 LL与 的交点P的坐标为 1 (,) 11 a aa . 1 分 于是 1 1 1 223 1 1 0 0 12 (1)(1) 33 1 a a Sxax dyxa x a . 3 分 1 2 112 0 2 2(1) 3 SSSx dx ， 4 分 从而 1 1 3 S .因此 21 33 1 a ， 5 分 因此于是3a . 6 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售， 售价分别为 1 P和 2 P， 销量分别为 1 q和 2 q， 需求函数分别为 11 2 . 024Pq和 22 05. 010Pq，总成本函数为)(4035 21 qqc， 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少? 解：解：总收入函数为 22 1 1221122 240.2100.05Rpqp qpppp 2 分 总利润函数为 1 12212 () 35 40()LR Cpqp qqq 22 1122 320.2120.051395pppp 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 17 页 由极值的必要条件，得方程组 1 1 2 2 320.40 120.10 L p p L p p ， 其解为 12 80,120pp. 6 分 由问题的实际意义可知，当 12 80,120pp时，厂家所获得的总利润最大， 其最大利润为 12 80,120 605 pp L . 8 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 试证明函数 1 ( )(1)xf x x 在区间), 0( 内单调增加. 证证：由 1 ( )exp ln(1)f xx x ，有 111 ( )(1) ln(1) 1 x fx xxx . 2 分 记 11 ( )ln(1) 1 g x xx ，对于任意(0,)x，有 2 1 ( )0 (1) g x xx ， 故函数( )g x在(0,)上单调减少. 3 分 由于 11 limln(1)0 1 x xx ， 4 分 可见对任意(0,)x，有 11 ( )ln(1)0 1 g x xx ， 5 分 从而，( )0fx，(0,)x.于是，函数( )f x在(0,)上单调增加. 6 分 九、九、(本题满分本题满分 7 分分) 设 1 1 1 1 ， 2 1 1 1 ， 3 1 1 1 ， 2 0 ， 问取何值时， （1）可由 123 , 线性表示，且表达式唯一？ （2）可由 123 , 线性表示，但表达式不唯一？ （3）不能由 123 , 线性表示？ 解：解：设 112233 xxx，得线性方程组 1 2 2 3 1110 1 11 11 1 x x x ， 其系数行列式 2 111 |1 11(3) 11 1 A . 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 18 页 （1）若03 且，则方程组有唯一解，可由 3, 21, aaa唯一地线性表示. 4 分 （2）若0，则方程组有无穷多个解，可由 3, 21, aaa线性表示，但表达式不唯一.5 分 （3）若3 ，则方程组的增广矩阵 2110033 180006 12130331203312 112 9112 9112 9 A，可见方程组的系数 矩阵A与增广矩阵A不等秩，故方程组无解，从而不能由 3, 21, aaa线性表示. 7 分 十、十、(本题满分本题满分 6 分分) 考虑二次型 323121 2 3 2 2 2 1 42244xxxxxxxxxf，问取何值时，为正定 二次型？ 解：解：二次型f的矩阵为 11 42 124 A ， 2 分 由于二次型f正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正. 而A的顺序主子式为： 1 10D ， 2 2 1 4 4 D ， 2 3 11 424484(1)(2) 124 D ， 4 分 于是，二次型f正定的充分必要条件是： 23 0,0DD， 由 2 2 40D ，可见22 ；由 3 4(1)(2)0D，可见21 . 于是，二次型f正定，当且仅当21 . 6 分 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 试证明n维列向量组 12 , n 线性无关的充分必要条件是 D = 11121 21222 12 0 TTT n TTT n TTT nnnn 其中 T i 表示列向量 i 的转置，1,2,in. 解：解：记n阶矩阵 12 (,) n A ， 则 12 , n 线性无关的充分必要条件是| 0A， 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 19 页 由于 1 2 12 (,) T T T n T n A A 11121 21222 12 TTT n TTT n TTT nnnn 4 分 故有 2 | | | | TT A AAAAD，因此，| 0A 与0D 等价. 于是0D 是 12 , n 线性无关的充分必要条件. 6 分 十二、十二、(本题满分本题满分 6 分分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、十三、(本题满分本题满分 6 分分) 假设随机变量 X 和 Y 在圆域 222 ryx上服从联合均匀分布， (1) 求 X 和 Y 的相关系数； (2) 问 X 和 Y 是否独立？ 解：解：(1) 因 X 和 Y 的联合密度为 222 22 2 2 1 , ( , ) 0, xyr xyr p x yr 若 若 ， 1 分 故 X 的密度为 22 22 22 1 22 12 ( )(|) rx rx p xdyrxxr rr ， 同理，Y 的密度为 22 2 2 2 ( )(|)p yryyr r 2 分 于是 2 2 2 2 0 r r rEX r xxdx ， 2 2 2 2 0 r r rEY r xydy ， 3 分 222 2 cov(, )0 xyr xy X YEXYdxdy r ， 4 分 因此 X 和 Y 的相关系数0. 5 分 (2) 由于 12 ( , )( )( )p x yp x p y，故 X 和 Y 不独立. 6 分 十四、十四、(本题满分本题满分 5 分分) 设总体 X 的概率密度为 00 0 ),( 1 x xexa xp xa 若 若 ，其中0中是未知参数, 0a是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本 12 , n X XX，求的最大似然估计 量 . 解：解：似然函数为 1 12 11 ( ,)() nn naa nii ii L x xxa exx ；， 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 20 页 由对数似然方程，有 1 ln 0 n a i i Ln x ， 4 分 由此可解得的最大似然估计量 1 = n a i i n x . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 21 页 数数 学（试卷五）学（试卷五） 一、填空题：一、填空题：(本题本题满满分分 15 分分，每小题，每小题 3 分分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】 (4) n阶行列式 000 000 0000 000 000 n ab ab a ab ba 1 ( 1) n nn ab . (5) 91-5 设 A，B 为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3， 则6 . 0)(BAP 二、选择题：二、选择题：(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 设数列的通项为： 为偶数若 为奇数若 n n n n nn xn 1 2 ， 则当n, n x是 （D） （A）无穷大量 （B）无穷小量 (C) 有界变量 （D）无界变量 (3) 设A与B为n阶方阵， 且AB， 则必有 (C) (A) 0A 或0B (B) ABBA (C) 0A或0B (D) 0 BA (4)