第2章部分习题参考解答.pdf

2.1 已知半径为的导体球面上分布着面电荷密度为a 0 cos SS =的电荷，式中 的 0 S 为常数。试计算球面上的总电荷量。 解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿ra=的球面上的积分，即 0 0 0 2 22 2 0000 dcos d cossin d ddsin2 d0 2 SSr SS S S qSS a a = = ? = 2.2 已知半径为、长度为的圆柱体内分布着轴对称的电荷，体电荷密度为aL 0 (0) r ra a =，式中的 0 为常数，试求圆柱体内的总电荷量。 解：圆柱体内的总电荷量等于体电荷密度对半径为a、长度为的圆柱体的体积 分，即 L 23 r 2 000 000 0 22 dd d d C 33 a aL V rLLa qVr rz aa = 2.3 电荷q均匀分布在半径为的导体球面上，当导体球以角速度a绕通过球心 的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。 解：导体球面上的面电荷密度为 2 4 S q a =，设以球心为坐标原点，球面上任意 一点的位置矢量为，当导体球以角速度 r re a= ? 绕通过球心的z轴旋转时，该点 的线速度为sin zr vree aea = ? ，则得导体球面上的面电流密度为 sin A/m 4 SS q Jve a = ? ? 2.4 宽度为5 c的无限薄导电平面置于m0z =平面内，若有10电流沿从原点朝 向点的方向流动，如图题2.4所示。试写出面电流密度的表示式。 A (2cm, 3cm, 0)P O y x z (2cm,3cm,0)P 图题图题 2.4 解：面电流流动方向的单位矢量为 n 22 11 (23)(23) 13 23 xyxy eeee=+= + e+ ? 面电流密度的大小为 2 10 200 A/m 5 10 S J = ? 故得面电流密度矢量表示式为 200 (23) A/m 13 Sxy Jee=+ ? ? 2.5 一个半径为的球形体积内均匀分布着总电荷量为的电荷，当球体以均匀 角速度 aq 绕一条直径旋转时，试计算球内的电流密度。 解：球体内的电荷体密度为 3 4/3 q a =，设以球心为坐标原点，旋转轴为轴， 则球体内任意一点的位置矢量为 z P r re r= ? ，故该点的线速度为 sin zr vree rer = ? 因此，所求的电流密度矢量为 2 33 3 sinsin A/m 4/34 qq Jverer aa = ? ? 2.6 平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为 42 33 00 4 9 U dx = ，阴极板位于 处，阳极板位于0x =xd=处，极间电压为；如果 0 U 0 40 VU=，横 截面，求：(1)至 1 cmd = 2 10 cmS =0x =xd=区域的总电荷量；(2)/2xd=至xd=区域 的总电荷量。 解：(1) 1 42 11 33 10000 0 44 dd4.72 10 C 93 d V qVU dxS xU S d = = (2) 2 42 33 200 3 /2 44 dd1 932 d Vd qVU dxS xU d = 00 1 S 12 9.7 10 C = 2.7 在真空中，点电荷位于点 1 0.3 Cq= (25, 30,15)A；点电荷位于 点。 求：(1)坐标原点处的电场强度；(2)点处的电场强度。 2 0.5 Cq= ( 10,8,12)B(15,20,50)P 解：(1) 源点的位置矢量及其大小分别为 1 253015 c xyz reee=+ ? m， 222 1 25301541.83 cmr=+= 2 10812 c xyz reee= + ? m， 222 2 1081217.55 cmr=+= 而场点O的位置矢量，故坐标原点处的电场强度为 0 O r = ? 12 0102 33 0 0102 6 2 2 3 0 6 2 2 3 1 ()() 4 10.3 10 (253015) 10 4(41.83 10 ) 0.5 10 ( 10812) 10 (17.55 10 ) 92.4777.6794.37 k O xyz xyz xyz qq Errrr rrrr eee eee eee =+ =+ + = ? ? ? ? ? ? V/m (2) 场点的位置矢量为P152050 cm Pxyz reee=+ ? ， 故 ， 1 10503 Pxy rreee= + ? 5 z 8 z2 25123 Pxy rreee=+ ? 则点处的电场强度为 P 6 2 3 0 1 6 2 3 2 10.3 10 (105035) 10 4 0.5 10 (251238) 10 11.940.54912.4 kV/m Pxy P xyz P xyz Eee rr eee rr eee z e =+ + =+ ? ? ? ? ? ? 2.8 点电荷位于点处，另一个点电荷 1 qq= 1( ,0,0)Pa 1 2qq= 位于点 处，试问：空间是否存在的点？ 2( ,0,0) P a 0E = ? 解：在空间任意点处产生的电场为 1 qq=( , , )P x y z 1 222 3/ 0 () 4() xy e xae ye z q E xayz + = + 2 z ? ? ， q在点处产生的电场为( , , )P x y z 2 222 3/ 0 () 2 4() xy e xae ye z q E xayz 2 2q = 2 z + = + ? ? ，故在点 处的电场则为( , , )P x y z 12 EEE=+ ? 。令0E = ? ，则有 222 3/2222 3/2 ()2() ()() xyzxy e xae ye ze xae ye z xayzxayz + = + ? z ? 由 x e ? 、三分量相等，得 y e ? z e ? 222 3/2222 3/2 ()()2()()xaxayzxaxayz+=+ (1) 222 3/2222 3/2 ()2 ()y xayzy xayz+=+ (2) 222 3/2222 3/ ()2 ()z xayzx xayz+=+ 2 (3) 当或时，将式(2)或式(3)代入式(1)，得0y 0z 0a =。所以，当或 时，无解。 0y 0z 当且时，由式(1)，有0y =0z = 33 ()()2()()xa xaxa xa+=+ 解得 ( 32 2)xa= ，但32 2xa= +a不合题意，故仅在( 32 2 ,0,0)aa处 电场强度。 0E = ? 2.9 无限长线电荷通过点且平行于轴，线电荷密度为(6,8,0)z l ，试求点 处的电场强度( , , )P x y zE ? 。 O y x z ( , ,0)P x y (6,8,0) l 6 8 R ? 图题图题 2.9 解： 线电荷沿方向为无限长， 故电场分布与无关。 设点位于的平面上， 如图题2.9所示，线电荷与点的距离矢量为 zzP0z = P(6)(8 xy Re xey)=+ ? ? ， 22 (6)(8)Rxy=+ ? ， 22 (6)(8 (6)(8) xy R e xey R e R xy )+ = + ? ? ? 直接利用无限长直线电荷的电场强度公式 0 2 l Ee = ? ? 得点处的电场强度为 P 22 0 00 (6)(8) V/m 2(6)(8)22 xy lll R e xey R Ee xyRRR + = + ? ? ? ? 2.10 半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷 l ，如图题2.10所示。试求垂 直于半圆环所在平面的轴线上za=处的电场强度(0,0, )Ea ? 。 O y x z (0,0, )Pa a r ? d l l dE ? r ? 图题图题 2.10 解： 如图题2.10所示， 场点的位置矢量为(0,0, )Pa z re a= ? ， 电荷元d d ll la= 的位置矢量cos sin xy re ae a=+ ? ，故 22 (cos sin ( cos )( sin) 2 zxy rre ae ae a aaa a 2 ) =+ =+ = ? 电荷元d d ll la=在轴线上za=处的电场强度为 3 0 0 dd 4( 2 ) (cos sin) d 8 2 l zxy l arr E a eee a = + = ? ? ? 在半圆环上对上式积分，即得 /2 /2 0 0 (0,0, )d (cos sin)d 8 2 (2) V/m 8 2 l zxy lxz EaE eee a ee a = =+ + = ? ? ? 2.11 三根长度均为、 线电荷密度分别为L 1 l 、 2 l 和 3 l 的线电荷构成一个等边三 角形，如图题2.11所示，设 12 22 ll 3 l =，试求三角形中心的电场强度。 O y x 1 E ? 2 E ? 3 E ? 1 l 2 l 3 l d 图题图题 2.11 解：根据题意建立如图题2.11所示的坐标系，三角形中心到各边的距离为 3 tan30 26 L dL= ? 直接利用有限长直线电荷的电场强度公式 12 0 (coscos) 4 l E = 得 11 1 00 3 (cos30cos150 ) 42 ll yy Eee dL = ? ? ? 21 2 00 33 (cos30sin30 )(3) 28 ll xyxy Eeeee LL = += + ? ? ? 31 3 00 33 (cos30sin30 )(3) 28 ll xyxy Eeeee LL = ? ? ? 故等边三角形中心处的电场强度为 11 1 123 00 0 33 (3)(3) 288 3 4 ll yxyxy l y EEEE eeeee LLL e L 1 0 3 l =+ =+ = ? ? ? 2.12 一个很薄的无限大导体带电平面，其上的面电荷密度为 S 。试证明：垂直 于平面的轴上z 0 zz=处的电场强度中，有一半是由平面上半径为 0 3z的圆内的 电荷产生的。 O y x z 0 (0,0,)Pz r ? E ? r d S d r P r ? 图题图题 2.12 证：如图题2.12所示，在导体平面上取面积元d d d Srr=，其上所带的电荷 dd d d SS qSrr=，电荷元d在q 0 zz=处产生的电场强度为 0 22 3/ 00 d d d 4( ) Sz rre ze r E zr 2 r + = + ? ? 则整个导体带电面在轴上处的电场强度为 z 0 zz= 2 0 22 3/2 00 00 00 22 3/222 1/2 0 0000 0 d d 4( ) d 1 2( )2( ) r Szr r r SS zz e ze r Err zr zzrr ee zrzr + = + = + ? ? ? 当r时， 0 2 S z Ee = ? ? ，而 0 3r =z时， 0 3 0 22 1/2 000 0 11 2( )42 z SS zz z Eee zr = = + ? ? E 2.13 自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点处的平面上 ，位于点处的平面上，位于点(0处的平面 上。 试 求 以 下 各 点 的 (0,0, 4) 1 2 3 nC/m S =(0,0,1) 2 2 6 nC/m S =,0,4) 3 2 8 nC/m S = E ? ：(1) 1(2,5, 5) P；(2)； (3)。 2( 2,4,5) P 3( 1, 5,2) P 解：无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得 (1) 312 9 1 0000 1 (368) 10 2222 SSS zzzz Eeeee = += + ? 9 12 1 1056.49 V/m 2 8.85 10 zz ee = = ? (2) 312 9 2 0000 1 (368) 1056.49 V/m 2222 SSS zzzzz Eeeeee =+=+= ? (3) 312 9 3 0000 1 (368) 10960.5 V/m 2222 SSS zzzzz Eeeeee =+=+= ? 2.14 在下列条件下，对给定点求divE ? 的值： (1)，求点 222 (2)(2) V/m xyz Eexyzyex zxye x y=+ ? ? 1(2,3, 1) P处的值。 divE ? (2)，求点 处div的值。 22222 2sinsin(2 )2sin V/m z Eezezez =+ ? ? 2( 2,110 ,P= ? 1)z = E ? (3)， 求 点 处div的值。 2 sincoscoscossin V/m r Eere re r =+ ? ? (1.5,30P r= ?, 50 )= ? E ? 解：(1) 22 div(2)(2)()EExyzyx zxyx xy =+ ? 2y z 2 3( 1)2 210= = (2) 22222 11 (2sin)(sin2 )(2sin)Ezzz z =+ ? 22222 22 11 2sin22cos22sin 4 1 sin 1102 1 cos(2 110 )2 2sin 110 9.06 zz =+ = + + = ?2? (3) 2 2 11 (2 sincos )(sincoscos ) sin Errr rrr =+ ? 1 (sin ) sin r r + 22 2 11 6sincoscos (cossin) sinsin 0.637 rr rr 2 cos =+ = 2.15 半径为的球形体积内充满密度为a( ) r的体电荷。若已知球形体积内外的 电位移分布为 32 54 2 (), 0 , r rr r e rArra De D aAa er r a +)： 22 0 22 2 ba ba ba BJ = ? ? 圆柱内的空腔外(,