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第十六章 概率统计与随机过程第十六章 概率统计与随机过程 本章扼要的介绍了概率论的重要内容，除了介绍随机事件及其概率、随机变量和分布函数、随 机变量的数值特征、概率母函数、矩母函数和特征函数、大数法则和中心极限定理等基本概念外, 还介绍了正态分布表和概率纸的用途。 这一章着重的叙述了常用数理统计方法， 包括样本及其频率 分布、总体参数的区间估计、统计检验、方差分析、回归分析、正交实验设计、抽样检验、质量评 估（工序控制）等八个部分；最后简述了随机过程论的基本内容，突出了较为常用的马尔科夫过程 和平稳随机过程。 1 概率论概率论 一、 事件与概率 1.随机事件及其运算关系 随机事件 必然事件 不可能事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的试验结果称为 随机事件，简称事件，用 a , b , c ,表示。随机事件有两个特殊情况，即必然事件（在一定条件下， 每次试验都必定发生的事件）和不可能事件（在一定条件下，各次试验都一定不发生的事件） ，分 别记为和。 事件的运算关系 1 包含 当事件b发生时,事件a也一定发生， 则称a包含b或b包含于a中， 记作ab， 或ba。 2 等价 如果ab且ab，即事件a和b同时发生或不发生，则称a与b等价，记作a=b。 3 积 表示事件a和b同时发生的事件，称为a与b的积，记作ai b(或ab） 。 4 和 表示事件a或事件b发生的事件，称为a与b的和，记作ab(或a+b） 。 u 5 差 表示事件a发生而事件b不发生的事件，称为a与b的差，记作a b（或ab） 。 6 互斥 如果事件a与b不可能同时发生，即ab=，那末称a与b是互斥（或互不相容） 的。 7 对立 如果事件a与b互斥，又在每次试验中不是出现a就是出现b，即ab=i且 ab=，那末称b为a 的对立事件，记作b=ua。 8 完备 如果事件a1 ，a2 , , an在每次试验中至少发生一个，即 n aaauluu 21 0=， 则称a1，a2， ，an构成一个事件完备组。特别当a1 ，a2 ， ，an又是两两互斥时，即aiiaj= （ij，i，j=1，2， ，n） ，就称a 1，a2 ， ，an是两两互斥的事件完备组。 2、概率的几种定义 频率与概率 随机事件在一次试验中是否发生，固然是无法事先肯定的偶然现象，但当进行 多次重复试验，就可以发现其发生的可能性大小的统计规律性。具体说，如果在相同条件下进行 n 次重复试验，事件 a 出现了 v 次，那末事件 a 在 n 次试验中出现的频率 n 当 n 无限增大时呈现稳 定性。这一统计规律性表明事件 a 发生的可能性大小是事件本身所固有的、不以人们主观意志改 变的一种客观属性。事件 a 发生的可能性大小称为事件 a 的概率，记作 p(a)。当试验的次数 n 足 够大，可用事件的频率近似地表示该事件的概率，即 n v ap)( 概率的古典定义 设一个随机试验（不能事先准确的预言它的结果，而且在相同条件下可以 重复进行的试验）只有有限个不同的基本事件1 , 2 , ,n（基本事件也是一种事件，一般的 事件总是有几个基本事件共同组成的） ，每个基本事件都是等可能*的，基本事件的全体记作，称 它为基本事件空间，如果事件a由k (kn) 个不同的基本事件组成，那末规定a的概率p(a)为 n k ap=)( 不可能事件的概率规定为 0)(=p 概率的公理化定义 定义 1 设=，f|=aa,如果 f 满足下面条件： （i）f; (ii) 若af，则af（aa =）; (iii) 对于任意f (n=1,2,)，有 n a u = 1n n af 则称 f 是中的一个代数。 定义 2 设是)(faap代数 f 上的实值集函数，如果它满足条件： （i） 对任意af，有 0p(a)1； （ii） ； 1(=)p （iii） 对任意f(n=1 , 2 , )，a n a iiaj= ( ij ) 有 * （在应用中，往往当一种事件没有任何理由比另一事件更容易发生时，就认为这两个事件等可能） p( )=a u =1n a =1 ( n p n) 则称 p(a)为 f 上的概率测度，或简称概率。这时，称为基本事件，a(f)称为事件，f 是事件的 全体，p(a)称为事件 a 的概率， 称为概率空间。 3概率的基本性质 1 0p(a)1 2 p(必然事件)=p()=1 3 p(不可能事件)=p()=0 4 p(au b)=p(a)+p(b)p(ab) i 若 a , b 互斥，则 p(ab)=p(a)+p(b) u 若a1 , a2 , , an两两互斥，则 p()=p(a n aaauluu 21 1)+p(a2)+p(an)=1 5 若ab，则p(a)p(b) 6 若ab，则p(a)p(b)=p(ab) 7 对任意事件a，p(a)=1 (a) p 8 若a1 , a2 , , an是两两互斥的事件完备组，则 p( )=p(a n aaauluu 21 1)+p(a2)+p(an)=1 9 设anf，anan+1 , n=1,2,令a=i =1n an , 则 p(a)= （连续性定理） )(lim n n ap 4、概率的计算公式 条件概率与乘法公式 在事件 b 发生的条件下，事件 a 发生的概率称为事件 a 在事件 b 已发 生的条件下的条件概率，记作 p(a|b)。当 p(b)0 时，规定 p(a|b)= )( )( bp bapi 当 p(b)=0 时，规定 p(a|b)=0。由此得出乘法公式： p(a=p(b)p(a|b)=p(a)p(b|a) )bi p(a1a2an)=p(a1)p(a2|a1)p(a3|a1a2)p(an|a1a2an-1) (p(a1a2an-1)0) 独立性公式 如果事件 a 与 b 满足 p(a|b)=p(a)，那末称事件 a 关于事件 b 是独立的。独立 性是相互的性质，即 a 关于 b 独立，b 一定关于 a 独立，或称 a 与 b 相互独立。 a 与 b 相互独立的充分必要条件是： p(ai b)=p(a)p(b) 如果事件a1 ,a2 , an中任意m个()都满足关系式 nm 2 m iii aaa, 21 l )( 11 = = m k i m k i kk apapi 称a1 , a2 , an是总起来独立的，简称为相互独立。 全概率公式 如果事件组b b 1 , b2 b ,满足 = ji bb i )(ji p(u)=1, p(b =1i i b b i)0 (i=1,2,) 则对于任意一事件 a，有 = = 1 )()|()( i ii bpbapap 如果b b i只有n个，公式也成立，此时右端只有n项相加。 贝叶斯公式 如果事件组b b 1 , b2 b ,满足 = ji bb i (ij) 1 1 = = u i i bp, 0)( i bp), 2 , 1(l=i 则对于任一事件 a(p(a)0)，有 p(b b i |a)= =1 )|()( )|()( i ii ii bapbp bapbp 如果b b i只有n个，公式也成立，此时右端分母只有n项相加。 伯努利公式 设一次试验中某事件a出现的概率为p，则n次重复试验中事件a出现k次的概率 pn,k为 pn,k = p k n k(1 p)n-k (k=0,1,n) 式中为二项系数。 k n 当 n 和 k 都很大时，有近似公式 pn,k 2 1 2 2 x e 式中)1 (pnp=, npk x =。 泊松公式 当 n 充分大，且 p 很小时，有近似公式 pn,k ! k k e 式中= np。 二、 随机变量与分布函数 随机变量及其概率分布函数 每次试验的结果可以用一个变量的数值来表示，这个变量的 取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用,表示。 它是随机现象的数量比。 给定随机变量，它的取值不超过实数 x 的事件的概率 p(x)是 x 的函数，称为的概率分 布函数，简称分布函数，记作 f(x) ，即 f(x)=p()x () ip k 为在 k y=条件下离散型随机变量的条件分布。类似的，称 p( k y=| i x=)= i ik p p (0, k=1,2,) i p 为在 i x=条件下离散型随机变量的条件分布。 2 设(,)是二维连续型随机变量，其联合分布密度是f(x,y)，在点y ,则称 0d),( tytf ()() = tytf tytf yxpyxf x d),( d),( 为在=y 条件下的条件分布函数，在点 x，则称 0d),( ttxf ()() = ttxf ttxf xypxyf y d),( d),( 为在x=条件下的条件分布函数。 3 如果(, 21 ,) n 的联合分布函数等于所有一维边缘分布函数的乘积，即 f(x1 , x2 , xn)= )()()( 2211nn xfxfxfl （它相当于p( 2211 ,xx,nxn)=)()( 11nn xpxpl那末称 21, , n 是相互独立的。 三、 随机变量的数字特征 数学期望（均值）与方差 随机变量的数学期望（或均值）记作e（或m） ，它描述了随 机变量的取值中心。随机变量(e)2的数学期望称为的方差，记作d（或var） ，而d的平 方根称为的均方差（或标准差） ，记作=d。它们描述了随机变量的可能取值与均值的偏差 的疏密程度。 1 若是连续型随机变量，其分布密度为p(x)，分布函数为f(x)，则（当积分绝对收敛时） e= =)(dd)(xfxxxxp d= =)(d)(d)()( 22 xfexxxpex 2 若是离散型随机变量，其可能取值为xk , k=1,2,，且p(=xk)=pk，则（当级数是绝对收敛 时） e = = 1k kkp x d=p 2 1 )( = k k ex k 均值与方差的几个公式 1 d=e 2-(e )2 2 ea=a , da=0 （a为常数） 3 e(c)=ce , d(c)=c2d（c为常数） 4 e()()eeeee+= 5 若1 , 2 , n为互相独立的n个随机变量，则 e(1+2+n)=e1+e2+en d(1+2+n)= )( 1, jji n ji i eee = 6 若1 , 2 , n为互相独立的n个随机变量,则 e(12n)=(e1)(e2)(en) d(1+2+n)=d1+d2+dn 7 若1 , 2 , n为互相独立的随机变量，且 k e=0, dk=(k=1,2,n)则随机变量 2 = = n k k n 1 1 的均值与方差分别为 n de 2 , 0 = 契贝谢夫不等式 对任一给定的正数，有 () 2 d ep 条件数学期望与全数学期望公式 设 f(x|b)是随机变量对事件 b 的条件分布函数，则 ()() =bxfxbed 称为（当积分绝对收敛时）对事件 b 的条件数学期望。若是连续型随机变量，其条件分布密度 为 p(x|b)，则 ()()xbxxpbed = 若是离散型随机变量，其可能取值为x1 , x2 ,，则 () = k kk bxpxbe)( 若b b 1 , b2 ,bn b 是两两互斥的事件完备组，则有全数学期望公式 = = n k kk bebpe 1 )()( 中位数、众数与均值的关系 满足 p( 2 1 )m, p( 2 1 )m 的数 m 称为随机变量的中位数。换句话说，m 满足下面两式： p()()mpm p()()mpmqpqp n为正整数 np npq n qp)(+ n qp)(+ nit qpe)(+ 泊松分布 )(p =e x xp x p ! )( l, 2 , 1=x 为正整数 )1( e )1( t e e )1( it e e 几何分布 )(pg 1 )( = x g pqp l, 2 , 1=x 1, 0, 0=+qpqp p 1 2 p q q p 1 qe p t it it qe pe 1 负二项分布 ),(pab xx b qp x xa xp + = 1 )( l, 2 , 1 , 0=x 1, 0, 0=+qpqp a为正实数 p aq 2 p aq a q p 1 a t qe p 1 a it qe p 1 单点分布 )(c = = cx cx xp , 0 , 1 )( c为正整数 c 0 c ct e ict e 名称记号 概率分布及其定义域 参数条件 均值e方差 d 概率母函数 )(p 矩母函 数 )(t 特征函数 )(t 对数分布 )(pl x q p xp x l ln 1 )(= l, 2 , 1=x 1, 0, 0=+qpqp pp q ln p q q ln ln 1 2 + p a ln )1ln( p qet ln )1ln( p qeit ln )1ln( 超几何分布 ),(nmnh = n n x m xn mn xph)( , 0maxlmnnx+= ,minmn nmn,为正整数 nnnm0 ,0 m n ne= 2 ( 1 n mnm n nn n d = ie enmnmnf n n n mn t; 1;,()(+ = （为超几何函数） f 2、常用连续分布 名称记号 分布密度及其定义域 参数条件 均值e 方差d 矩母函数 )(t 特征函数 )(t 均布函数 ),(bau = bxax bxa ab xpu 或, 0 , 1 )( = cx cx ecx xp cx c+ 2 () t ect1 it eict1 对数正态分布 ),( 2 n l 0, 0 0 , , 2 1 )( 2 2 2 )(ln = x x x e x xp x ln 2 2 + e ) 1( 22 2 + ee 2 分布 （自由 度为 )n )( 2 n = 0, 0 0, 2 2 1 )( 2 1 2 2 2 x xex n xp xn n n为正整数 n 2n 2 )21 ( n t 2 )21 ( n it 分布 （自由 度为） t n )( 2 nt2 1 2 1 2 2 1 )( + + + = n t n x n n n xp n为正整数 0 (n1) 2n n )2(n n t n n t n n n 2 2 2 2 1 )( 2 ynn为诺依蔓函数 f分布（自由 度(m,n)） f(m,n) n n n ) 4( ) 4() 2( ) 2(2 2 2 + n nnm nmn = it m nnm f t ; 2 ; 2 )( 11 （库默尔函数） 威 尔 布 分 布 ),(mw m0， 位置参数 + + m am 1 1 1 ) 1 1 ( ) 2 1 ( 2 2 m m am + + 柯 西 分 布 ),(c 0, )( 1 22 p 2 数理统计方法 数理统计方法 一、 总体参数的估计 1、总体（母体）与样本（子样） 研究某个问题，它的对象的所有可能观测结果称为总体（或母体） ，记作。总体中抽 取一部分样品称为总体的一个样本（或子样） 。样本中样品的个数称为样本的大小 （或容量） 。，可以认为是大样本，否则称为小样本。 n xxx, 21 l 30n 数理统计方法就是应用概率论的结果，通过样本来了解和判断总体的统计特性的科学方 法。 2、 样本特征数与总体数字特征对照表 名 称 样本特征数 总体数字特征 均 值 = = n k k x n x 1 1 e= 方 差 = = n k k xx n s 1 22 )( 1 1 d= 2 标准差 = = n k k xx n s 1 2 )( 1 1 d= 变异系数 x s cv= = e d c 偏态系数 3 1 3 )( )2)(1(s xx nn n c n k k s = = 3 3 )( d cs= 峰态系数 4 2 1 2 4 1 4 2 )( )3)(2)(1( )32(3 )( )3)(2)(1( 32 s xx nnnn n s xx nnn nn c n k k n k k e + = = = 3 )( 2 4 = d ce 注意，1 当n较大时，取 = = n k k xx n s 1 22 )( 1 （有时称此为样本方差，而称表中的为样本修正方差） 2 s 2 s 3 1 3 )( 3 1 s xx n c n k k s = = 4 2 1 2 234 1 4 2 )( 6116 6 )( 116 2 s xx nnns xx nn n c n k k n k k e + + = = = 2 样本特征系数还有： 样本r阶原点矩 = n k r k x n 1 1 样本阶中心矩 = n k r k xx n 1 )( 1 样本中位数 1 2 1+n x （样本大小n为奇数） 样本均差 = n k k xx n 1 1 样本极差 k nk k nk xx 11 minmax 3、总体参数的点估计 记x1 ,x2 ,xn是从总体中取出的一个样本，可用样本的特征数来估计总体的数字特征。 其常用方法有以下两种： 矩法 矩法是用样本的r阶矩作为总体r阶矩的估值。具体步骤如下： 设的分布函数包含k个参数 k , 21 （其取值未知） ， 记作),( 21k xf 。 假定 的k阶原点矩存在，它们自然是 k , 21 的函数，即 ),(d),( 2121k r krr xfxvvll = (r=1,2,k) 考虑总体的一个样本作出这一样本的r阶矩 n xxx, 21 r ，即 r =), 2 , 1( 1 1 krx n n i r i l= = 然后解方程组 ( r v), 21k = r (r=1,2,k) 记所得的解为 ),( ,),( 2211 1 nkkn xxxxxx = = 用分别作为 k , , 21 k , 21 的估值。 最大似然法 设总体的分布是连续型的，分布密度函数为),( 21k xp ，其中 k , 21 是待估计的未知参数。 对于给定的 n xxx, 21 使函数达到最大 值的，并用它们分别作为 ),( 21 1 k n i i xp = k , , 21 k , 21 的估值。 由于ln与在同一点()上达到最大值， 因此，引入函数 ),( 21 1 k n i i xp = ),( 21 1 k n i i xp = k , , 21 l( k , 21 )=ln=),( 21 1 k n i i xp = ,(ln 1 = n i i xp k , 21 ) 它称为似然函数。只要解方程组 0= i l (i=1,2,k) 就可以从中确定所要求的，它们分别称为参数 k , , 21 k , 21 的最大似然估计值。 如果总体的分布是离散型的，只要把上述似然函数中的),( 21ki xp 取为)( i xp=就 可以了。 例 正态总体的参数估计，假定已知总体遵从正态分布n()，但参数未知。现 在要用总体的n次观测值x , 2 2 , 1 , x2 , xn求 的最大似然估值。 2 , 解 因为总体的分布密度函数为 2 2 2 )( 2 1 ),( = x exp 因此，似然函数为 2ln 2 ln)( 2 1 ),( 1 2 2 n nxl n i i = = 解方程组 = = 0 0 l l 得 = = n i i x n x 1 1 = = n i i xx n 1 22 )( 1 容易检验确实使 2 , ),(l取到最大值。因此它们分别是的最大似然估值。 2 , 估值好坏的判别标准 1 无偏性 如果参数的估值 x( n 1 , x2 , xn)满足关系式 = n e 则称是 n 的无偏估值。 2 有效性 如果和都是参数 的无偏估值。 dd 则称比有效。进一步，如果固定样本的容量n，使极小值的无偏估值就称为 =d的 有效估值。 3 一致性 如果对任意给定的正数，总有 ()0 lim= n n p 则称的估值是一致的。 n 由契贝谢夫不等式（见1,三）易见，当 0 lim= r n n e 对某成立时，是0r n 的一致估值。 在实用中，往往应用这一充分条件来验证是否是 n 的一致估值。 例 总体分布 未知总体 参 数 总体参数估值 无偏性有效性 一致性 ),( ),( ),( ),( ),( ),( )( ), 1 ( 2 2 2 2 e n n n n bau p pb 2 2 2 2 , , , ,ba p xp = x= n xbxa= , 1 x= = = n i i x n 1 22 )( 1 = = n i i xx n 1 22 )( 1 = = n i i xx n 1 22 )( 1 1 x= 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 4、样本的频率分布 频率分布较完整地反映实验数据的变化规律。建立频率分布的步骤（设样本为x1 ,x2 , xn） 是： （1） 找出最大值与最小值，求得极差 ii xxrminmax=。 （2） 根据样本大小分组，通常大样本分成 1020 组，小样本分成 56 组，再根据组数k 和极差r决定组距c，如果按等距分组，则 c k r 。 （3） 确定分点（常取比原数据的精度高一位） 。 （4） 数出各组的频率 i 。 （5） 计算频率 n i （6） 画直方图（分点为横坐标，频率与组距之比为纵坐标） 。 （7） 如果变量是连续的，则描出光滑曲线，近似的代替总体的分布。 5、总体参数的区间估计 小概率原理 在一次试验中，概率很小（接近于零）的事件认为是实际上不可能发生 的事件；而概率接近于1的事件认为是实际上必然发生的事件。 置信区间与显著性水平 对总体参数（如）进行区间估计（即估计参数的取值 范围）时，如果对于预先给定的很小的概率 2 , ，能找到一个区间( 21, )，使得 )( 21 5=r10% 所以接受h0,即以10%的信度认为甲乙两人的 分析结果无显著差异. 符 号 检 验 表 n 1 5 10 25 (%) n 1 5 10 25 (%) n 1 5 10 25 (%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3 3 4 2 3 4 5 2 4 4 5 3 4 5 6 3 4 5 6 3 5 5 6 4 5 6 7 4 5 6 7 4 6 7 8 5 6 7 8 5 7 7 9 6 7 8 9 6 7 8 10 6 8 9 10 7 8 9 10 7 9 10 11 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 7 9 10 11 8 9 10 12 8 10 11 12 9 10 11 13 9 11 12 13 9 11 12 14 10 12 13 14 10 12 13 14 11 12 13 15 11 13 14 15 11 13 14 16 12 14 15 16 12 14 15 17 13 15 16 17 13 15 16 18 13 15 16 18 14 16 17 19 14 16 17 19 15 17 18 19 15 17 18 20 15 18 19 20 16 18 19 21 16 18 20 21 17 19 20 22 17 19 20 22 17 20 21 23 18 20 21 23 18 21 22 24 19 21 22 24 19 21 23 25 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 20 22 23 25 20 22 24 25 20 23 24 26 21 23 24 26 21 24 25 27 22 24 25 27 22 25 26 28 22 25 26 28 23 25 27 29 23 26 27 29 24 26 28 30 24 27 28 30 25 27 28 31 25 28 29 31 25 28 29 32 26 28 30 32 26 29 30 32 27 29 31 33 27 30 31 33 28 30 32 34 28 31 32 34 28 31 33 35 29 32 33 35 29 32 33 36 30 32 34 36 30 33 34 37 31 33 35 37 31 34 35 38 31 34 36 38 32 35 36 39 注 表中数字表示对应于符号和n与显著性水平的符号限。 r 秩和检验法 此法比符号检验法的精度要高,能更好的利用数据提供的信息,并且不要求数 据“成对”.其步骤用例说明如下: 例 对用甲乙两种材料制成的产品进行寿命试验,得 甲 1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙 1580 1600 1640 1640 1700 问两种材料对产品质量的影响有无显著差异? 解 把上述数据从小到大排成下表: 秩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲 乙 1610 1650 1680 1700 1720 1750 1800 1580 1600 1640 1640 1700 上表中第一行秩表示从小到大排列的序数,数据1700甲乙均有,排在8,9两个序位,其秩 按平均秩取为5 . 8 2 98 = + 。 统计假设检验步骤 过 程 分 析 （1） 假设h0 （2） 统计量 （3） 给出显著性水平 （4） 查出置信限 （5） 计算统计量 （6） 统计推断 当 ttt =aaey bxo 设x = x , y = ylg 则 xebay)lg(lg+= (x , y)在单对数坐标纸上成一直 线 xbaylg3+= o 设 yyxx=,lg 则 bxay+= (x , y)在单对数坐标纸上成一直 线 )0(4=aaey x b o 设 x x 1 = yylg= 则 xebay)lg(lg+= )0( 1 5 + = a bea y x o 设 x ex = y y 1 = 则 bxay+= caxy b += o 6 曲线与类型相同，只是在轴方 向上作了移动， 首先在给定的曲线上 取三点： , o 1 y ),(),( 2211 yxyx 213 (xxx = , 3 y ),则 321 2 321 2yyy yyy c + = c确定后，设 )lg( lg cyy xx = = 则 bxay+= 曲 线 类 型 化直线型的变量替换 caey bx += o 7 曲线与类型相同，只是在轴方 向上作了移动， 首先在给定的曲线上 取三点： o 2 y ),( 11 yx ),( 22 yx ), 2 ( 3 21 3 y xx x + = 则 321 2 321 2yyy yyy c + = 确定后，设 xxlg= )lg(cyy= 则 xebay)lg(lg+= )0, 0(8+ + =cac bax x y o 设 x x 1 = cy y = 1 则 bxay+= )0( 1 9 + =a bax y o 设 x x 1 = y y 1 = 则 axby+= = + + =010 dc ba d dcx bax y o 在曲线上取一点(x0 , y0) 设x = x 0 0 yy xx y = 则 bxay+= 用回归直线法， 从已给数据可定 出a和b cbxaxy+= 2 11o 在曲线上取一点(x0 , y0) 设x = x 0 0 xx yy y = 则 axaxby+=)( 0 曲 线 类 型 化直线型的变量替换 cbxax y + = 2 1 12o 设x = x y y 1 = 则可化为类型11 cbxaxy+= 22 13o 设x = x y = y2 则可化为类型11 cbxax x y + = 2 14o 设x = x y x y = 则可化为类型11 2 15 x c x b ay+= o 设 x x 1 = yy = 则可化为类型11 2 16 dxcxb aey + = o 设x = x yylg= 则 2 )lg()lg( lglg xedxec ebay + += 化为类型11 cxbe axy = o 17 若给定的x值构成以h为公差的 等差级数，则设 xxlg= （取值） ii xxlglg 1+ yylg= （取值） ii yylglg 1+ 而得直线型 bxehcy+=lg dxbx ceaey+= o 18 若给定的x值构成以h为公差的 等差级数，设u1= x+h , u2 = x+2h，其对应的y值为v1 ,v2 又设 y v y y v x 21 ,= 而得 dhbhdhbh eexeey+=)( 由此用回归直线法定出 b , d 后，再设 dxxdb yee =, )( 则得 ca+= 5、二元线回归 回归方程 对应自变量x1与x2的值 ynixx ii ), 2 , 1(, 21 l= 的值为， 于是 得到n个点，其回归方程为 ), 2 , 1(niyil= ), 2 , 1)(,( 21 niyxx iii l= 2211 xbxbay+= 式中为回归系数，它由下面方程决定： 21,b b =+ =+ 20222121 10212111 lblbl lblbl 这里 2 1 1 1 2 1 1 2 1111 1 )( = = n i i n i i n i i x n xxxl = = n i n i i n i ii x n xxxl 1 2 1 2 1 2 2 2 2222 1 )( = = = = n i i n i i n i ii n i ii xx n xx xxxxll 1 2 1 1 1 21 1 22112112 1 )( = = n i i n i i n i ii n i ii yx n yxyyxxl 11 1 1 1 1 1110 1 )( = = n i i n i i n i ii n i ii yx n yxyyxxl 11 2 1 2 1 2220 1 )( = = n i i x n x 1 11 1 = = n i i x n x 1 22 1 = = n i i y n y 1 1 而其中是为了简化计算所作的数据变换（不需整数化） ，即 ii xx 21 , 222111 ,axxaxx iiii = （1）式中的常数项 2211 xbxbya= 复相关系数和偏项关系数 00 l s r 回 = 称为复相关系数，式中 2 11 2 1 2 00 202101 1 )( = += = n i i n i i n i i y n yyyl lblbs回 这里如(2)所示。复相关系数r满足 2000,l l 10 r ，其意义与一元线性回归分析中的相关系数r 类似，用于衡量y与x1 , x2的线性关系的密切程度。 如果只要表示y与其中某一个变量(x1或x2)的相关关系，那末必须除去另一个变量的影响之 后再计算它们的相关系数，这称为偏相关系数。x1,y在除去x2的影响之后的相关系数称为x1,y对 x2的偏相关系数，记作，它可用普通的相关系数表示： 21 ,xyx r yxyxxx rrr 2121 , 22 , 221 2211 21 11 yxxx yxxxyx xyx rr rrr r = 同样的，对的偏相关系数表为 yx , 212 ,xyx r 22 , 112 1122 12 11 yxxx yxxxyx xyx rr rrr r = 剩余标准差 33 00 = = n sl n s s 回余 称为剩余标准差，其意义同一元线性回归分析中的剩余标准差s类似。 标准回归系数与偏回归平方和 在两因素x1 , x2之间关系不密切的情况下，可用下述方法 判断哪个因素是主要的。 1 00 11 11 l l bb = 00 22 22 l l bb = 称为标准回归系数，式中b1,b2为回归系数，l11, l22如（2）所示, l00如（4）所示。若 21 bb ， 则表明在影响变量的两个因素中，x1是主要因素，x2是次要因素。 2 = 22 2 12 11 2 11 l l lbp = 11 2 12 22 2 22 l l lbp 称为偏回归平方和，式中b1 , b2为回归系数，l11,l12,l22如(2)所示。若p1p2，则表明是x1主要因素， x2是次要因素。 t值 , 1 1 s p t = s p t 2 2 = 分别称为x1 , x2的t值，式中s为剩余标准差，p1 , p2为偏回归平方和。若t值越大，则表明该因素 越重要。根据经验，当 ti1时，该因素xi对y有一定的影响；当ti2时，该因素xi看作是重要因素； 当ti 当 ff 时，认为回归 不显著，线性 相关不密切。 总平 方和 = 2 )(yys i n-1 标准回归系数与偏回归平方和 标准回归系数 00 l l bb ii ii = ), 2 , 1(mil= 偏回归平方和 ii i i c b p 2 = ), 2 , 1(mil= t值 s p t i i = ), 2 , 1(mil= 多元线性回归分析与二元的情况类似，但计算量较大，可借助电子计算机来完成。 五、正交试验设计 正交表与正交试验 正交表是根据组合理论，按照一定规律构造的表格，它在试验设 计中有广泛的应用。以正交表为工具安排试验方案和进行结果分析的试验称为正交试验。它 适用于多因素、多指标（试验需要考察的结果） 、多因素间存在交互作用（因素之间联合起作 用） 、 具有随机误差的试验。 通过正交试验， 可以分析各因素及其交互作用对试验指标的影响， 按其重要程度找出主次关系，并确定对试验指标的最优工艺条件。在正交试验中要求每个所 考虑的因素都是可控的。在整个试验中每个因素所取值的个数称为该因素的水平。 正交表的符号为，其中)( c a bll表示正交表；下标是正交表的行数，表示试验次数；c 是正交表的列数，表示试验至多可以安排的因素个数；b是表中不同数字的个数，表示每个 因素的水平数。例如,8 表示正交表中有 8 行，即安排试验的次数为 8 次；7 表示正交 表中有 7 列，试验至多可安排 7 个因素（包括交互作用的因素） ；2 表示每个因素只有两个水 平。这种正交表称为 2 水平型的正交表。 a )2( 7 8 l 又如，表示正交表中共有 12 行，4 列，其中有一列是 3 水平的，有 3 列是 2 水平的。它称为混合型的正交表，可用来安排因素水平不同的试验。 )23( 3 12 l 正交表的交互列 任意两列分别安排了两个因素之后，这两个因素的交互作用可用表 的其他列表示出来，称为交互列。交互列在 2 水平型正交表中只有一列，在 3 水平型正交表 中有两列，例如，任意两列的交互列是另外两列。通常低水平（水平数为 2 或 3）的 正交表有另外专表写出交互列，例如的交互列表，指出第 3 列与第 5 列的交互列即是 第 6 列等等。有些正交表，例如，任意两列的交互列都不在表内，对这样的正交表就 不能考虑因素间的交互作用了。 )3( 4 9 l )2( 7 8 l )2( 11 12 l 手册后面备有常用正交表。 )2( 7 8 l 的交互列表 1 2 3 4 5 6 7 列号 （1） 3 2 5 4 7 6 （2） 1 6 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 1 2 3 4 5 6 （7） 7 正交表的正交性 正交表具有正交性： 1 在任意一列中，每个水平的重复次数都相等，例如中每列的每个水平都重复 4 次。 )2( 7 8 l 2 任意两列中，同行数字（水平）构成的数对，包含着所有可能（该水平下）的数对, 而每个数对重复次数相等。例如在中任意两列构成的数对都包含着 3 水平下所有可能 的数对： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， 而且每个数对重复次数都等于 1。 )3( 4 9 l 由于正交性，使得所安排的正交试验，均衡分散，整齐可比。 试验方案的制定步骤与安排方法 1 步骤 （1） 确定试验中变化因素的个数及每个因素变化的水平。 （2） 根据专业知识或经验，初步分析各因素之间的交互作用，确定哪些是必须考虑的， 哪些是暂时可以忽略的。 （3） 根据试验的人力、设备、时间及费用，确定可能进行的大概试验次数。 （4） 选用合适的正交表，安排试验。 2 安排方法 （1） 在不考虑交互作用时，把因素逐个安排在正交表的任意列上，那末每次试验（对