用变限积分函数证明不等式.doc

用变限积分函数证明不等式院系：数学与计算科学学院班级：应数5班姓名：谭晶晶学号：201040510534【摘要】证明不等式，方法多种多样。构造变限积分来证明不等式是非常巧妙的方法之一。本文介绍了利用变限积分和被积函数的不等式的方法解决不等式的证明。【关键字】变限积分；辅助函数；不等式；被积函数的不等式提出问题：变限积分是一类重要的函数，在微积分领域应用广泛。本文我们探讨：如何运用变限积分函数证明不等式。分析问题：对于形如abfxdx的积分，我们可以写成Ft=atfxdx ， t=b 的形式；对于简单函数Fx也可表示为Fx=axftdt的积分形式。由此可以看出不管是积分表达式还是一般表达式都可以用变限积分表示出来那么我们便可将证明不等式问题转化为研究变限积分函数的问题中来，再结合具体情况根据函数的性质最终证出不等式。解决问题：在解决此类问题关键是构造变限积分形式的辅助函数。大致步骤可分三步：1构造辅助函数;2根据所构造的辅助函数性质结合题目进一步处理，多数采用求导的方法；3还原到原来形式，不等式得证。一变限积分的定义 1设f（x）在a，b上可积，根据定积分性质，对任意xa，b，f在a，x上也可积。于是，由x=axftdt ,xa,b.定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，又可以定义变下限的定积分 x=axftdt ,xa,b. 与 统称为变限积分。注意，在变限积分中，不可再把积分变量写成x。二变限积分函数的应用一通过变限积分函数构造辅助函数证明不等式在解题中构造辅助函数后，要对函数求导，我们简单介绍一下变限积分函数的求导问题。设Fx=xxft dt定义在a，b上，Fx=fxx-fxx注：若被积函数中含x,不能直接用公式求导,应先作变代换使被积函数不含 x,再求导。在构造辅助函数时，又可根据不等式的特征分为两类构造方法1 将不等式两边相减的方法，即:要证形如abfxdxabgxdx的不等式，可设Ft=atfxdx-atgxdx。例一：设f（x）是0，a上的单调递增函数，且f（x）在0，a上连续，求证：a20afx dx0axfx dx分析：在此证明不等式题中，可以先运用变限积分构造辅助函数F（x），由于f（x）在0，a上连续，得知F（x）可导，求出F（x）的导函数，再由f（x）是0，a上的单调递增函数推出F（x）的单调性，从而证出不等式。证明：令F（x）=0xtft dt-x20xft dt由f（x）在0，a上连续得知F（x）可导。且Fx=xfx-120xft dt-x2fx=-x2fx-120xft dt又因为f（x）是0，a上的单调递增函数，故在0，x上有ftfx，t0，x则0xft dt0xfx dt=xf（x）则Fx0。因此F（x）的单调递增。又因为F（0）=0，a0,所以F(a)F(0)=0,即a20ax dx0axfx dx例二：证明柯西斯瓦兹不等式（Cauthy-schwards不等式） 2设f（x），g(x)在区间a，b上均连续，证明：abf(x)gx dx2abfx2 dxabgx2 dx分析：运用变限积分构造辅助函数Fx=axf(t)gt dt2-abft2 dtabgt2 dt那么证明柯西-斯瓦兹不等式就转化为F（x）在a，b上为单调不增的函数。证明：令Fx=axf(t)gt dt2-abft2 dtabgt2 dt由此式可知F（a）=0,由于f（x），g(x)在区间a，b上均连续，所以F（x）在区间a，b可导，求出导函数F（x）Fx=2fxgxaxftgt dt-g(x)2axf（x）2 dt-f（x）2axg(x)2 dtFx=ax(2fxgxftgt-gx2ft2-fx2gt2) dtFx=-axfxgt-gxft2显然当xa，b时，Fx0。所以，F（x）在a，b上单调不增，那么F(b)0=F(a）。将x=b代入F（x）中，得Fb=abf(t)gt dt2-abft2 dtabgt2 dt0则axf(t)gt dt2abft2 dtabgt2 dt则abf(x)gx dx2abfx2 dxabgx2 dx柯西-斯瓦兹不等式得证。例三：g（x）在0，a上连续，且g（x）0，证明：0a1g(x)dx0agxdxa2分析：运用变限积分做辅助函数G（t）为不等式两边做差，再对G（t）求导，推出G（t）的单调性，继而证出不等式。证明：令Gt=0t1g(x)dx0tgxdx-t2对Gt求导得：Gt=gt0t1gxdx+1gt0tgxdx-2t则Gt=0tgtgx+gxgt-2 dx0由Gt0可知：Gt是在0，a单调递增函数，又因为G0=0，所以：GaG0=0将t=a代入 Gt=0t1g(x)dx0tgxdx-t2中，得：0a1g(x)dx0agxdxa2例四：设f（x），g（x）均是单调不减的函数，且在（0ab）上，f（x），g（x）均连续。试证：abfx dxabgx dxb-aabfxgx dx分析：构造辅助函数t=t-aatfxgx dx-atfx dxatgx dx，对t求导，再由f（x），g（x）的性质推出t的正负性，继而推出t的单调性，将t=b代入t证出不等式。证明：令t=t-aatfxgx dx-atfx dxatgx dx，显然a=0.对t求导得： t=t-aftgt+atfxgx dx-gtatfx dx-f（t）atgx dx t =atftgt dx+atfxgx dx-atfxgt dx-atftgx dx t =atftgt+fxgx-fxgt-ftgx dx t =at(gt-gx)ft-fxdx f（x）g（x）是单调不减的连续函数，所以gt-gx与ft-fx同号，则（gt-gx）（ft-fx）0 所以t0，即t是 单调递增函数，那么对任意的ta，b t0 ， b0 将t=b代入t中 即得：b=b-aabfxgx dx-abfx dxabgx dx0则abfx dxabgx dxb-aabfxgx dx原不等式得证。注：在此类题目中不等号两边的积分表达式的上限或下限一样，所以可以将其相减，构造为Ft=atfxdx-atgxdx。对Ft求导，探究它的单调性，最后证出不等式。2 直接构造变限积分辅助函数例一：设f（x）在0，a上连续，且在0，a上单调递减，证明：有0，10afxdxa0a2fxdx分析：运用变限积分做辅助函数F（t）结合积分中值定理推出F（t）0进而推出不等式0afxdxa0a2fxdx成立。证明：令Ft=1t0tafxdx t0,a因为f（x）在0，a上连续，且在0，a上单调递减，由积分中值定理可知：Ft=-1t20tafx dx+1tftFt=-1t2ft+1tf（t）Ft=1tft-f 0，t所以Ft0。则Ft在0，a上单调递减，所以，当 t0,a时有FtFa=1a0a2fxdx 令t= 即：F=10afxdx1a0a2fxdx则0afxdxa0a2fxdx不等式得证。注：此类积分不等式中，不等号两边积分表达式形式相近，且积分上限不同，不能采用上一种方法，所以观察不等号两边的积分，直接构造辅助函数。二 对简单的不等式多次求积分证明不等式例一：证明sinx0时分析：此处的不等式看起来比较复杂，但是显然cosx1，对不等式cosx1两边同时取变限积分。证明：已知cosx1，当x0时当且仅当x=2n时等号成立，在不等式两边同时取0，x的变限积分即：0xcost dt0x1 dt 得sinxx对 sinxx两边同时取0，x的变限积分即：0xsintdt0xtdt得1-cosxx22对 1-cosxx22两边同时取0，x的变限积分即：0x1-cost dt0xt22dt得x-sinxx36对 x-sinxx36两边同时取0，x的变限积分即：0x（t-sint） dt0xt36 dt得x22+cosx-1x424对 x22+cosx-1x424两边同时取0，x的变限积分即：0x（t22+cost-1） dt0xt424 dt即sinxx-x36+x5120不等式得证。总结：本文提出了关于使用变限积分函数解决不等式证明的问题，并介绍了变限积分函数的定义以及求导方法。由