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中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数课程综合测试3学习层次：专升本 时间：90分钟一、填空题(每小题4分，共24分)1四阶行列式中含因子，取负号的项为。 解：由行列式定义可知：含因子的项只能是与， 而列脚标1342的逆序数为2取正号，故正确答案是。2均为阶方阵，则=。 解： 由于： 。3 ，则=。解：由于。4若某向量组中含有零向量，则该向量组线性 相 关。 解：向量组线性相关性的几条充分条件之一：含零向量的向量组必相关。5设6阶方阵的秩为5，是非齐次线性方程组的两个不相等的解，则 的通解为。解：由于，所以的基础解系只含一个向量：，故有上通解。6若矩阵A=与B=相似，则x = ，y = 。解：相似矩阵有相同的特征根，再由特征根性质可得 。 二、单项选择题(每小题4分，共24分)7设A、B为n阶方阵，且，则为对称矩阵的是 D 。A B C D解：直接用矩阵的转置验算：。8下列矩阵中哪个矩阵是初等矩阵 D 。A B C D 解：对单位矩阵只作一次初等变换的矩阵叫初等矩阵，可见只有D成立。9设为阶方阵，满足关系，则必有 C 。A B C或 D 解：因为 ，可推出或。10若阶方阵不可逆，则必有 B 。A. B. 0为的特征值 C. 秩()= D. =解： 可逆；秩()= 可逆；不可逆，不代表=；故选B：0为的特征值11设A=（aij）mxn，若mn，则 B 。AA的行向量组线性相关 BA的列向量组线性相关CA的行向量组无关 DA的列向量组无关解：定理：行向量组、列向量组、矩阵：三秩相等。因为mn，所以秩列数， 故列向量组的个数大于秩，线性相关。12元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 B 。A B C D解：齐次线性方程组有非零解的定理。13下面的矩阵中哪一个是二次型的矩阵C。A B C D解：首先，二次型矩阵必须是对称矩阵，其次次对角线上的元素是交叉项的平分，所以选C。14阶方阵具有个线性无关的特征向量是与对角矩阵相似的 C 条件。A.充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要解： 矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42分)15设与均为3阶方阵，为3阶单位矩阵，且 ；求。 解：因为AB+E=A2+B ，可逆所以。16满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 解：当且时，方程组有惟一解。当时方程组无解。当时方程组当时这时方程组只有零解。当时，这时方程组有无穷多解。17设有向量组，计算该向量组的秩，写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解: ,所以, ， 为的一个极大无关组；。18设矩阵的一个特征值为3，求。解：19当为何值时，为
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