第3章_线性方程组习题解答.doc

习题33-1求下列齐次线性方程组的通解：（1）.解 对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），令，得到方程组的一个基础解系,所以，方程组的通解为为任意常数（2）.解 对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），令，得到方程组的一个基础解系，所以，方程组的通解为，为任意常数（3）解 对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），令，得到方程组的一个基础解系，所以，方程组的通解为，为任意常数3-2当取何值时，方程组有非零解？解 原方程组等价于,上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式，即，从而当和时方程组有非零解3-3求解下列非齐次线性方程组：（1）.解 对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换，与原方程组同解的齐次线性方程组为,即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解，对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，得到对应齐次方程组的一个基础解系，,方程组的通解为，其中为任意常数（2）.解 对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换，与原方程组同解的齐次线性方程组为,即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解,对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，得到对应齐次方程组的一个基础解系，方程组的通解为,其中为任意常数（3）解 对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组无解.3-4讨论下述线性方程组中，取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解解 方程组的系数行列式为.（1）当时，即时，方程组有惟一解（2）当时，即时，(i) 当时,原方程组为，显然无解(ii) 当时，原方程组为，对该方程组的增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为，即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解，对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，得到对应齐次方程组的一个基础解系，方程组的通解为，其中为任意常数3-5写出一个以为通解的齐次线性方程组解 由已知，和是齐次线性方程组的基础解系，即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，故可设系数矩阵,由可知和满足方程组,即方程组的线性无关的两个解即为,方程组的系数矩阵,该方程组等价于（其中为自由未知量），令，得到该齐次方程组的一个基础解系，故要求的齐次线性方程组为，其中,即.3-6设线性方程组，的解都是的解，试证是向量组,L,的线性组合证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是的解，所以方程组（*）与方程组,同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组和的秩相同，故可由线性表示3-7试证明：的充分必要条件是齐次线性方程组的解都是的解证 必要性.因为，只须证与的基础解系相同与的基础解系都含有个线性无关的解向量又因为的解都是得解所以的基础解系也是的基础解系即与有完全相同的解所以的解都是的解充分性.因的解都是的解，而的解都是的解，故与有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故，所以3-8证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使证 充分性.若存在列向量及行向量，其中不全为零，则有,显然矩阵的各行元素对应成比例，所以必要性.若，则经过一系列的初等变换可化为标准形，而矩阵可以表示为，则存在可逆矩阵，使得，从而，其中均可逆，记，又因为可逆，则至少有一行元素不全为零，故列向量的分量不全为零，同理，因为可逆，所以行向量的分量不全为零因此，存在非零列向量及非零行向量，使补充题B3-1.设是矩阵，是非其次线性方程组所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A） 若仅有零解，则有惟一解；（B） 若有非零解，则有无穷多个解；（C） 若有无穷多个解，则仅有零解；（D） 若有无穷多个解，则有非零解B3-2.设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组（）；（），必有（ D ）（A）（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解；（B）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；（C）（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解；（）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解B3-3设线性方程组有个未知量，个方程组，且，则此方程组（ A ）（）时，有解；（）时，有惟一解；（）时，有惟一解；（）时，有无穷多解B3-4讨论取何值时，下述方程组有解，并求解：解 （法一）方程组的系数行列式，（1）当时，即时，方程组有惟一解（2）当时，即时(i) 当时,原方程组为，因为，所以方程组有无穷多组解，其通解为,其中为任意常数(ii) 当时，原方程组为，对该方程组的增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组无解解 （法二）对该方程组的增广矩阵施行行初等变换，(1)当 时, ，方程组有惟一解.(2) 当时， ，方程组有无穷多组解，其通解为,其中为任意常数 (3) 当时，由知，所以方程组无解B3-5.若是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是该方程组的一个基础解系证 设有三个数使得,则有,因为是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以线性无关，故,该方程组的系数行列式,所以该方程组只有零解即即线性无关又由齐次线性方程组的性质知都是方程组的解所以构成方程组的一个基础解系B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解解 因为，故原方程组的导出组的基础解系含有个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可由解的性质知，均为导出组的解，所以为导出组的解，即,为导出组的解故原方程组的通解为，为任意常数B3-7. 设是非齐次线性方程组的一个解，是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）线性无关；（2）线性无关证（） 反证法.设线性相关，由是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知线性无关，故可由线性表示，即是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾故线性无关证（2） 反证法.设线性相关，则存在不全为零的数，使得,即,由（）知，线性无关，则，,从而，这与不全为零矛盾,故线性无关B3-8设线性方程组，的系数矩阵的秩等于矩阵的秩，试证这个方程组有解证 令,因为比多一列，比多一行，故,而由题设，所以