线材切割问题最优设计方案探讨.doc

数学建模论文 题目：线材切割问题最优化方案探讨 院系:数理学院 专业：数学与应用数学 班级：数学091 姓名：姜奎 学号：3090801132 2011/5/20摘要 本文讨论多线材切割问题，通过整数规划建立数学模型来解决线材切割的需要，使得线材利用率提高，减少浪费。 首先，我们分析了某根线材的切割方案和实行切割方案，遵循“全部用完，没有剩余”的原则，从而确定了多线材切割一般模型来得到线材切割的最优设计方案。 其次，我们采取了三种模型：1. 某根线材的切割方案模型。确定一根线材的几种最优切割方案，做到单根线材的最佳优化。2. 实行切割方案的模型。要求花费原材料最少，即要求做到方案组合的最佳优化。3. 多线材切割方案的一般模型。通过对某根线材切割方案和实行切割方案的分析，建立线材切割的一般模型，得到最优化设计方案。最后，我们对所设计的模型进行了讨论。关键词语：多线材切割 整数规划 数学模型 最优化方案目录一、问题重述3二、问题假设4三、符号说明4四、建立模型44.1某根线材的切割方案模型44.2实行切割方案的模型64.3 实行切割方案模型的求解64.4 结果分析74.5 多线材切割一般模型的建立7五、模型的分析与讨论8六、线材切割问题的几点建议9七、参考文献10八、附录11一、问题重述在很多工程领域，都有线材切割问题。这一问题可表述为:设能购买到的不同长度的原线材有m种，长度分别为L1,.,Lm，这些原线材只是长度不同，其它都相同。某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1,2,.,n(这里 li 所有Li)，对应数量分别为Ni,i=1,2,.,n。设计优化计算方案，求出分别需要购买多少根不同长度的原线材,并能给出切割方案及线材利用率。 现假设某装修工程中需要对铝合金线材进行切割，工程能购买到的同一规格的铝合金线材有二种长度，一种长度是8米，另一种是12米。现在假设要切割长度和数量如下所示的铝合金线材： 编号 长度(单位:米) 数量(单位:根) - 1 6.20 90 2 3.60 120 3 2.80 136 4 1.85 310 5 0.75 2156 0.55 320应用所设计的计算方案，请问至少需要购买多少根8米和12米的线材，使浪费的线材比较少，并给出切割方案和计算线材利用率。二、问题假设1. 两种线材单位长度的价格是固定的。2. 货源充足。3. 在切割过程中不会出现人为造成的材料损失。三、符号说明1. Li:第i种原材料的长度。2. lj:所需的第j种成品线材的长度。3. Nj:所需的第j种成品线材的数量。4. Xij:第i种线材被实行第j种切割方案的次数或该方案本身。5. aj:某根线材切割出编号为j的线材成品数量，aj为整数。四、建立模型4.1某根线材的切割方案。确定一根线材的几种最优切割方案。第一，要保证有一种切割方案能够切割出所需的第j种线材成品。第二，要遵循每根线材余料最少的原则，要求做到单根线材的最佳优化。模型M1某根8m线材的切割方案模型：min=8-6.20a1-3.60a2-2.80a3-1.85a4-0.75a5-0.55a6;s.t. 某根12m线材的切割方案模型:min=126.20a1-3.60a2-2.80a3-1.85a4-0.75a5-0.55a6;s.t. 在Lingo中执行以上程序，分别得出12种切割方案，见表4.11和表4.12（表中空白处表示0）表4.11 某根8m线材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/mX11130.15X12210.05X132110X14410.05X15750X16750表4.12 某根12m线材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/mX21 1140X2211150X23130X2411150X251140X2612310从表4.11中可以看出，方案X15和X16相同，因此可将切割方案归为五种。从表4.12中可以看出，方案X21和方案X25相同，方案X22和X24相同，因此可将切割方案归为四种。将两种情况总结起来，可得到如表4.13所示的切割方案。表4.13 某根线材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/m 某根8m线材的切割方案X11130.15X12210.05X132110X14410.05X15750某根12m线材的切割方案X211140X2211150X23130X24123104.2 实行切割方案的模型。 实行切割方案，第一，要求完成切割任务。第二，要求花费原线材最少，即要求做到方案组合的最佳优化。 实行切割方案模型 M2 minZ=8+12s.t.4.3 实行切割方案模型的求解 在Lingo中求解，得到结果如表4.14所示。表 4.14 各种方案的执行情况X11X12X13X14X15X16X17X18X1961564367529053min=2300m因此，我们得到结论：a. 需要购买8m线材的数量为=232根，其中有61根采用方案X11；56根采用方案X12；43根采用方案X13；67根采用方案X14；5根采用方案X15。b. 需购买12m线材的数量=37根，其中有29根采用方案X21；5根采用方案X23；3根采用方案X24。采用上述方案的实际利用线材的总长为2281.55m,线材的利用率为2281.55/2300=99.20%。4.4 结果分析经分析可知，执行上述切割方案后，实际得到所需各种线材的数量见表4.15。表4.15 实际得到各种成品线材的数量长度/m6.203.602.801.850.750.55数量/根90120136311216321从表4.15中可知，长度分别为1.85、0.75、0.55的线材均比实际要求多出1根，由此造成的浪费为3.1m，而总的浪费为23002281.55=18.45m。可见余料是造成线材浪费的主要原因，而这种浪费是不能完全消除的。该问题中，线材的实际利用率达到99.20%，相对是一个很高的利用率。因此这种方案对解决此类问题是可行的。我们可以将其扩展到一般情况，建立一般模型。4.5 多线材切割一般模型的建立。某根线材切割方案的一般模型：模型 M3 min=Li （i=1,2,，m） 实行切割方案的一般模型：模型 M4 min= s.t. 五、模型的讨论一、本次建模模型使用lingo进行操作。lingo可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供十几个内部函数.二、主要任务是建模的过程，然后由lingo软件进行规划。因为要求得最少的原材料根数，考虑到“全部用完，没有剩余”的原则，首先将切割后没有剩余的情况全部列出，利用lingo软件求出最优结果。三、本次建模设计采用整数规划，整数线性规划数学模型。本模型经过两次优化，但第二次优化是在第一次优化的基础上进行的，是对单根线材部分切割方案组合的优化，而不是对所有方案的最佳优化。采用这种办法，减少了可能的方案，在一定程度上减少了计算量，同时使得具体切割方案易于实行。六、线材切割问题的几点建议(1)实施少量多次加工。少量、多次切割可使加工工件具有单次切割不可比拟的表面质量，是控制和改善加工工件表面质量的简便易行的方法和措施。（2合理安排切割路线。该措施的指导思想是尽量避免破坏工件材料原有的内部应力平衡，防止工件材料在切割过程中因在夹具等作用下，由于切割路线安排不合理而产生显著变形，致使切割表面质量下降。(3)正确选择切割参数。对于不同的粗、精加工，其丝速、丝的张力和喷流压力应以参数表为基础作适当调整，为了保证加工工件具有更高的精度和表面质量，可以适当调高线切割机的丝速和丝张力，虽然制造线切割机床的厂家提供了适应不同切割条件的相关参数，但由于工件的材料、所需要的加工精度以及其他因素的影响，使得人们不能完全照搬书本上介绍的切割条件，而应以这些条件为基础，根据实际需要作相应的调整。(4)注意加工工件的固定。当加工工件行将切割完毕时，其与母体材料的连接强度势必下降，此时要防止因加工液的冲击使得加工工件发生偏斜，因为一旦发生偏斜，就会改变切割间隙，轻者影响工件表面质量，重者使工件切坏报废，所以要想办法固定好被加工工件。七、参考文献1 数学建模及典型案例分析 李志林 欧宜贵 编著 化学工业出版社2 数学建模与数学实验 赵静 但琦 主编 高等教育出版社3 数学建模（第三版） 姜启源，谢金星，叶俊编著 高等教育出版社出版4 基于MCGS组态软件线材切割控制系统 张旭; 孙鹏; 李霞; ASPT来源刊CJFD收录刊5 运筹学与最优化方法 吴祈宗 北京：机械工业出版社，2005 八、附录1) 设计方案X11和X21的程序。 model：min=86.20*a13.60*a22.80*a31.85*a40.75*a50.55*a6；6.20*a1+3.60*a2+2.80*a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6=1；endmodel：min=126.20*a13.60*a22.80*a31.85*a40.75*a50.55*a6；6.20*a1+3.60*a2+2.80*a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6=1；end2）求解最优实行方案的程序。Model：min=8*(X11+X12+X13+X14+X15)+12*(X21+X22+X23+X24)；X11+X21=90；2*X12+X22+X23+X24=120；2*X13+X22+3*X23+X21+2*X24=136；X13+4*X14+X22=310；X12+7*X15+4*X21+5*X22+3*X24=215；3*X11+X13+X14+5*X15+X24=320；gin(X11)；gin（X12）；gin（X13）；gin（X14）；gin（X15）；gin（X21）；gin(X22)；gin（X23）；gin（X24）；3）运行最优实行方案程序的结果。Global optimal solution found at iteration： 260Objective value： 2300.000 Variab