《数学分析（三）》知识点整理.pdf

数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 - 1 - 数学分析（3） 复习资料 数学分析（3） 复习资料 第十三章 函数列与函数项级数（5%） 第十三章 函数列与函数项级数（5%） 1 （1）函数列收敛域为( ),1,2, n n fxxn( 1,1，极限函数为 0,1, ( ) 1,1. x f x x （2）函数列 sin ( ),1,2, n nx fxn n 收敛域为(,) ，极限函数为( )0f x 2 （1）函数列在(0 2 ( ),1,2, nx n fxnxen ,)上不不 一致收敛 （2）函数列 2 2 1 ( ),1,2, n fxxn n 在( 1,1)上一致收敛 （3）函数列 22 ( ),1,2, 1 n x fxn n x 在(,上一致收敛 ) （4）函数列( ),1,2, n x fxn n 在0上不不 一致收敛 ,) （5）函数列( )sin,1,2, n x fxn n 在上不不 一致收敛 (, ) 3 （1）函数项级数 0 n n x 在( 1上不不 一致收敛 ,1) （2）函数项级数 2 sinnx n ， 2 cosnx n 在上一致收敛 (, ) （3）函数项级数 (1)! n x n 在上一致收敛 , r r （4）函数项级数 12 2 ( 1) (1) n n x x 在(,上一致收敛 ) （5）函数项级数 n n x 在 1 1 r xr r 上一致收敛 上 不 一致收敛 （6）函数项级数 2 n x n 在上一致收敛 0,1 （7）函数项级数 1 2 ( 1)n xn 在上一致收敛 (, ) （8）函数项级数 2 21 (1)n x x 在(,上不不 一致收敛 ) 第十四章 幂级数（10%） 第十四章 幂级数（10%） 1对于幂级数，若 0 n n n a x lim n n n a （ 1 lim n n n a a ） 则（i）当0时，收敛半径R ，收敛域为(,) ； 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 - 2 - （ii）当 时，收敛半径，仅在0R 0x 处收敛； （iii）当0 时，收敛半径 1 R ，收敛域为(, )R R，还要进一步讨论区间端点xR 处的敛散性 2幂级数展开式： （1） ( ) 2 (0)(0)(0) ( )(0) 1!2! n n fff f xfxxx n （2） 0 1 1 n n x x ， 0 1 ( 1) 1 nn n x x (1x) （3） 2 (1)(1)(1) )1 2! mn m mm mm n xmxxx n ( 11)x 1 1 1 ， 11 101 01 m m m 时，收敛域为（， ） 时，收敛域为（， 时，收敛域为， (1 （4） 1 1 10 ( 1)( 1) ln(1)( 11) 1 nnn n nn x xxx nn ， 1 ln(1) n n x x n ( 11)x （5） 21 0 ( 1) sin (21)! n n n xx n ， 2 0 ( 1) cos(sin ) (2 )! n n n xxx n ()x （6） 1 0 ( 1) arctan( 11) 21 n n n xxx n （7） 0 () ! n x n x n ex 3幂级数的和函数 （1）(1)(0,1,2,k 1 k n n k x xx x ) （2） () ( 1)(1) 1 k nn n k x xx x ) (0,1,2,k （3） 1 ln(1) n n x x n ( 11)x （4） 1 2 111 1 () 1(1) nnn nnn x nxxx xx (1x) （5） 2 23 ) 211 11 (1)() 1(1)(1 nnn nnn x n nxxx xxx (1x ) 第十五章 傅里叶级数（10%） 第十五章 傅里叶级数（10%） ( )f x是以2为周期且在, 上可积的函数： 1 0 1 ( )(cossin) 2 nn n a f xanxbnx ， 0 1 ( )af x dx， 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 - 3 - 1 ( )cos n af xnx dx， 1 ( )sin n bf xnx dx1,2,n， 2 0 1 ( )cossin 2 nn n an xn x f xab ll ， 0 1 ( ) l l af x l dx， 1 ( )cos l n l n x af xdx ll ， 1 ( )sin l n l n x bf xdx ll ，1,2,n 3 （1）偶函数的傅里叶级数： 0 1 ( )cos 2 n n an x f xa l ， 0 12 ( )cos( )cos ll n l n xn x af xdxf xdx llll ， 1,2,n 0 1 ( )cos 2 n n a f xanx ， 0 12 ( )cos( )cos n af xnxdxf xnxd x，1,2,n （2）奇函数的傅里叶级数： 1 ( )sin n n n x f xb l ， 0 12 ( )sin( )sin ll n l n xn x f xdxf xdx llll b 1,2,，n 1 ( )sin n n f xb nx， 0 12 ( )sin( )sin n b，f xnxdxf xnxdx 1,2,n 第十六章 多元函数的极限与连续（5%） 第十六章 多元函数的极限与连续（5%） 1若累次极限 00 lim lim( , ) xxyy f x y ， 00 lim lim( , ) yy xx f x y 和重极限 00 ( , )(,) lim( , ) x yxy f x y 都存在，则三者相等 2若累次极限 00 lim lim( , ) xxyy f x y 与 00 lim lim( , ) yy xx f x y 存在但不相等，则重极限 00 ( , )(,) lim( , ) x yxy f x y 必不存在 3 22 22 ( , )(0,0) lim0 x y x y xy ， 22 22 ( , )(0,0) 1 lim x y xy xy ， 22 22( , )(0,0) lim2 11 x y xy xy ， 22 ( , )(0,0) 1 lim()sin0 x y xy xy ， 22 22 ( , )(0,0) sin() lim1 x y xy xy 第十七章 多元函数微分学（20%）第十七章 多元函数微分学（20%） 1全微分： zz dzdxdy xy 2 z zz xy xy xxyy t t sts sts zzxzy s y t sx sy zzxz txty 3若函数f在点可微，则 0 Pf在点沿任一方向的方向导数都存在，且 0 P 000 (,)l xyz 0000 ()()cos()cos()cos lxyz f PfPfPfP，其中cos，cos，cos为方向l x的方向余弦， 000 (,)yz 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 - 4 - 即 0 22 000 cos x 2 xyz ， 0 22 000 cos y 2 xyz ， 0 22 000 cos z 2 xyz 4若( , , )f x y z在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量 0000 (,)P xyz 000 (),(),() xyz fPfPfP为函数f在点的 梯度， 记作 0 P 000 (),()ad) z (), xy grfPfPfPf 向量gradf的长度 （或模） 为 22 ( 2 000 gra)(d() xy fPfffPP) z 5设，(,zf xy xy)f有二阶连续偏导数，则有 121 1 z 2 12 () z fyfzx x yyy 2 ffyfyf x ， 1112221222111222 1(1)()ffxfy ffxffxy fxyf 6设，令 00 ()()0 xy fPfP 0 () xx fPA， 0 () xy fPB， 0 () yy fPC， 则（i）当，时， 2 0ACB0Af在点取得极小值； 0 P （ii）当， 2 0ACB0A时，f在点取得极大值； 0 P （iii）当时， 2 0ACBf在点不能取得极值； 0 P （iv）当时，不能肯定 2 0ACBf在点是否取得极值 0 P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%） 第十八章 隐函数定理及其应用（10%） 1隐函数，则有( , )0F x y x y Fdy dxF 2隐函数，则有( , , )0F x y z x z Fz xF ， y z F z yF ( , , , )0 ( , , , )0 F x y u v G x y u v 3隐函数方程组： ，有 xyuv xyuv FFFF FFFFxyuv GGGGGGGG xyuv ， 则 uv uv uv FF J GG ， xv xv xv FF J GG ， ux ux ux FF J GG ， yv yv yv FF J GG ， uy uy uy FF J GG ， xv uv Ju xJ ， ux uv Jv xJ ， yv uv J u yJ ， uy uv J v yJ 4平面曲线平面曲线在点的切线切线 方程为( , )0F x y 000 (,)P xy 000000 (,)()(,)()0 xy F xyxxF xyyy， 法线法线 方程为 000000 (,)()(,)()0 yx F xyxxF xyyy 5空间曲线空间曲线：在点处的 L ( , , )0 ( , , )0 F x y z G x y z 0000 (,)P xyz 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 - 5 - 切线切线 方程为 00 zxyzxy zxyzxy 0 xxyyzz FFFFFF GGGGGG 0 0 000 ()()()0 xyz F xxFyyF zz ， 法线法线 方程为 00 ()()() yzxyzx yzxyzx FFFFFF xxyyzz GGGGGG 6曲面曲面在点处的切平面切平面 方程为( , , )0F x y z 0000 (,)P xyz， 法线法线 方程为 00 xy 0 z xxyyzz FFF 7条件极值条件极值例题：求函数在约束条件 22 uxyz 222 zxy与4xyz下的最大值和最小值 解：令， 22222 ( , , , , )()(4)L x y zxyzzxyxyz 则由，得稳定点 22 220 22 2 0 40 x y z Lxx Lyy Lz Lzxy Lxyz 0 0 1 1 2 x y z 及 2 2 8 x y z ， 故当1xy，时函数在约束条件下取得最小值， 2z 22 uxyz 2 8z 2 6 当，时函数在约束条件下取得最大值 2xy 22 uxyz72 第十九章 含参量积分（5%） 第十九章 含参量积分（5%） 1，； 1 0 ( ) sx sxe dx0s (1)(ss) s ； 1 ( ) 2 ； 1(21)! () 22n n n ， 1( 1) 2 () 2(21)! nn n n 2 1 11 0 ( , )(1) pq p qxx )dx(0,0pq ；( , )( , )p qq p ； 1 ( , )( ,1) 1 q p qp q pq ；(0,1pq ) 1 ( , )(1, ) 1 p p qpq pq ) ； (1,0pq (1)(1) ( , )(1,1) (1)(2) pq p qpq pqpq (1,1pq ) 3 ( ) ( ) ( , ) () pq p q pq (0,0pq ) 第二十章 曲线积分（5%） 第二十章 曲线积分（5%） 1设有光滑曲线：L ( ), ( ), xt yt t , ，函数( , )f x y为定义在L上的连续函数，则 22 ( , )( ( ),( )( )( ) L f x y dsftttt dt ； 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 - 6 - 当曲线由方程L( )yx， , xa b表示时， 2 ( , )( ,( ) 1( ) b La f x y dsf xxx dx 2 设平面曲线：L ( ), ( ), xt yt t , ， 其中( ) t， 在 , 上具有一阶连续导函数， 且( ( ), ( )A ，( ( ),( )B 又设与为上的连续函数，则沿L从A到( , )P x y( , )Q x yLB的第二型曲线积分 ( , )( , ) ( ( ),( )( )( ( ),( )( ) L P x y dxQ x y dyPtttQttt dt 第二十一章 重积分（20%） 第二十一章 重积分（20%） 1若( , )f x y在平面点集 12 ( , )( )( ),Dx y y xyyx axb（x型区域）上连续，其中 1( ) y x， 2( ) yx在 ,上 连续，则 a b 2 1 ( ) ( ) ( , )( , ) byx ayx D f x y ddxf x y dy ，即二重积分可化为先对y，后对x的累次积分 若 12 ( , )( )( ),Dx y x yxxy cyd，其中 1( ) x y， 2( ) xy在上连续，则二重积分可化为先对 ,c dx，后 对y的累次积分 2 1 ( ) ( ) ( , )( , dxy cxy D )f x y ddyf x y d x 在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、 下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数 2格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有( , )P x y( , )Q x yD() L D QP dPdxQdy xy （或 L D xy dPdxQdy PQ D） ，这里为区域的边界曲线，并取正方向 L 3设是单连通闭区域若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： D( , )P x y( , )Q x yD （i）沿内任一按段光滑封闭曲线，有DL0 L PdxQdy ； （ii）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关； DL L PdxQdy L （iii）是内某一函数的全微分，即在内有PdxQdyD( , )u x yDduPdxQdy； （iv）在内处处成立D PQ yx ( , )4 设f x y在极坐标变换 cos , : sin , xr T yr 0r ，02下，xy平面上有界闭区域与Dr平面上区域 对应，则成立( , D )( cos , sin )f x y dxdyf rrrdrd 通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为 22 ()f xy，( ) y f x ，( ) x f y ，()f xy等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 数学分析（3） 复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理 - 7 - 直角坐标系方程直角坐标系方程 圆心圆心 半径半径 极坐标方程极坐标方程 222 xya (0,0) a ra 22 xyax (2,0)a 2a cosra 22 xya x (2,0a)2a cosra 22 xyby (0,2)b 2b sinrb 22 xyb sinrb y (0,2)b2b 22 xyaxbyc (2,2)ab 22 44cab 22 44rcab 5三重积分换元法 （1）柱面坐标变换 cos ,0, :sin ,02 ,. xrr Tyr zzz , ( , , ) V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ( cos ,