球的体积和表面积公式并进行具体推导过程.pdf

13.2 球的球的体积体积和表面积和表面积（1） 教学目的教学目的：使掌握了解球的体积公式的推导过程，能记住球的体积公式，并会用公式 解决问题。 教学重点教学重点：掌握球的体积公式及其应用。 教学难点教学难点：球的体积公式推导是教学的难点。 教学过程教学过程 一、复习提问一、复习提问 柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 二、新课二、新课 设球的半径为 R，将半径 OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成 n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片” ，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近 似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底 面就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第 i 层（由下向上数） “小圆片”的下底面半径： 22 )1(i n R Rri， （i1,2,3，n） 第 i 层“小圆片”的体积为： V 2 i r n R 2 3 1 1 n i n R ， （i1,2,3，n） 半球的体积：V 半径V1V2Vn n R3 1（1 2 2 1 n ）（）（1 2 2 2 n ）1 2 2 ) 1( n n n R3 n 2 222 ) 1(21 n n （注：) 12)(1( 6 1 21 222 nnnn） n R3 n 6 ) 12() 1(1 2 nnn n 2 3 6 ) 12)(1( 1 ( n nn R ） 6 ) 1 2)( 1 1 ( 1 3nn R 当所分的层数不断增加，也就是说，当 n 不断变大时，式越来越接近于半球的 体积，如果 n 无限变大，就能由式推出半径的体积。 事实上，n 增大， n 1 就越来越小，当 n 无限大时， n 1 趋向于 0，这时，有 V半径 3 3 2 R，所以，半径为 R 的球的体积为： V 3 3 4 R 13.2 球的体积和表面积（2） 教学目的教学目的：使掌握了解球的表面积公式的推导过程，能记住球的表面积公式，并会用 公式解决问题。 教学重点教学重点：掌握球的表面积公式及其应用。 教学难点教学难点：球的表面积公式推导是教学的难点。 教学过程教学过程 一、复习提问一、复习提问 柱体、锥体、台体及球的体积的公式是什么？ 二、新课二、新课 球的表面积推导方法球的表面积推导方法（设球的半径为 R，利用球的体积公式推导类似方法） （1）分割。把球 O 的表面分成 n 个“小球面片” ，设它们的表面积分别是 S1，S2， Sn，那么球的表面积为：SS1S2Sn 把球心 O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成 n 个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体” 。例如，球心与第 i 个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点 O 为顶点，以第 i 个“小球面片”为底面的“小锥体” 。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的， （好象地球一样） ，这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径 R。 （2）求近似和。设 n 个“小锥体”的体积分别为 V1，V2，Vn 那么球的体积为：VV1V2Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第近似值。第 i 个“小锥体”对应的棱锥以点个“小锥体”对应的棱锥以点 O 为顶点，以点为顶点，以点 O 与第与第 i 个“小球面片”个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为 hi，底面面积为 Si，于是，它的体积为： Vi 3 1 hi Si， （i1,2,，n） 这样就有：Vi 3 1 hi Si， （i1,2,，n） V 3 1 （h1 S1h2 S2 hn Sn） （3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小， “小锥体”就越接近于棱锥，如果分 割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么 hi （i1,2,，n）就趋向于 R，Si就趋向于 Si，于是，由 可得：V 3 1 RS 又 V 3 3 4 R，所以，有 3 3 4 R 3 1 RS 即： S4R2 例 5、图 1.310 表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为 1m，高为 3m 的圆柱形物体，上面是一个半球体，如果每平方米大约需要鲜花 150 朵，那么装饰 这个花柱大约需要多少朵鲜花（ 取