上海高三第一章集合与命题第一轮复习.doc

第一章 集合与命题一、集合11 集合及其表示法例1、 设都是非零实数，试用列举法将可能取得值组成的集合表示出来。分析：讨论的正负。解：当都是正数时，原式等于3；当仅有一个正数时，原式等于；当都是负数时，原式等于。故所求集合为说明：由集合元素的无序性可知：例2、集合，又，则有（ ）（A） （B）（C） （D）不属于A、B、C中任意一个分析：A中元素的性质是：被2整除的数；B中元素的性质是：被2除余1的数；C中元素的性质是：被4除余1的数。解：因为，所以存在使得，又，所以存在使得，则，而 所以。说明：怎样判断集合中以何为元素？只要看分隔符前的字母即可。例3、 已知集合（1） 若A是空集，求的取值范围；（2） 若A中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；（3） 若A中最多只有一个元素，求的取值范围。分析：注意方程未必是一元二次方程，应分类讨论。解：集合A是方程在实数范围内的解集。（1） A是空集，即方程无解，得所以。（2） 当时，方程只有一个解为；当时，即时，方程有2个相等的实根，这时A中只有一个元素为。所以当或时，A中只有一个元素，分别为或。A中最多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情形。由(1)、（2）可得或。例4、设是整数，集合，点E，但点，求的值。分析：集合E是有序数对构成的点集，考虑到是整数可以求得解。解：因为E，所以 （1）因为所以 （2）因为，所以 （3）由（1），（2）得，展开并整理得。由（1），（3）得。所以。又是整数，所以。代入（1），（2）得，所以。综上所述，。说明：不等式具有传递性：即若且，则。二、 理解与巩固（一） 填空题1、 方程的解集可表示为。2、 设，且，则， 。3、 已知，则用列举法表示。4、 若，则。（填或）（二） 选择题6、集合是指（ ）（A）第二象限内的点； （B）第四象限内的点；（C）第二象限或第四象限内的点； （D）不在第一象限、第三象限内的所有点。12 集合之间的关系二、典型例题解析例1、 选用适当的记号表示与0，0与，与之间的关系。分析：由概念出发，区分元素与集合、集合与集合之间的关系所用的不同数学符号。解：为空集，不含任何元素，因此0不是中的元素，即；是一个单元素集合，0是它的元素，因此有；和都是集合，空集是任何非空集合的真子集，所以说明：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。若，不要忘了考虑A为空集的情况。例2、 若集合,则( )(A)A=B (B) (C) (D)A与B无相同的元素分析：考察集合A、B中的元素，可判断集合A、B的关系。解：因为集合A中的任意一个元素，（）即，所以。又但，所以。说明：若集合A是集合B的子集，在判断集合A是集合B的真子集时，只要在集合B中找出一个元素不属于集合A即可。例3、 设集合，。若，求实数a的取值范围。分析：将集合A、B化简，利用数轴可将问题简单化。解：，由得，即，所以故，因为，所以解得所以实数a的取值范围是。说明：若，则解即可。（显然）例4、 设集合不是空集，且，求实数a的取值范围。分析：集合B、C均表示函数值的取值范围。解：由题设知：当时，当时，当时，由于所以或或得 或 即 所以的取值范围是说明：由于是一次函数，故根据集合A可直接写出的范围集合B。但（）写出集合C时必须对进行分类讨论。三、 理解与巩固（一）填空题1. 若，则的值为_。2. 集合M=满足，则所取的一切值为集合中有_个元素。3. 满足的集合M共有_个。4. 集合，其中且，则q=_。5. 集合A=，且B=且AB。则实数a 的取值范围是_。（二）选择题6、下列写法正确的是（ ）（A）（B）（C）0（D）07、集合,集合,则A与B的关系是( )(A) (B) (C) (D)8、已知集合，且，那么的取值范围是（ ）（A） （B）或（C） （D）或（三）解答题10、设，求的值。11、已知集合，若，求实数p的所有元素的集合。12、已知，求证：A=B1. 3集合的运算性质：（1）（2）若，则（3）（4）若则（5），二、典型例题解析例1、 若集合，。问：何值时，？分析：解：，A的子集有将或代入均可得但若，则，所以故本题的解为或。例2、 集合，（1） 若，求的取值范围；（2） 若，求的取值范围。分析：一般来说，这样的题目均应画数轴观察。解：（1） ，即要使B包含A，必须落在“3”的右方，即。（2） 使， 必须落在“1”的左方，若 ，则，此时所以 的取值范围是。说明：数形结合在集合运算中是一个重要的思想方法。例3、 满足条件的集合A有多少个?分析：集合A必须含集合中的所有元素。解： 且 由于满足条件的集合B有8个，所以满足条件的集合A有8个。说明：集合的子集有个；真子集有个；非空子集有个；非空真子集有个。例4、 已知集合，且，求实数和的取值范围。分析：由于，对C为空集要分类讨论。解：由可知，由方程得或，所以 方程的两个根为1或，所以B中元素可能为1或2；当，即时，；当，即时，所以的值为2或3。又由可知那么C中元素有3种可能性：若方程有两个不同的根1或2，则；若方程有两个相同的根，则，此时方程的根为，则，故；若方程无实根，即，时，满足。所以 或。说明：欲求或，只有从，中去确定B与A或C与A的关系，从而再判断B，C中元素的可能性，求得或；另外不能记为，因为可能为1。例5、已知，当为何实数时。解：因为，所以方程组 无解。若，可得，化简得： （1）若，方程（1）左边为0，右边不为0，所以方程（1）无解，从而方程组无解；令（1）中得。解得或因为方程组中，所以或时方程组无解。综上所述：，或时，例6、设全集U=x|0x10,xN*，若AB=3，ACUB=1，5，7，CUACUB=9，求A、B分析：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出解：A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8说明：集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解三、理解与巩固（1）（一） 填空题1、 设集合M，集合N，集合MN_。2、 若集合My|y0，P，则MP_。3、 已知，则_。4、 设集合Ax|10x1，xZ ，B x|x|5，xZ ，则AB中的元素个数是_。5、 已知集合M=,N=则=_。（二） 选择题6、如果，那么（ ）（A） （B） （C） （D）7、已知M（x,y）| xy 2，N（x,y）| xy 4，则MN（ ）（A）x3，y1 （B）（3，1） （C） 3，1 （D） （3，1）8、已知集合，集合，下列正确的关系是（ ）（A） （B） （C） （D）（三） 解答题9、已知,且AB=A，求实数a组成的集合C10、集合,，求AB和AB.11、设A=x|2x1，已知AB=x|x2, AB=x|10，则关于x的方程x2+x-m=0有实数根。试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假。解：否命题：若m0,则关于x的方程x2+x-m=0无实数根。逆命题：若关于x的方程x2+x-m=0有实数根，则m0。逆否命题：若关于x的方程x2+x-m=0无实数根，则m0。 =1+4m, 时方程有实数根。 m0时， 方程有实数根，原命题为真，逆否命题也为真。但方程有实数根，却推不出m0，逆命题为假，否命题也为假例5、 写出(1)命题：“若x+y0，则x0或y0”的否命题。(2)命题：“在整数范围内，a,b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题。解：(1)否命题是：若x+y0，则x0且y0。(2)逆否命题是：在整数范围内，若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数。说明：(1)“x0或y0”的否定是“x0且y0”，注意与集合性质的比较：(2)“a,b是偶数”指“a,b都是偶数”，其否定为“a,b不都是偶数”。三、理解与巩固（一） 填空题1、 设原命题是为“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为_;它的逆命题为_;否命题为_;逆否命题为_。3、把下列命题改写成“若p则q”的形式对顶角相等 _平行四边形的对角线相交于一点且互相平分_偶数能被2整除_二次方程ax2+bx+c=0（a0），若判别式0，则方程有两个不等实根_4、x24_x3-8；|x-2|3_x2-4x-5b，则a-5b-5”的逆否命题是（ ）。（A）若ab，则a-5b-5，则ab（C）若ab，则a-5b-5 （D）若a-5b-5，则ab8、下列各组中的两个命题互为等价命题的是（ ）。（A）AB=A与AB=B （B）aA与aAB（C）aA与aAB （D）aAB与aAB（三）解答题9、设原命题是“若x=2或x=3，则x2-5x+6=0”，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题。三、 充分条件与必要条件15 充分条件，必要条件例1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1) p: 0x3q : |x-1|2(2) p: (x-2)(x-3)=0q: x=2(3) p: c=0q: 抛物线y=ax2+bx+c过原点(4) p: 一个四边形是矩形q: 四边形的邻边相等解:(1) p: 0x3，q: -1x3。，但q p， p是q的充分不必要条件。(2)p: x=2或x=3，q: x=2。p q但，p是q的必要不充分条件。(3)且，p是q的充要条件。(4) pq且q p，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。例2设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么（ ）。A、丙是甲的充分非必要条件B、丙是甲的必要非充分条件C、丙是甲的充要条件D、丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解：这里应根据充要条件的概念作判断由已知有甲 乙，丙 乙且乙 丙。于是有丙乙 甲，且甲 丙（否则若甲 丙，而乙甲丙，与乙 丙矛盾）。故丙甲且甲 丙，所以丙是甲的充分非必要条件。本题应选A。例5设aR，求关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个正根的充要条件。解：方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个正根x1与x2,解得 1a2或a10。故原方程有两个正根的充要条件是1b”是“a2b2”的（ ） “a=b”是“ac=bc”的（ ）“ab”是“ac2bc2”的（ ） “ab”是“a+cb+c”的（ ）“|x|1”是“x1”的（ ） “x=1”是“x2-2x+1=0”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件（7）a2-2ab+b2=0是a=b的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件 C（8）“在ABC中，a2+b2=c2”是“ABC为以C为斜边的直角三角形”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件（三） 解答题（9） (1)写出|x|0, q: x2-2x+1-a20, 若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围。（11）证明：实系数方程ax2bxc0(a0)有两个不相等实根的充要条件是 b24ac0集合与命题单元练习一、选择题2、 下列命题中正确的是（ ）（A） 集合x | x21,xR中有两个元素（B） 集合0中没有元素（C）（D） 1，2与2，1是不同的集合3、 已知U为全集，集合，若MNN，则（ ）（A）（B） （C） （D）4、 下列表述正确的是（ ）（A） 0（B） 0（C） （D）5、 已知集合M0，1，N1，2，则MN（ ）（A） 0，1，2 （B） 1，0，1，2（C） 1（D）不能确定6、 设集合，集合，集合MN（ ）（A） x|0x1（B） x|0x2, P=x|x3，那么“xM或xP”是“xPM”的_条件。三、解答题21、 设,已知,求的值.22、 已知U1，2，3，6为全集，集合，,，若 2，3，求m的值。23、 已知Ax| x2，Bx| 4xp0=x|x0 AB=x|6x1x|x0=RAB=x|6x1x|x0=x|6x3，或0x111、如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合x|1x2，且AB=x|10，则该方程有两个不等实根 4、 5、解：TTFT 6、D7、D 8、A9、逆命题：若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。否命题：若x2且x3，则x2-5x+60。逆否命题：若x2-5x+60, 则x2且x3。提示：“p或q”的否定是“(非p)且(非q)”，“p且q”的否定是“(非p)或(非q)”。10、若点到圆心的距离等于半径，则该点在圆上 若两个数是有理数，则它们的商仍为有理数11、可证明其逆否命题为真，即若a+b=1, 则a2+2ab+b2+a+b-2=0。证： a+b=1, a2+2ab+b2+(a+b)-2=(a+b)2+(a+b)-2=1+1-2=0。 原命题得证。12、这个结论非常明显，但要直接说明两条直线相交没什么依据而在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，对于平行线的理论依据较多，因此，用反证法证明证明：假设bcabac这与c，a相交矛盾b与c相交1.5理解与巩固解答:解答：（1）必要非充分条件 （2）充要 （3）1）p是q的必要而不充分条件。 2）p是q的既不充分也不必要的条件 （4）必要非充分条件 （5）必要条件；充分条件；充要条件 （6）D、A、B、C、B、C （7）C