第5章杆件的内力分析与内力图.doc

第5章 杆件的内力分析与内力图5.1轴力及轴力图一、 轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。受力特点：受一对沿杆轴线的平衡力作用。变形特点：杆件产生轴向伸长或缩短。二、 工程实例 工程桁架 三脚架 吊索 螺栓共同特点：作用于杆件上的合力的作用线与杆件轴线重合，杆件的变形是沿轴向伸长或缩短。三、 轴力 轴力图1、轴力轴向拉伸或压缩杆件横截面上的内力可用截面法求得。 左段：由平衡条件知，横截面上只有与横截面垂直，且其合力与杆件轴线重合的内力，称为轴力，用表示。 右段：同样有 轴力符号规定：轴力的方向，使杆件拉伸为正，压缩为负。注意：此处正负号只表明轴力是拉力还是压力，并无数学上大小的含义。【例】 任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向荷载的代数和，轴向荷载矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。2、轴力图轴力图：轴力与横截面位置关系绘制成的图。正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为轴，并称为基线，垂直于轴的为轴，横坐标表示各横截面的位置，坐标表示横截面上的轴力值。正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。 注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。轴力图必须与杆件对齐。在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。例题5-2 如图中所示，直杆在两处作用有集中载荷和，其中，。试画出杆件的轴力图。解：1、确定约束力 2、用截面法 3、 建立坐标系，画轴力图【例】 5.2 剪切的内力一、剪切的概念 剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。剪切面或受剪面 m-m 变形特点：受到一对垂直于杆轴大小相等、方向相反、作用线相距很近的力作用。变形特点：两力间的横截面发生相对错动。二、工程实例 三、剪力的实用计算 因为内力与铆钉横截面相切，故称其为剪力。5.2 扭矩和扭矩图一、 扭矩的概念 扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。 ：扭转角； ：剪切角受力特点：受一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶作用。变形特点：杆的任意两个横截面绕杆轴发生相对转动。 以扭转变形为主的杆件称为轴。二、 工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 2、机器中的传动轴工作时受扭。3、套筒扳手 4、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。 5、搅拌器的主轴工作时受扭。 6、皮带轮传动轴工作时受扭。 三、 外力偶的计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往是未知的通常已知的是轴的转速和轴上各轮所传递的功率外力偶矩的计算公式： 式中功率的单位为；转速的单位为转速。四、扭矩 如果已知作用在轴上的所有外力偶矩，可用截面法计算出轴各横截面上的内力。取左段为研究对象，由平衡条件可知，作用在左段上的力，除了外力偶外，在截面上还必有一与此平衡位于横截面内的未知内力偶，该内力偶的矩称为扭矩，用表示。单位： 左段： 右段： 扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。右手四指弯曲指向扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向指向离开横截面的扭矩为正，指向横截面的为负。【例】求图示轴 截面的扭矩。 某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。四、 扭矩图扭矩图：描述扭矩随横截面位置变化关系的图形。正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为轴，并称为基线，垂直于轴的轴为纵坐标。正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面扭矩的大小。 注意：扭矩图与基线形成一闭合曲线。扭矩图必须与杆件对齐。在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。例题5-3 如图所示，圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其单位为，轴的尺寸单位为。试画出圆轴的扭矩图。解： 【例】一传动轴的计算简图如图所示。作用于其上的外力偶矩之大小分别是：转向如图。试作该传动轴的扭矩图。解： 【例】解： 课堂练习1： 画出以下各杆的轴力图或扭矩图。 解： 5.3 剪力图与弯矩图一、 弯曲变形的基本概念 弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。 受力特点：作用在杆件上的载荷和反力都垂直于杆件的轴线。变形特点：杆轴线由直线变为一条平面曲线。具有上特点的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。 纵向对称面：由各横截面的对称轴和杆轴线组成的平面。平面弯曲：当所有外力都作用在纵向对称面内时，梁的轴线将由直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。二、工程实例 三、梁的载荷梁上的外力：载荷支座反力 1、载荷的分类 梁的载荷：集中力；集中力偶；分布载荷。 2、分布载荷分布载荷：均布载荷；非均布载荷。载荷集度： 描述一点处分布载荷的大小。均布载荷： 常数 的单位：或 四、静定梁的基本形式 三种基本形式：简支梁、外伸梁、悬臂梁。其支座反力都是三个。静定梁：三个支座反力可由平面力系的三个平衡方程求得。跨：梁的两支座间的部分，其长度称为跨长。五、梁的内力1、截面法求内力图示简支梁在荷载和支反力、共同作用下平衡。以整体为研究对象，根据平衡条件求支反力。 检验：取左段为研究对象。根据平衡条件知截面内必有一切向内力和一位于纵向平面内的力偶。该切向内力称为横截面上的剪力，用表示；而位于纵向平面内的力偶的力偶矩称为横截面上的弯矩，用表示。 剪力：与横截面相切的分布内力系的合力。 弯矩：与横截面垂直的分布内力系的合力偶。 若取右段为研究对象。 从右段求得的截面上的剪力和弯矩与取左段求得的数值上完全相同，但从图上可看到左、右端上 的方向相反。 2、梁的内力符号规定： 剪力符号：当截面上的剪力使所选脱离体有顺时针转动趋势时为正，反之为负。弯矩符号：当截面上的弯矩使所选脱离体产生凹向上的变形时为正，反之为负。 3、简便法求内力 段： 梁的任一横截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧所有横向外力的代数和，使脱离体绕横截面形心顺时针转动的外力取正，反之取负。 梁任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。使脱离体产生凹向上变形的力矩取正，反之取负（把截面看成固定不动）。例题5-1 如图所示悬臂梁受集中力及集中力偶作用。试确定截面及截面上的剪力和弯矩。解：悬臂梁不用求支座反力。 例题1 试求图示外伸梁指定横截面和上的剪力和弯矩。解：整体： 验算： 在集中力作用的两则相邻的截面上剪力发生突变，但弯矩不变；在集中力偶作用的两则相邻的截面上弯矩发生突变，但剪力不变。六、剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图：描绘剪力和弯矩沿梁轴线随横截面位置变化的图形。例题2 图中所示为一受满布均布载荷的悬臂梁。试作此梁的剪力图和弯矩图。 剪力方程和弯矩方程的一般式： 剪力方程 弯矩方程 反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式。注意：在写出剪力方程和弯矩方程时都要写出的取值区间； 在有集中力作用处，剪力方程中的不能取等于； 在有集中力偶作用处，弯矩方程中的不能取等于。例题3 图中所示承受集度为的均布载荷的简支梁。试作剪力图和弯矩图。解：由对称性可得 例题4 图中所示为一受集中荷载作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。解： 例题5 作出下图示简支梁的剪力图和弯矩图。解： Q图和M图的几个特点： 牢记！ 自由端：若无集中力，该处剪力为零；若无集中力偶，该处弯矩为零。 铰处：若无集中力偶，该处弯矩为零。 集中力作用处剪力图将发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小，突变的方向与力的方向相同，该截面上剪力为不定值，而弯矩图将出现转折。 集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图将发生突变，突变的绝对值等于集中力偶矩的大小，突变的方向：集中力偶顺时针转向时向下突变，逆时针转向时向上突变。该截面上弯矩为不定值。例题5-5 悬臂梁在二处分别承受集中力和集中力偶作用，如图所示。梁的全长为。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：段： 段： 课堂练习2： 写出以下各梁的剪力方程和弯矩方程。 解： 解： 解： 验算： 解： 验算： 七、及的微分关系由对称性可得 设分布载荷集度向上为正，向下为负。本例中比较上四式，可得 根据的正负判断曲线的凹凸方向：若0，曲线凹向下；具有极小值。若0，曲线凹向上。具有极大值。八、剪力图、弯矩图的直接画法1、的情况 由 可知， 在该段，剪力图必为平行于轴的直线。再由可知，为的一次函数，故该段弯矩图为一斜直线，若，即斜率大于零，弯矩图为一斜向右下方的斜直线；若，弯矩图为一斜向右上方的斜直线。 2、常数的情况由 可知，在该段为的一次函数，剪力图为一斜直线。若向下，即，剪力图为一斜向右下方的斜直线；若向上，即，剪力图为一斜向右上方的斜直线。又由可知，在该段为的二次函数，故弯矩图应是一条二次抛物线。当向下时，即，则曲线凹向上（）；当向上时，即，则曲线凹向下（）。3、关于弯矩的极值 由可知，在处 有极值。即剪力等于零的横截面上，弯矩具有极大或极小值。4、集中力作用处剪力图、弯矩图的变化情况 在集中力作用处剪力图将发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小，突变的方向与力的方向相同，该截面上剪力为不定值，而弯矩图将出现转折。5、集中力偶作用处剪力图、弯矩图的变化情况集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图将发生突变，突变的绝对值等于集中力偶矩的大小，突变的方向：集中力偶顺时针转向时向下突变，逆时针转向时向上突变。该截面上弯矩为不定值。梁上的外力情况剪力图 弯矩图无外力段水平直线常数斜直线 常数向下的均布载荷斜直线，斜向右下方 时，凹向朝上的二次抛物线， 处取得极大值。向上的均布载荷斜直线，斜向右上方时，凹向朝下的二次抛物线，