考研数学公式大全.pdf

1 考研数学考研数学公式大全公式大全 2 目录目录 高中数学公式高中数学公式3 3 高等数学公式高等数学公式 第一章第一章 函数与极限函数与极限8 8 第二章第二章 导数与微分导数与微分9 9 第三章第三章 微分中值定理和泰勒公式微分中值定理和泰勒公式1111 第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学1313 第五章第五章 微分方程微分方程2020 第第六六章章 无穷级数无穷级数2323 第第七七章章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何3131 第第八八章章 多元函数微分学多元函数微分学3737 第第九九章章 多元函数积分学多元函数积分学4141 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式5252 第二章第二章 矩阵矩阵5353 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组5555 第四章第四章 向量组向量组的线性相关性的线性相关性5858 第五章第五章 相似矩阵和二次型相似矩阵和二次型6161 概率论与数理统计概率论与数理统计 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念6262 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布6666 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布7070 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征7575 第五章第五章 大数定律大数定律与中心极限定理与中心极限定理7878 第六章第六章 数理统计数理统计8080 第七章第七章 参数估计参数估计8484 3 高中高中数学数学公式公式 基本初等函数图像及性质基本初等函数图像及性质 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数 xy，是常数； (2) 指数函数 x ay (a是常数且1, 0aa)，),(x； 1. 当为正整数时，函数的定义域为区间),(x，他们的图形都经过原点，并当1时在原点 处与 X 轴相切。且为奇数时，图形关于原点对称；为偶数时图形关于 Y 轴对称； 2. 当为负整数时。函数的定义域为除去0x的所有实数。 3. 当为正有理数 n m 时，n为偶数时函数的定义域为), 0( ，n为奇数时函数的定义域为),(。 函数的图形均经过原点和) 1 , 1 (.如果nm 图形于x轴相切,如果nm ,图形于y轴相切,且m为偶数时, 还跟y轴对称;nm,均为奇数时,跟原点对称. 4. 当为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数; n为奇数时,定义域为去除0x 以外的一切实数. 4 (3) 对数函数 xy a log (a是常数且1, 0aa)，), 0( x； 1. 当1a时函数为单调增, 当1a时函数为单调减. 2. 不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上 方. 3. 当0x时,1y ,所以他的图形通过 （1 , 0）点. 1. 图形为于y轴的右方.并通过点)0 , 1 ( 2. 当1a时， 在区间) 1 , 0(,y的值为负.图形位于x的下方,在区间), 1 ( , y值为正, 图形位于x轴上方. 在定义域是单调增函数. 3. 当1a在实用中很少用到 5 (4) 三角函数与反三角函数 正弦函数 1 , 1),(sinyxxy， 余弦函数 1 , 1),(cosyxxy， 正切函数 ),(,k 2 ,tan yZkxxy， 余切函数 ),(,k,cotyZkxxy， 反正弦函数 2 , 2 , 1 , 1,sin yxxarcy 反余弦函数 ,0, 1 , 1,cosyxxarcy 反正切函数 ) 2 , 2 (,),(,tan yxxarcy 反余切函数 ),0(,),(,cotyxxarcy 6 三角函数公式三角函数公式 1.1.诱导公式诱导公式： 2.2.和角和角公式公式 3 3. .和差化积公式和差化积公式 sincoscossin)sin( 2 cos 2 sin2sinsin sinsincoscos)cos( 2 sin 2 cos2sinsin tantan 1 tantan )tan( 2 cos 2 cos2coscos cotcot 1cotcot )cot( 2 sin 2 sin2coscos 函数 角 A sin cos tan cot - -sin cos -tan -cot 90- cos sin cot tan 90+ cos -sin -cot -tan 180- sin -cos -tan -cot 180+ -sin -cos tan cot 270- -cos -sin cot tan 270+ -cos sin -cot -tan 360- -sin cos -tan -cot 360+ sin cos tan cot 7 4 4. .积化和差公式积化和差公式 5 5. .倍角公式倍角公式 )sin()sin( 2 1 cossin cossin22sin 3 sin4sin33sin )sin()sin( 2 1 sincos 2222 sincossin211cos22cos )cos()cos( 2 1 coscos 2 tan1 tan2 2tan cos3cos43cos 3 )cos()cos( 2 1 sinsin cot2 1cot 2cot 2 2 3 tan31 tantan3 3tan 6 6. .半角公式半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 cot cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin 7 7. .正弦定理正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理余弦定理：Cabbaccos2 222 8 8. .反三角函数性质反三角函数性质： 2 cotarctan 2 arccosarcsin xarcxxx xxarcsin)arcsin( xxarccos)arccos( xxarctan)arctan( C.C.常用体积和面积公式常用体积和面积公式 hVS 棱柱 hVS 3 1 棱锥 )SSSS( 3 1 hV棱台 球的表面积球的表面积： 2 4 R 球的体积球的体积： 3 3 4 R 椭圆面积椭圆面积：ab 椭圆体积椭圆体积： abc 3 4 8 高等数学公式高等数学公式 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1. 重要极限重要极限 1 sin lim 0 x x x e x x x ) 1 1 (lim 1lim n n n 1lim 0 x x x 0lnlim 0 xx p x 2 arctanlim x x 2 arctanlim x x x x elim 0lim x x e 2. 常用的等价无穷小常用的等价无穷小（设设为无穷小为无穷小） （1）, 1,arctan,arcsin),1ln(,tan,sin e （2）cos1 2 2 1 ，1)1 ( k k，1 bbln，)1ln( 2 2 1 ，)1ln(sin 2 2 1 （3）sin 3 6 1 ，tan 3 3 1 ，sintan 3 2 1 ，arcsin 3 6 1 ，arctan 3 3 1 ，arctanarcsin 3 2 1 3.用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项： （1）只有 0 0 或 型的未定式，才可能用法则，一次利用法则后得到的式子只要是 0 0 或 ，则可一直用下去 （2）每用完一次法则，要将式子整理化简；为简化运算，经常将法则与等价无穷小结合使用 （3） )( )( lim xg xf ax 不存在（非型） ，不能推出 )( )( lim xg xf ax 不存在 （4）当x时，极限式中含有xx cos,sin不能用法则；当0x时，极限式中含有 xx 1 cos, 1 sin不能用法则 4.间断点的分类间断点的分类 先判断第二类：左右极限)0( 0 xf，)0( 0 xf至少有一个不存在 再判断第一类：)0( 0 xf)0( 0 xf 可去间断点；)0( 0 xf)0( 0 xf 跳跃间断点 9 第二章第二章 导数与微分导数与微分 1.导数的基本公式导数的基本公式 xx xx x x xx xx C sin)(cos cos)(sin 2 1 )( 1 ) 1 ( )( 0 2 1 x x ax x eeaaa xxx xxx xx xx a xxxx 1 )(ln ln 1 )(log )(ln)( cotcsc)(csc tansec)(sec csc)(cot sec)(tan 2 2 2 2 2 2 1 1 )cot( 1 1 )(arctan 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x xarc x x x x x x 2.求导求导法法则则 （1）四则运算法则四则运算法则 vuvu )( vuvuuv ) ( 2 )( v vuvu v u （2）复合函数求导复合函数求导 )()()(xxfxf （3）反函数求导反函数求导 )( 1 )( 1 xf yf （4）参数方程求导参数方程求导 )( )( tyy txx )( )( tx ty dx dy ， 32 2 )( )()()()( tx txtytxty dx yd （5）分段函数求导分段函数求导 0 0 ),( ),( )( xxxh xxxg xf，若Axhxg )()( 00 ，则Axf)( 0 0 0 , ),( )( xxA xxxg xf， 0 0 0 )()( lim)( 0xx xfxf xf xx 10 （6）变限积分求导变限积分求导 dttfy x x )( )( )( ，)()()()(xxfxxf dx dy 3.高阶导数高阶导数 )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvuvuCuv baxnnbax eae )( )(， nnn baxnabax )(1() 1()( )( ) 2 sin()sin( )( n baxabax nn ， ) 2 cos()cos( )( n baxabax nn 1 )( )( !) 1( ) 1 ( n nn n bax na bax ， n nn n bax na bax )( )!1() 1( )ln( )( 11 第三章第三章 微分中值定理和泰勒公式微分中值定理和泰勒公式 1.微分中值定理微分中值定理 拉格朗日中值定理：)()()(abfafbf 柯西中值定理： )( )( )()( )()( g f agbg afbf 泰勒中值定理：)()( ! )( )( ! 2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 拉格朗日余项： 1 0 )1( )( )!1( )( )( n n n xx n f xR 皮亚诺余项：)()( 0 n n xxoxR 2.常用的麦克劳林公式常用的麦克劳林公式 )( ! 2 1 2 n n x xo n xx xe )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 2 12 1 53 n n n xo n xxx xx )( )!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 2 242 n n n xo n xxx x )() 1( 32 )1ln( 1 32 n n n xo n xxx xx )(1 1 1 2nn xoxxx x 12 )() 1(1 1 1 2nnn xoxxx x )( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 2nn xox n n xxx 3.一元函数的极值与最值一元函数的极值与最值 驻点：0)( 0 x f 极值点：0)( 0 x f或)( 0 x f 不存在 拐点：函数的凹凸性改变即)( 0 x f 改变符号 4.渐近线渐近线 垂直渐近线： )(limxfax ax 水平渐近线：bxfby x )(lim 斜渐近线：)(lim, )( limkxxfb x xf kbkxy xx 13 第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学 A.不定积分不定积分 1.基本积分基本积分公式公式 ) 1( 1 1 1 Cxdxx Cxdx x ln 1 C a a dxa x x ln Cxdxx cossin Cxdxx sincos Cxdxx coslntan Cxdxx sinlncot Cxxdxx tanseclnsec Cxxdx x dx tansec cos 2 2 C x CxxCxxdxx 2 tanlncotcsclncotcsclncsc Cxxdx x dx cotcsc sin 2 2 Cxdxxx sectansec Cxxdxxcsccotcsc C a x arctg axa dx 1 22 C ax ax aax dx ln 2 1 22 C xa xa axa dx ln 2 1 22 C a x xa dx arcsin 22 Caxx ax dx )ln( 22 22 Caxx ax dx )ln( 22 22 C a xa xa x dxxa arcsin 22 2 2222 14 Caxx a ax x dxax 22 2 2222 ln 22 Caxx a ax x dxax )ln( 22 22 2 2222 Cbxbbxa ba e bxdxe ax ax )sincos(cos 22 Cbxbbxa ba e bxdxe ax ax )cossin(sin 22 2 1 tan 1 1 tan n nn n Ix n dxxI 2.不可积的几个初等函数不可积的几个初等函数 x x x x xx x e x cos , sin ,cos,sin, ln 1 , 22 2 3.求积分的方法求积分的方法 （1）常用换元法常用换元法 被积式中含 22 ax ，令taxtan，tdtadx 2 sec 被积式中含 22 ax ，令taxsec，tdttadxtansec 被积式中含 22 xa ，令taxsin，tdtadxcos 负代换 令tx 代换 令tx 2 代换 令tx 2 周期为T的代换 令uTx 倒代换：令 x t 1 ，如dx x x 4 2 1 1 （2）分部积分法： vduuvudv 此方法用于被积函数是由两种不同类型的函数的乘积组成，用法的关键是u和dv的选择，选择的顺序如下 （)(x v 的选择的优先顺序的选择的优先顺序：指三幂对反指三幂对反） 15 被积函数形式 所用方法（)(x v 的选择） xxPxxPexP nn x n cos)(,sin)(,)( 进行n此分部积分，选取xxe x cos,sin,为)(x v xxPxxPxxP nnn arccos)(,arcsin)(,ln)( 选取)(xPn为)(x v xexe xx cos,sin 进行两次分部积分，选取 x e为)(x v 4.有理函数积分有理函数积分 （1） )( )( )( xQ xP xR归结为下列四种简单分式的积分归结为下列四种简单分式的积分 dx ax A ；dx ax A n )( ；dx qpxx NMx 2 ；dx qpxx NMx n )( 2 （2）三角有理式三角有理式，可以使用万能代换可以使用万能代换：令令u x 2 tan，则则 22 2 2 1 2 1 1 cos 1 2 sin u du dx u u x u u x ， dxxxR )cos,(sin 22 ，令tx tan dxxxR cos)(sin， 令tx sin dxxxR sin)(cos， 令tx cos 5.可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 （1）dx dcx bax xR n ),(), 1(cbadn，令t dcx bax n 16 （2）dxcbxaxxR ),( 2 ，其中04 2 acb，0a 由于 2 2 22 4 4 ) 2 ( a bac a b xacbxax ，可化为以下三种类型 duukuR ),( 22 ，令tkusin dukuuR ),( 22 ，令tkusec dukuuR ),( 22 ，令tkutan B.定积分定积分 1.定积分的定积分的概念概念 n ab n abi afdxxf n i n b a 1 ) )( (lim)( 积分中值定理：若)(xf在,ba上连续，则至少存在一个),(ba，使得)()(abfdxxf b a 换元积分法：dtttfdxxf b a )()()( 分部积分法： b a b a b a dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()( 2.常用的定积分常用的定积分结论结论 dxxfdxxf 2 0 2 0 )(cos)(sin dxxfdxxf 2 00 )(sin2)(sin dxxfdxxfdxxxf 2 000 )(sin)(sin 2 )(sin 17 dxxdxxI nn n 2 0 2 0 cossin ， 2 1 nn I n n I 为奇函数为奇函数， 为偶函数为偶函数 )( )(,)(2 )( 0 xf xfdxxf dxxf l l l 0 2 2 0 )()()( T T TnTa a dxxfndxxfndxxf，其中)()(xfTxf 2 0 22 4 adxxa a dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a )()()()( 222 （柯西-施瓦茨不等式） C.广义积分广义积分 1.常见广义积分的敛散性常见广义积分的敛散性 无限区间p积分 1, 1 p p x dx a p 发散发散 收敛收敛， 无界函数p积分 1, 1 )(p p ax dx b a p 发散发散 收敛收敛， 2.广义积分敛散性的广义积分敛散性的判别判别 定理一：若)()(0xgxf 若dxxg a )(收敛，则dxxf a )(收敛；若dxxf a )(发散，则dxxg a )(发散 定理二：若)()(0xgxf 18 设 )( )( lim xg xf x ，0，那么dxxf a )(与与dxxg a )(有相同的敛散性 无界函数广义积分有类似的结论 D.定积分的应用定积分的应用 1.应用原理微元法、定积分的几何意义 dxxfdQ)(即在,dxxx上作出近似值dxxf)( 求dxxfdQQ b a b a )( 2.常用公式 （1）.平面图形的面积：由bxaxxgyxfy,),(),(所围面积dxxgxfA b a )()( 极坐标下 drA)( 2 1 2 （2）)(xfy )(bxa绕x轴旋转而得旋转体的体积 b a x dxxfV)( 2 （3）)(xfy )(dyc绕y轴旋转而得旋转体的体积 d c y dxyxV)( 2 （4）由bxaxxfy,),(所围图形绕y轴旋转而得旋转体的体积 b a xydxV2 （5）曲线弧长S和旋转面的侧面积A 直角坐标下 b a dxyS 2 1 dxxfxfA b a )(1)(2 2 极坐标下 dS 22 dAsin)(2 22 参数方程 dttytxS)()( 22 dttytxtyA)()()(2 22 （6）设液体的密度为，bxaxxfy,),()(ba 及x轴所围曲边梯形平板垂直在液体内部，该平顶一侧所受压力为 b a dxxxfp)( 19 E.微积分在经济中的应用微积分在经济中的应用 1.经济函数与经济概念 （1）边际函数 称)(xf的导数)(x f 为)(xf的边际函数 （2）弹性函数 称 )( )( xf x xf为)(xf的弹性函数 注意：需求Q关于价格P的弹性要一个“负号” ，即)(PQQ 的弹性 )( )( PQ P PQ EP EQ （3）名称，概念 Q表示需求量（产品量，商品量） ，P表示价格，P与Q的函数关系称为需求关系 C表示成本，且)(QCC ，)0(C称为固定成本， Q QC)( 称为平均成本 R表示收益，且)(QRR ，0)0(R， Q QR)( 称为平均收益 L表示利润，且)()()(QCQRQLL， Q QL)( 称为平均利润 2.应用：关键是理解经济函数的含义，将求解对应与微积分中的“极值（最值） 、积分、微分方程”等的运算 （1）总成本)(QC，边际成本)(Q C ，固定成本 0 C之间的关系 0 0 )()(CdttCQC Q （2）总收益)(QR与边际的关系为dttRQR Q 0 )()( （3）总利润)()()(QCQRQL，若要求它的最大利润，就应理解为求L的最大值，即 明确了“目标函数”后，按求“极值（最值） ”的步骤、方法求解即可 20 第五章第五章 微分方程微分方程 1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程： 一阶微分方程：),(yxfy 或0),(),(dyyxQdxyxP 一阶微分方程可以化为dxxfdyyg)()(的形式 解法：dxxfdyyg )()(得CxFyG)()(称为隐式解 2.可化为可分离变量方程的方程可化为可分离变量方程的方程 齐次方程：一阶微分方程可以写成，),(),(yxyxf dx dy 即写成 x y 的函数 解法：设 x y u ，则 dx du xu dx dy ，分离变量 uu du x dx )( ，积分后将u用 x y 代换即得齐次方程通解 可化为齐次方程：)( 222 111 cybxa cybxa f dx dy 3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程：)()(xQyxP dx dy 当0)(xQ时，为齐次方程， dxxP Cey )( ；当0)(xQ时，为非齐次方程， dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( 4.贝努力方程贝努力方程：) 1 , 0()()(nyxQyxP dx dy n， 令 1 zy，则)()1 ()()1 (xQzxP dx dz 5.全微分方程全微分方程 如果0),(),(dyyxQdxyxP中左端是某函数的全微分方程，即0),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu 其中),(),(yxQ y u yxP x u ，Cyxu),(是该全微分方程的通解 21 6.可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 不含y，),(yxfy ，令yp，则 dx dp y 不含x，),(yyfy ，令yp，则 dx dp yy 7.二阶常系数二阶常系数线性微分方程及其解法线性微分方程及其解法： 二阶齐次二阶齐次：0 qyypy，其中qp,为常数 求解步骤： （1）写出特征方程：0 2 qprr （2）求出特征方程的两个根 21,r r （3）根据 21,r r的不同情况，按照下表写出齐次方程的通解 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根)04( 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根)04( 2 qp xr exccy 1 )( 21 一对共轭复根)04( 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir ， ， )sincos( 21 xcxcey x 22 二阶常系数二阶常系数非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程：qpxfqyypy,)( ， 为常数 若 x n exPxf )()( 特解的形式：)( * xPexy n xk （2 , 1 , 0k） ，其中k是特征根的重数 若cos)(sin)()(xxQxxPexf mn x i是特征根，特解的形式：cos)(sin)( * xxQxxPxey mn x i不是特征根，特解的形式：cos)(sin)( * xxQxxPey mn x 23 第六章第六章 无穷级数无穷级数 A.A.常数项级数常数项级数 1.常数项级数收敛的定义： nn aaaS 21 ，若SSn n lim，则称级数 1n n a收敛于S，否则称为发散 2.常数项级数收敛的基本性质 （1）收敛的必要条件：若 1n n a收敛，则0lim n n a 注意：若0lim n n a，则 1n n a一定发散； 若0lim n n a，并不能断定 1n n a收敛 （2） 1n n a添加或去掉有限项，其敛散性不变 （3）若 1n n a和 1n n b同收敛，则 1 )( n nn ba收敛，若两者中有一个发散，则 1 )( n nn ba发散 两者都发散，则 1 )( n nn ba的敛散性不一定 （4）常数项级数的可括性：对一个收敛的级数，添加括号之后仍收敛 对一个发散的级数，去括号后仍发散 3.常见已知敛散性的级数 （1）等比级数 1, 1 1 1 1 q q q a aq n n 发散 ， 24 （2）p级数与交错p级数 1 1 1 1 p p n n p 发散， 收敛， 0 0 ) 1( 1 p p n n p n 发散， 收敛， 1 1 )(ln 1 2 p p nn n p 发散， 收敛， 4.常数项级数敛散性的基本判别法 （1）正项级数)0,( 1 n n n aa 比值判别法（充分条件） 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 1 1 1 lim 1 n n n a a 根值判别法（充分条件） 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 1 1 1 lim n n n a 比较判别法：某项后 nn kba 0( k正数) 1n n b收敛 1n n a收敛； 1n n a发散 1n n b发散 极限形式：若c b a n n n lim， 1n n b为参考级数，则 0c常数， 1n n a与 1n n b同敛散 0c常数， 1n n b收敛 1n n a收敛 c， 1n n b发散 1n n a发散 25 （2）交错级数判别法)0,) 1( 1 1 n n n n aa 莱布尼茨判别法：若0lim n n a， n a，则 1 1 ) 1( n n n a一定收敛，反之不一定 （3）任意项级数 绝对收敛：若 1n n a收敛，则 1n n a收敛，也称 1n n a绝对收敛 条件收敛：若 1n n a收敛，但是 1n n a发散，称 1n n a条件收敛 任意项级数 1n n a敛散性的判别：若 1n n a收敛，则 1n n a绝对收敛：若 1n n a发散，则 1n n a的收敛性需进一步判断 B.B.幂级数幂级数： 1.幂级数的概念幂级数的概念 称 n n n xxa)( 0 0 为 0 x处的幂级数，特别，0 0 x时，幂级数为 n n nx a 0 ，也称为麦克劳林级数 2.幂级数收敛域的求法幂级数收敛域的求法 阿贝尔定理：对任一幂级数 n n nx a 0 ，若在 1 xx 处收敛，则级数在),( 11 xx都收敛 若在 2 xx 处发散，则级数在),( 2 x),( 2 x都发散 求幂级数收敛域的步骤 （1）求收敛半径得收敛区间),(RR 26 1 lim n n n a a R或 n n n a lim 1 （2）判别端点Rx的敛散性，得到收敛域 3.幂级数的性质幂级数的性质 设幂级数 n n nx c 0 的收敛半径为R，和函数为)(xS，则 （1）)(xS在),(RR上连续 （2）)(xS在),(RR上可以逐项求导，即 1 0 )( n n nx ncxS （3）)(xS在),(RR上可以逐项积分，即 1 0 0 1 )( n n n x x n c dxxS 4.4.函数函数的的幂级数幂级数展开展开 （1）函数展开成泰勒级数 n n xx n xf xx xf xxxfxf)( ! )( )( ! 2 )( )()( 0 0 )( 2 0 0 00 余项 1 0 )1( )( )!1( )( n n n xx n f R ，)(xf可以展开成泰勒级数的充要条件是0lim n n R 0 0 x时即为麦克劳林级数 n n x n f x f xffxf ! )0( ! 2 )0( )0()0()( )( 2 （2）常用的麦克劳林展开式 ) 11(1 1 1 0 2 xxxxx x n nn 27 nnx xx x ) 1(1 1 1 2 ) 11() 1( 0 xx n nn ! 2 1 2 n xx xe n x )( ! 0 x n x n n , )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 12 1 53 n xxx xx n n )(x , )!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 242 n xxx x n n )(x n n nn n x nn xxx xx 1 1 1 32 ) 1( ) 1( 32 )1ln(，) 11(x , ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 2 n x n n xxx ) 11(x C.C.傅立叶级数傅立叶级数 1.1.三角函数及其正交性三角函数及其正交性 三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx在区间,上正交， 是指该函数系中任意两个不同函数的乘积在,上的积分为 0，即 0cos1nx， 0sin1nx), 2 , 1(n 0sincosmxnx), 2 , 1,(nm 0coscosmxnx), 2 , 1,(nm， 0sinsinmxnx), 2 , 1,(nmnm 28 2.2.傅里叶级数傅里叶级数 三角级数 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a 称为函数)(xf的傅里叶级数，因为)(xf 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a 其中 )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 nnxdxxfb nnxdxxfa n n 3.3.收敛性定理收敛性定理 狄利克雷定理：设)(xf是以2为周期的周期函数，在,上满足： 连续或仅有有限个第一类间断点 只有有限个极值点，那么)(xf的傅里叶级数在,上处处收敛， 且收敛于 x ff xfx xfxf xfxxf , 2 )0()0( )(, 2 )0()0( )(),( 的间断点为 的连续点为 4.周期为周期为2的函数的傅里叶展开的函数的傅里叶展开 将周期为2的函数展开为傅立叶级数的步骤： （1）求出傅里叶系数 nn baa, 0 ，形式上写出)(xf的傅里叶级数，即)(xf 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a （2）根据收敛性定理，确定傅里叶级数在,上的收敛性（改写等号） 29 ,上)(xf的展开 nxdxxfb nxdxxfa dxxfa n n sin)( 1 cos)( 1 )( 1 0 ), 2 , 1(n ,上奇、偶函数的展开 )(xf为奇函数 ), 2 , 1( ,sin)( 2 0, 0 0 0 nnxdxxfb aa n n )(xf为偶函数 ), 2 , 1( , 0 cos)( 2 ,)( 2 00 0 nb nxdxxfadxxfa n n 将)(xf在, 0上展为正弦或余弦级数 展为仅含正弦级数 ), 2 , 1( ,sin)( 2 0, 0 0 0 nnxdxxfb aa n n 展为仅含余弦级数 ), 2 , 1( , 0 cos)( 2 ,)( 2 00 0 nb nxdxxfadxxfa n n 5.周期为周期为l 2的函数的傅里叶展开的函数的傅里叶展开 30 )(xf 1 0 )sincos( 2 n nn l xn b l xn a a （1）,ll上)(xf的展开 l l n l l n l l ndx l xn xf l b dx l xn xf l adxxf l a ), 2 , 1( ,sin)( 1 cos)( 1 ,)( 1 0 （2）,ll上奇、偶函数的展开 )(xf为奇函数 ), 2 , 1( ,sin)( 2 0, 0 0 0 ndx l xn xf l b aa l n n )(xf为偶函数 ), 2 , 1( , 0 cos)( 2 ,)( 2 00 0 nb dx l xn xf l adxxf l a n l n l （3）将)(xf在, 0l上展为正弦或余弦级数 展为仅含正弦级数 ), 2 , 1( ,sin)( 2 0, 0 0 0 ndx l xn xf l b aa l n n 展为仅含余弦级数 ), 2 , 1( , 0