（高等数学）代数、三角公式与初等函数.pdf

第一章 代数、三角公式与初等函数 第一章 代数、三角公式与初等函数 这里收集和整理了初等代数(代数方程部分见第三章)， 平面三角与球面三角的一些常用 公式，同时也介绍了一些常见的初等函数(一个实自变量)的简单性质与图形，所以本章基本 上包括了中等学校里的代数学和三角学的主要内容. 1 代 数 公 式 1 代 数 公 式 一、 数的扩张、分类及其基本运算规则 1. 数的扩张与分类表 2. 实数四则运算规则 加减法规则 同号两数相加，绝对值相加，符号与加数同；异号两数相加，绝对值相减 (大的减小的)，符号与绝对值大的加数同；任何实数和零相加，等于实数本身.减法是加法的 逆运算，两个数相减只要把减数变成同它符号相反的数，即可按加法规则运算. 乘除法规则 同号两数相乘，绝对值相乘，符号为正；异号两数相乘，绝对值相乘，符 号为负；任何数与零相乘等于零；任何数与 1 相乘等于它自己.除法是乘法的逆运算，同号两 数相除，绝对值相除，符号为正；异号两数相除，绝对值相除，符号为负；任何数除以 1 等 于它自己；零除以任何不等于零的数等于零；零不能做除数. 四则混合运算规则 先乘除，后加减；先括号内，后括号外. 3. 数的三个基本运算律 交换律 abba+=+baab = 结合律 )()(cbacba+=+ )()(bcacab= 分配律 bcaccba+=+ )( 4. 乘方与开方 乘方 n个数a相乘 n aaaa=l n个 称为a的n次(乘)方，又称为a的n次幂.a称为幂底数，n称为幂指数. 从乘法的符号规则直接得出乘方的符号规则：正数的任何次方为正数；负数的偶次方为 正数；负数的奇次方为负数；零的任何次方为零. 规定不等于零的数的零次方等于 1，即a 0=1，a0. 开平方 若a 2=b，则a称为b的平方根，记为 ba=，求平方根的运算称为开平方.开 平方的一般方法用下面例子说明. 例 求316.4841的平方根. 解 第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号“， ”分段，如把数 316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数 字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为1 =13 2 .第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在 本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20初商+试商)试商不超过第一余数，而20 初商+(试商+1)(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20初商+试商)试商， 并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去， 直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某 一精度的近似值.第六步， 定小数点位置， 平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐. 本例的算式如下： 开立方 若a 3=b，则a称为b的立方根，记为 3 ba =，求立方根的运算称为开立方. 一个数的平方根和立方根可从“平方根表”和“立方根表”中查到. 5. 实数进位制 进位制的基与数字 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数， 各数字的值与 数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大 10 倍，当小数点向左 移一位时其值缩小 10 倍.例如 3212 1061041023107101246.173 += 一般地，任一正数 a 可表为 l l ll + += = 2 2 1 1 01 1 1 21011 1010 101010 aa aaaa aaaaaaa n n n n nn 这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在0,1,2,l,9中取值，称为10进 数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当 作进位制的基，于是就得到q进数表示 llll+= 2 2 1 101 1 121011)( qaqaaqaqaqaaaaaaaa n n n nnnq (1) 式中数字ai在0,1,2,l,q-1中取值，anan-1la1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作a(q); a-1a-2l称为a(q)的分数部分，记作a(q).常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16 进制等，其数字如下 2进制 0, 1 8进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 5, 4, 3, 2, 1, 0 2，8，16进制的加法与乘法表 2进制加法表 2进制乘法表 + 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 8进制加法表 + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 00 01 02 03 04 05 06 07 1 01 02 03 04 05 06 07 10 2 02 03 04 05 06 07 10 11 3 03 04 05 06 07 10 11 12 4 04 05 06 07 10 11 12 13 5 05 06 07 10 11 12 13 14 6 06 07 10 11 12 13 14 15 7 07 10 11 12 13 14 15 16 8进制乘法表 0 1 2 3 4 5 6 7 0 00 00 00 00 00 00 00 00 1 00 01 02 03 04 05 06 07 2 00 02 04 06 10 12 14 16 3 00 03 06 11 14 17 22 25 4 00 04 10 14 20 24 30 34 5 00 05 12 17 24 31 36 43 6 00 06 14 22 30 36 44 52 7 00 07 16 25 34 43 52 61 16进制加法表 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 0 00 01 02 0304 05 06070809 001020 30 4050 1 01 02 03 0405 06 070809 000120 30 40 50 10 2 02 03 04 0506 07 0809 0010 203040 50 1011 3 03 04 05 0607 08 09 0010 203040 50 10 1112 4 04 05 06 0708 09 0010 20304050 10 11 1213 16进制加法表 5 05 06 07 0809 00 10 20304050 10 11 12 1314 6 06 07 08 09 00 10 20304050 1011 12 13 1415 7 07 08 09 00 10 20 304050 101112 13 14 1516 8 08 09 00 10 20 30 4050 10111213 14 15 1617 9 09 00 10 20 30 40 50 1011121314 15 16 1718 0 00 10 20 30 40 50 101112131415 16 17 1819 1 10 20 30 40 50 10 111213141516 17 18 19 01 2 20 30 40 50 10 11 121314151617 18 19 0111 3 30 40 50 1011 12 131415161718 19 01 1121 4 40 50 10 1112 13 141516171819 01 11 2131 5 50 10 11 1213 14 1516171819 01 11 21 3141 16 进制乘法表 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 0 00 00 00 0000 00 000000000000 00 00 0000 1 00 01 02 0304 05 06070809 001020 30 4050 2 00 02 04 0608 00 2040 10121416 18 01 2141 3 00 03 06 09 20 50 121518 1141 21 24 27 0232 4 00 04 08 20 10 14 18 21 202428 22 30 34 38 23 5 00 05 00 50 14 19 41 2328 32 3237 23 41 46 14 6 00 06 20 1218 41 24 02 3036 23 42 48 44 54 05 7 00 07 40 15 21 23 02 3138 53 46 34 54 15 6269 8 00 08 10 1820 28 303840485058 60 68 7078 9 00 09 12 11 24 32 36 53 4851 05 63 26 75 47 87 0 00 00 14 41 28 32 23 4650 05 64 46 78 82 28 96 1 00 10 16 21 22 37 42 34 5863 46 79 84 58 0950 2 00 20 18 2430 23 485460 26 7884 90 29 8041 3 00 30 01 2734 41 4415 687582 58 29 90 6132 4 00 40 21 02 38 46 546270 472809 80 61 4223 5 00 50 41 32 23 14 05 69788796 50 41 32 2314 8-2，16-2数字转换表 8进数 0 1 2 3 4 5 6 7 2进数 000 001 010 011 100 101 110 111 16进数 0 1 2 3 4 5 6 7 2进数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 16进数 8 9 0 1 2 3 4 5 2进数 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 各种进位制的相互转换 1 q?10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为 10进数表示.例如 )10( 32123 )2( )10( 2 )8( 625.11 2120211212021101.1011 48333244838487743 = += =+=+= 2 10?q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是： (1) 用q去除a(10)，得到商和余数. (2) 记下余数作为q进数的最后一个数字. (3) 用商替换a(10)的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止. 对于分数部分其步骤是： (1)用q去乘a(10). (2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字. (3)用乘积的分数部分替换a(10)的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或 直到所需要的位数为止.例如： 103.118(10)=147.074324l(8) 整数部分的草式 分数部分的草式 3 p?q转换 通常情况下其步骤是：a(p)?a(10)?a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤 是：a(p)?a(s)?a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其 步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组) 127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2) 然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对 应的16进数的数字，即 )10()2()8( 583.57100001011101.01110101653.127= 二、复数 1. 复数的概念 实部与虚部模与辐角共轭复数 复数z一般表示为z=a+ib，其中1=i称为虚数 单位，a和b均为实数，分别称为z的实部和虚部，记为a=re z，b=im z. 两个复数只有当实部和虚部分别相等时才相等. 22 baz+=称为复数z的模. a b ztgarcarg=称为复数z的辐角，所以，一个复数有无穷多个辐角，但其中一个叫做主 辐角，记为arg z，它满足 0arg z + = + k aa a kk k 3等比数列与等比（几何）级数 a1, a1q, a1q2, a1q3, l (q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数. 通项公式 1 1 = n n qaa 前n项和 q qaa q qa s n n n = = 11 )1 ( 11 等比中项 )0( 1111 = +kkkkk aaaaa 无穷递减等比级数的和 = = 1 1 1 1 ) 1( 1 n n q q a qas 4算术-几何级数 n q qdq q qdnaa qkda n n k n k ( )1 ( )1 ( 1 ) 1( )( 2 1 1 0 + + =+ = 1) = r) rn d r rnnn d nn dnaa ! )()2)(1( ! 2 )2)(1( ) 1( 211 + += l l 前n项和 rn d r rnnnn d nnn d nn nas )!1( )()2)(1( ! 3 )2)(1( ! 2 ) 1( 211 + + + += l l 7某些级数的部分和 ) 1( 2 1 321+=+nnnl ) 12)(1( 6 1 321 2222 +=+nnnnl 223333 ) 1( 4 1 321+=+nnnl ) 133)(12)(1( 30 1 321 24444 +=+nnnnnnl ) 122() 1( 12 1 321 2225555 +=+nnnnnl ) 1363)(12)(1( 42 1 321 346666 +=+nnnnnnnl )2463() 1( 24 1 321 234227777 +=+nnnnnnnl + =+ 为偶数 为奇数 n n nn n n , 2 ),1( 2 1 ) 1(321 1 l ) 1( 2 1 ) 1() 1(321 121222 +=+ nnn nn l + + =+ 为偶数 为奇数 nnn nnn n n ),32( 4 1 ,) 1)(12( 4 1 ) 1(321 2 2 31333 l ) 1)(1( 2 1 ) 1() 1(321 2141444 +=+ nnnnn nn l ) 1(2642+=+nnnl 2 ) 12(531nn=+l ) 14( 3 1 ) 12(531 22222 =+nnnl ) 12() 12(531 223333 =+nnnl )2)(1( 3 1 ) 1(433221+=+nnnnnl )3)(2)(1( 4 1 )2)(1(543432321+=+nnnnnnnl )4)(3)(2)(1( 5 1 )3)(2)(1(54324321+=+nnnnnnnnnl )!1( )!1( 2 1 )() 1( 1 + + =+ = n kn k kjjj n j l )53)(2)(1( 12 1 ) 1( 1 2 +=+ = nnnnjj n j ) 32)(3)(2)(1( 10 1 )2() 1( 1 2 +=+ = nnnnnjjj n j ) 1( 4 1 )( 22 1 22 = = nnjnj n j 4)2(2) 1(2 21 1 +=+ + = nnjj n n j j 11 1 1 ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 + = + = + + + + n n nnn l )2)(1(2 1 4 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 + = + + + + nnnnn l ) 3)(2)(1(3 1 18 1 ) 3)(2)(1( 1 6543 1 5432 1 4321 1 + = + + + + nnn nnnn l ) 1(2 1 2 1 4 3 1 1 ) 1)(1( 1 2 2 2 + = = + = nnjjj n j n j 12) 12)(12( 1 1 + = + = n n jj n j 13) 13)(23( 1 1 + = + = n n jj n j ) 32)(12(4 1 12 1 ) 32)(12)(12( 1 1 + = + = nnjjj n j )43)(13(6 1 24 1 )43)(13)(23( 1 1+ = + =nnjjj n j )2)(1(2 1 2 2 4 3 )2)(1( 12 1 + + + = + = nnnjjj j n j ) 3)(2)(1( 3 4 ) 3)(2(2 3 3 1 36 29 ) 3)(1( 2 1 + + + = + + = nnnnnnjjj j n j 2 1 2 2 )2)(1( 2 1 1 + = + = njj j n n j j )2(3 4) 1( 3 2 )2)(1( 4 1 1 2 + += + + = n n jj j n n j j n n j j njj j 2) 1( 1 1 2) 1( 2 1 + = + + = n n j j njj j 3) 1( 1 1 3) 1( 32 1 + = + + = + += + + + = + 11 1 1 11 1 ) 1(2 ) 1( 1 3 1 ) 1(2) 1(2 2) 1( nn n n j jjjj jj + + + = + + = b naaa nbbb abjaaa jbbb n j ) 1() 1( )() 1( 1 1 ) 1() 1( ) 1() 1( 1 l l l l 四、乘法与因式分解公式 abxbaxbxax+=+)()( 2 222 2)(bababa+= 32233 33)(babbaaba+= )( 22 bababa+= )( 2233 babababa+=m )()( 122321 为正整数nbabbabaababa nnnnnnn +=l )()( 122321 为偶数nbabbabaababa nnnnnnn +=l )()( 122321 为奇数nbabbabaababa nnnnnnn +=+l cabcabcbacba222)( 2222 +=+ )(3 222333 cabcabcbacbaabccba+=+ 五、分式 1. 分式运算 a b c b ac b = bd bcad d c b a =+ a b c d ac bd = a b c d ad bc = a b a b n n n = )0, 0(=ba b a b a n n n 2. 部分分式 任一既约真分式(分子与分母没有公因子，分子次数低于分母次数)都可唯一地分解成形如 a xa k () 或 0) 根式的乘方 aaa nmmn ()(=0) 根式化简 aaa nm np mp (=0) 1 0 a a a a=() cd ab cdab abab cdab ab + = + + = + ()() ()() ()() cbaba, 0, 0(0,d0) cd ab cdab abab cdab ab + + = + + = + ()() ()() ()() cbaba, 0, 0(0,d0) 同类根式及其加减运算 根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才 可用加减运算加以合并. 八、不等式 1. 简单不等式 1o 若ab，则 )0, 0,( )0, 0, 0( )0, 0, 0( )0( )0( banba banba banba c c b c a bcac c c b c a bcac bcaccbca nn nn nn 为正整数 2o 若 a b c d bb ba 或ba+ + 0 (i=1, 2, l, n)，又r0, r1, 则 ()( ()( ababr ababr ii r i n r i r i n r i r i n r ii r i n r i r i n r i r i n r + + + + 0, bi0 (i=1, 2, l, n).若a1a2lan, 且b1b2lbn, 或 a1a2lan, 且b1b2lbn, 则 111 111 n a n b n a b i i n i i n ii i n = 若a1a2lan而b1b2lbn，则 = n i ii n i i n i i ba n b n a n 111 111 詹生不等式 设ai0 (i=1, 2, l, n)，且01，自然数n1，则 an a n +11() 特别令abb n = 1 1()，则 b b n n 1 1 1 (0)的解 (设) acb4 2 = 0 =0 0 a b x a b x 2 , 2 a b x 2 x2有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，则称 f(x)为a, b中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或递减) 的函数称为非单调函数. 奇函数与偶函数 若对于定义域中的任意 x 恒有()( )xfxf=， 则称 f(x)为奇函数； 若对 于定义域中的任意 x 恒有，则称 f(x)为偶函数. ()(xfxf=) 周期函数与非周期函数 若有一实数 t0，使对定义域中的任意 x 恒有 f(x+t)=f(x)，则 f(x)称为以 t 为周期的周期函数；否则称 f(x)为非周期函数. 单值函数与多值函数 若对于自变量 x 的一个值，因变量 y 有一个而且只有一个值与其 对应，则称 y 为 x 的单值函数.若对于自变量 x 的一个值，与其对应的 y 值不止一个，则称 y 为 x 的多值函数. 初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“基本初等函 数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个 数学式子表示的函数都属于初等函数. 反双曲函数 双曲函数 反三角函数 三角函数 对数函数 指数函数 超越函数 有理函数的根式无理函数 多项式的商有理分式函数 多项式有理整函数 有理函数 代数函数 初等函数 )( )( )( 二、幂函数与有理函数 定义 形如的函数称为幂函数，式中为任意实常数. yx= x 的多项式 ya xa xaxa nn nn =+ 01 1 1 l (a0, a1, l, an为常数，n为自然数) 称为有理整函数. 两个多项式的商 y a xa xaxa b xb xbxb nn nn mm mm = + + 01 1 1 01 1 1 l l 称为有理分式函数. 有理整函数和有理分式函数通称为有理函数，有时用符号 r(x)表示. 幂函数的图形与特征 方程与图形 特 征 曲线通过点(0,0)和(1,1)；当 x1 时，越大曲线 上升越快. 当为偶数，函数为偶函数，在区间(0,)中为递 增函数，在区间(-,0)中为递减函数. 当为奇数，函数为奇函数和递增函数. 曲线通过点(1,1). 当为负偶数，函数为偶函数，在区间(-,0)中 为递增函数，在区间(0, )中为递减函数. 当为负奇数，函数为奇函数和递减函数. 三、指数函数与对数函数 定义 形如的函数称为指数函数. yaaax x = 0，同时所遇到的函数都假设是在定 义域里讨论的. 零与负数没有对数 logaa = 1 loga10=logloglog aa xyxy a =+ logloglog aa x y xy= a loglog aa xx = 对数恒等式 换底公式 ay ay log =log log log a b b y y a = loglog ab ba= 1 常用对数与自然对数 1o 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作 lglogxx= 10 2o 自然对数：以e=2.718281828459l为底的对数称为自然对数，记作 lnlogxx e = 3o 常用对数与自然对数的关系： lgln , lnlgymyy m y= 1 式中m称为模数， me m = = lg. ln. 0434294481903 1 10230258509299 l l 4o 常用对数首数求法： 若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比整数位数少1. 若真数小于1， 则对数的首数为负数， 其绝对值等于真数首位有效数字前面 “0” 的个数(包 括小数点前的那个“0”). 对数的尾数由对数表查出. 四、平面三角函数与反三角函数 1. 角的度量与换算 角度制与弧度制 1o 整个圆周的 1 360 的弧称为含有1度的弧，而1度的弧所对的圆心角称为1度的角.1度 等于60分(记作160 o = )，1分等于60秒(记作 =160).这种用度来度量角的方法称为角度制. 2o 把等于半径长的弧称为含有1弧度的弧， 而1弧度的弧所对的圆心角称为1弧度的角， 这种用弧度来度量角的方法称为弧度制. 度与弧度的换算 弧度与度的关系是 = 180 式中与分别表示同一角的度数与弧度数. 度与弧度换算表 弧度 ( r ) 度 () 分 ( ) 秒 ( ) 1 57.29577951 3437.746771 206264.8063 0.017453293 1 60 3600 0.0002908882 0.016666667 1 60 0.0000048481 0.000277778 0.016666667 1 644.807157r 1 .表中黑体数字为精确值. 度与弧度换算表 度 360 180 90 60 45 30 弧度 2 2 3 4 6 祖率(圆周率) 圆的周长与直径的比值称为圆周率，用表示.由于我国古代南朝的数学 家祖冲之在计算圆周率方面取得辉煌成就，因而圆周率也常称为祖率. = 3141592653589793.l 祖冲之算出的值为3.1415926 + + + yxyx xyyx yxyx xyyx yxxy xyyx 或 ) 1, 0, 0( )11arcsin( ) 1, 0, 0( )11arcsin( ) 10( )11arcsin( 22 22 22 22 22 22 + + yxyx xyyx yxyx xyyx yxxy xyyx 或 arc cos x + arc cos y = arc cos x arc cos y = )0( )11cos( arc2 )0( )11cos( arc 22 22 + + + xyx xy yx xyx xy yx xy xy yx ) 1, 0( 1 arctan ) 1, 0( 1 arctan ) 1( 1 arctan + xyx xy yx xyx xy yx xy xy yx 2 arc sin x = 2 arc cos x = 0. 2 cos 2 cos 2 cos2 )sin()sin()sin( ppppsin 2 sin = 式中)( 2 1 +=p. 球面三角形面积 球面三角形abc(图1.7阴影部分)的面积s = r2. 2. 球面三角形基本定理与公式 正弦定理 cbasin sin sin sin sin sin = 余弦定理 边：acossinsincoscoscos+= 角：cossinsincoscoscoscbcba+= 余切定理 边：cacsincotcoscossincot+= 角：coscossincotsincotbba= 正切定理 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan + = + ba ba 五元素公式 边：abcoscossinsincoscossin= 角：coscossinsincoscossincbcba+= 半角公式 )sin(sin )sin()sin( 2 tan sinsin )sin(sin 2 cos, sinsin )sin()sin( 2 sin = = = pp ppa ppappa 式中)( 2 1 +=p. 半边公式 )cos()cos( )cos(cos 2 tan sinsin )cos()cos( 2 cos, sinsin )cos(cos 2 sin cpbp app cb cpbp cb app = = = )( 2 1 cbap+= 德兰布-高斯公式 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin, 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin c ba c ba = = + 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos, 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos c ba c ba + = + = + 耐普尔公式 2 sin 2 tan 2 sin 2 tan, 2 cos 2 tan 2 cos 2 tan 2 sin 2 cot 2 sin 2 tan, 2 cos 2 cot 2 cos 2 tan ba ba ba ba c ba c ba + = + = + + = + = + 3. 球面三角形解法 一般球面三角形计算公式 已知元素 求解公式 三边： , , )( 2 1 , sin )sin()sin()sin( )sin( 2 cot, )sin( 2 cot, )sin( 2 cot += = = = = p p ppp m m pc m pb m pa 式中 三角： a , b , c )( 2 1 cos )cos()cos()cos( )cos( 2 tan, )cos( 2 tan, )cos( 2 tan cbap p cpbpap m m cp m bp m ap += = = = = 式中 已知元素 求解公式 两边及夹角： , , c 2 cos 2 tan 2 cos 2 tan ., 2 cot 2 sin 2 sin 2 tan 2 cot 2 cos 2 cos 2 tan ba ba ba cba cba + = + = + = + 解出 由 两角及夹边： a , b , 2 cos 2 cot 2 cos 2 tan ., 2 tan 2 sin 2 sin 2 tan 2 tan 2 cos 2 cos 2 tan + + = + = + = + ba c ba ba ba ba 解出 由 两边及一对角： , , a 2 cos 2 tan 2 cos 2 tan 2 cos 2 cot 2 cos 2 tan sin sinsin sin ba ba ba c a b + = + + = = 两角及一对边： a , b , 2 cos 2 cot 2 cos 2 tan 2 cos 2 tan 2 cos 2 tan, sin sinsin sin + + = + = ba c ba ba a b 球面直角三角形计算公式 已知元素 求解公式 已知元素 求解公式 斜边及一角： , a ab a a tancoscot costantan sinsinsin = = = 两直角边： , cotsincot sincotcot coscoscos = = = b a 一直角边及其对 角： , a a cos cos sin sin sin sin cottansin a b a = = = 斜边及一直角边： , cottancos sin sin sin cos cos cos = = = b a 一直角边及其邻 角： , b ba b b sincoscos coscotcot tansintan = = = 两角： a , b ba a b b a cotcotcos sin cos cos sin cos cos = = = 计算时，应尽量利用含未知元素的正切(或余切)的公式，应避免采用正弦的公式，计算结 果可代入正弦定理公式进行验算. 六、双曲函数 1. 双曲函数的定义、图形与特征 双曲函数定义 函数 双曲正弦 sh x 双曲余弦 ch x 双曲正切 th x 双曲余切 cth x 双曲正割 sech x 双曲余割 csch x 定义 2 xx ee 2 xx ee + xx xx ee ee x x + = ch sh xx xx ee ee x x + = sh ch xx ee x + = 2 ch 1 xx ee x = 2 sh 1 双曲函数的图形与特征 双曲正弦曲线 双曲余弦曲线 xysh=xych= 曲线关于原点对称. 曲线关于y轴对称. 拐点（同曲线对称中心）： 顶点（同极小值点）： ) 1 , 0(a ，该点切线斜率为1 )0 , 0(o 双曲正切曲线 双曲余切曲线 xyth=xycth= 曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：0=x ，该点切线斜率为1 渐近线：)0 , 0(o1, 0=yx 渐近线： 1=y 双曲正割曲线 双曲余割曲线 xysech=xycsch= 曲线关于y轴对称. 曲线关于原点对称. 顶点（同极大点）： 不连续点： ) 1 , 0(a0=x 拐点： 2 2 , 2 2 thar b 渐近线：0, 0=yx 2 2 , 2 2 tharc 渐近线：0=y 2. 双曲函数的相互关系和基本公式 双曲函数的相互关系 sh x = a ch x = a th x = a cth x = a sech x = a csch x = a sh x = a 1 2 a 2 1a a 1 1 2 a a a21 a 1 ch x = 2 1a+ a 2 1 1 a 1 2 a a a 1 a a 2 1+ th x = 2 1a a + a a1 2 a a 1 2 1 a 2 1 1 a+ cth x = a a 2 1+ 1 2 a a a 1 a 2 1 1 a 2 1a+ sech x = 2 1 1 a+ a 1 2 1 a a a1 2 a 2 1a a + csch x = a 1 1 1 2 a a a 2 1 1 2 a 2 1a a a 1cschcth, 1thsech, 1shch 1cthth,cth sh ch ,th ch sh 222222 =+= = xxxxxx xxx x x x x x 双曲函数基本公式 和差的双曲函数 yx yx yx yx yx yx yxyxyx yxyxyx cthcth cthcth1 )cth( thth1 thth )th( shshchch)ch( shchchsh)sh( = = = = 双曲函数的和差 yx yx yx yx yx yx yxyx yx yxyx yx yxyx yx shsh )sh( cthcth chch )sh( thth 2 sh 2 sh2chch 2 ch 2 ch2chch 2 ch 2 sh2shsh = = + = + =+ = m 倍 元 公 式 x x x x x x xxx xxx xxx xxx cth2 cth1 2cth th1 th2 2th ch3ch43ch chsh2ch sh4sh33sh chsh22sh 2 2 3 22 3 + = + = = += += = 半 元 公 式 x x x xx x x x xx xx x x xx sh 1