北师大版八年级数学上册教案-pdf-04-第四章 相似图形.pdf

第四章第四章 相似图形相似图形 课时安排 14 课时 目录目录 第四章 相似图形 . 1 4.1.1 线段的比（一） . 1 4.1.2 线段的比（二） . 5 4.2 黄金分割 . 11 4.3 形状相同的图形 . 14 4.4 相似多边形 . 19 4.5 相似三角形 . 23 4.6.1 探索三角形相似的条件（一） . 28 4.6.2 探索三角形相似的条件（二） . 33 4.7 测量旗杆的高度 . 38 4.8.1 相似多边形的性质（一） . 41 4.8.2 相似多边形的性质（二） . 46 4.9.1 图形的放大与缩小（一） . 51 4.9.2 图形的放大与缩小（二） . 55 本章检测题 . 59 第一课时 课 题 4.1.1 线段的比（一）线段的比（一） 教学目标 （一）教学知识点 1.知道线段比的概念. 2.会计算两条线段的比. （二）能力训练要求 会求两条线段的比. （三）情感与价值观要求 通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数 学的信心. 教学重点 会求两条线段的比. 2011-10-10 10:35:01 共 60 页 第 1 页 教学难点 会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 教学方法 自主探索法 教具准备 投影片一张：例题（记作4.1.1 a） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. 生课本 p38中两张图片； 同一底片洗印出来的大小不同的照片； 两个大小不同的正方形，等等. 师对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章 我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大 小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们 首先从线段的比开始学习. .新课讲解 1.两条线段的比的概念 师大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大 小？ 生两个数相除又叫两个数的比，如 ab 记作 b a ；度量线段时要选用同一个长度 单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小. 师由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ 生两条线段的比就是两条线段长度的比. 师对.比如：线段 a 的长度为 3 厘米，线段 b 的长度为 6 米，所以两线段 a,b 的比 为 36=12,对吗？ 生对. 师大家同意他的观点吗？ 生不同意，因为 a、b的长度单位不一致，所以不对. 师那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？ 生如果选用同一个长度单位量得两条线段 ab、cd 的长度分别是 m、n，那么就说 这两条线段的比（ratio）abcd=mn，或写成 cd ab = n m ，其中，线段 ab、cd 分别叫做 这两个线段比的前项和后项. 如果把 n m 表示成比值 k，则 cd ab =k 或 ab=kcd. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位. 2.做一做 量出数学书的长和宽（精确到 0.1 cm）,并求出长和宽的比. 生长为 21.1 cm,宽为 14.8 cm,长和宽的比为 21.114.8=211148 师如把单位改成 mm和 m,比值还相同吗？ 生改为 mm作单位，则长为 211 mm，宽为 148 mm，比值为 211148 改用 m作单位，则长为 0.211 m，宽为 0.148 m,长与宽的比为 0.2110.148=211148 师从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？ 生只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变. 3.求两条线段的比时要注意的问题 师大家能说出几点？试一试. 生（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成 同一单位，再求它们的比； 2011-10-10 10:35:01 共 60 页 第 2 页 （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 4.例题 投影片（4.1.1 a） 在某市城区地图（比例尺 19000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度 分别是 16 cm、10 cm. （1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ （2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：（1）根据题意，得 9000 1 = 新安大街的实际长谎 新安大街的图上长度 9000 1 = 光华大街的实际长度 光华大街的图上长度 因此，新安大街的实际长度是 169000=144000（cm）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 109000=90000（cm） 90000 cm=900 m. （2）新安大街与光华大街的图上长度之比是 1610=85 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是85 由例 2 的结果可以发现： 光华大街的图上长度 新安大街的图上长度 光华大街的实际长度 新安大街的实际长度 = .随堂练习 1.在比例尺为 18000 的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是 1 cm2 cm，矩形 运动场的实际尺寸是多少？ 解：根据题意，得 矩形运动场的图上长度矩形运动场的实际长度=18000 因此，矩形运动场的长是 28000=16000（cm）=160（m） 矩形运动场的宽是 18000=8000（cm）=80（m） 所以，矩形运动场的实际尺寸是长为 160 m,宽为 80 m. .课时小节 1.相似图形两条线段的比. 2.两条线段的比 定义：两条线段的长度之比 表示法：线段 a、b的长度分别为 m、n,则 ab=mn. 求法：先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比. 注意点：（1）两线段的比值总是正数. （2）讨论线段的比时，不指明长度单位. （3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示. 比例尺：图上长度与实际长度的比. .课后作业 习题 4.1 1.解：一条线段的长度是另一条线段长度的 5 倍，这两条线段的比是 51. 2011-10-10 10:35:02 共 60 页 第 3 页 2.解：早上 8点 旗杆的高与其影长的比为 3040=34 中午 12点 旗杆的高与其影长的比为 3010=31 3.解：等腰直角三角形 abc与等腰三角形 def 腰的比为 1012=56 底边的比为 1028=524 .活动与探究 为了参加北京市申办 2008 年奥运会的活动，如果有两边长分别为 1，a（其中 a1） 的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之 比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的 a 的值. 解：方案（1）： 长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*） 1 3 1 1 a a = 解得：a=3 图 41 方案（2）： 由（*）得 a x a 1 1 2 1 1 1 = x= a 1 ,a=2 方案（3）： 由（*）得 2 1 1y a = y= a2 1 2011-10-10 10:35:02 共 60 页 第 4 页 且 1 1z a = z= a 1 由 aa2 11 +=a 得 a=6 2 1 图 42 方案（4）： 由（*）得 a n a b a 1 1 1 1 1 = m a a a 1 1 = b= a 1 n=1 2 1 a m=a21 m+n=1 1 2 1 a +a21=1 a= 2 522+ （负值舍去） 板书设计 4.1.1 线段的比 一、1.两条线段的比的概念 2.做一做 3.求两条线段的比时要注意的问题 4.例题（有关比例尺问题） 二、随堂练习 三、课时小结 四、课后作业 第二课时 课 题 4.1.2 线段的比（二）线段的比（二） 教学目标 （一）教学知识点 1.知道比例线段的概念. 2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用. （二）能力训练要求 2011-10-10 10:35:02 共 60 页 第 5 页 1.通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力. 2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力. （三）情感与价值观要求 认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生 学习数学的兴趣. 教学重点 成比例线段的定义. 比例的基本性质及运用. 教学难点 比例的基本性质及运用. 教学方法 自学法 教具准备 投影片两张： 第一张（记作4.1.2 a） 第二张（记作4.1.2 b） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比 例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？ 生表示两个比相等的式子叫比例.如果 a 与 b 的比值和 c 与 d 的比值相等，那么 d c b a =或 ab=cd,这时组成比例的四个数 a,b,c,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项， 中间的两项叫做内项.即 a、d为外项，c、b为内项. 比例的基本性质为：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：如 果 d c b a =（b,d都不为 0），那么 ad=bc. 师上节课学习了两条线段的比，本节课就来研究比例线段. .新课讲解 1.成比例线段的定义 投影片（4.1.2 a） 你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除 以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？ 下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5， 1），（3，0），（4，2），（0，0）的点 o，a，b，c，d，b，e，o 用线段依次连接 而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以 2 得到的. 图 44 2011-10-10 10:35:02 共 60 页 第 6 页 （1）线段 cd与 hl，oa与 of，be与 gm 的长度分别是多少？ （2）线段 cd 与 hl 的比，oa 与 of 的比，be 与 gm 的比分别是多少？它们相等 吗？ （3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ 生（1）cd=2，hl=4， oa=4154 22 =+, of=412810 22 =+ be=521 22 =+, gm=5242 22 =+ （2） 2 1 41 41 2, 2 1 4 2 = of oa hl cd , 2 1 52 5 = gm be . 所以， 2 1 = gm be of oa hl cd . （3）其他比相等的线段还有 2 1 = gl bd gh bc fg ab om oe . 师由上面的计算结果，对照比例的概念，请说出怎样的四条线段叫做成比例线 段？ 生四条线段 a,b,c,d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 d c b a =,那么这四条线 段 a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）. 2.比例的基本性质 两条线段的比实际上就是两个数的比.如果 a,b,c,d 四个数满足 d c b a =,那么 ad=bc 吗？ 反过来，如果 ad=bc,那么 d c b a =吗？与同伴交流. 生若 d c b a =,则有 ad=bc. 因为根据等式的基本性质，两边同时乘以 bd,得 ad=bc,同理可知 若 ad=bc（a,b,c,d都不等于 0），那么 d c b a =. 3.线段的比和比例线段的区别和联系 师线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段. 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如 d c b a =是线段 a、b、c、d 成比 例，而不是线段 a、c、b、d 成比例. 4.例题 图 45 2011-10-10 10:35:02 共 60 页 第 7 页 （1）如图，已知 d c b a =3,求 b ba + 和 d dc+ ; （2）如果 d c b a =k（k为常数），那么 d dc b ba+ = + 成立吗？为什么？ 解：（1）由 d c b a =3,得 a=3b,c=3d. 因此， b bb b ba+ = +3 =4 d dd d dc+ = +3 =4 （2） d dc b ba+ = + 成立. 因为有 d c b a =k,得 a=bk,c=dk. 所以 b bbk b ba+ = + =k+1, d ddk d dc+ = + =k+1. 因此： d dc b ba+ = + . 5.想一想 （1）如果 d c b a =,那么 d dc b ba = 成立吗？为什么？ （2）如果 f e d c b a =,那么 b a fdb eca = + + 成立吗？为什么？ （3）如果 d c b a =,那么 d dc b ba = 成立吗？为什么. （4）如果 d c b a = n m （b+d+n0）,那么 b a ndb mca = + + l l 成立吗？为什么. 解：（1）如果 d c b a =,那么 d dc b ba = . d c b a = d c b a =11 d dc b ba = . （2）如果 f e d c b a =,那么 b a fdb eca = + + 设 f e d c b a =k a=bk,c=dk,e=fk b a k fdb fdbk fdb fkdkbk fdb eca = + + = + + = + +)( （3）如果 d c b a =,那么 d dc b ba = 2011-10-10 10:35:03 共 60 页 第 8 页 d c b a = d c b a =+1+1 d dc b ba+ = + 由（1）得 d dc b ba = d dc b ba = . （4）如果 d c b a = n m （b+d+n0） 那么 b a ndb mca = + + l l 设 d c b a = n m =k a=bk,c=dk,m=nk b a k ndb mdbk ndb nkdkbk ndb mca = + + = + + = + + l l l l l l)( . .课堂练习 投影片（4.1.2 b） 1.已知 d c b a =3,求 b ba 和 d dc , b ba = d dc 成立吗？ 2.已知 d c b a = f e =2,求 fdb eca + + （b+d+f0） 解：1.由 d c b a =3,得 a=3b,c=3d. 所以 b ba = b bb3 =2, d dd d dc = 3 =2 因此 d dc b ba = . 2.由 d c b a = f e =2,得 a=2b,c=2d,e=2f 所以 fdb fdb fdb fdb fdb eca + + = + + = + +)(2222 =2. .课时小结 1.熟记成比例线段的定义. 2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用. .课后作业 习题 4.2 1.解：因为 a、b、c、d是成比例线段， 所以有 d c b a = 即 2 3 = d 6 解得：d=4 2011-10-10 10:35:03 共 60 页 第 9 页 所以线段 d 的长为 4 cm 2.解：因为 b a =2 所以 a=2b 因此 b bb b ba+ = +2 =3 3.解：因为 bc=bd=5122=+ cd=2 gh=gl=5224 22 =+ hl=4 所以bcd 的周长为 bc+bd+cd=25+2 ghl 的周长为 gh+gl+hl=2（25+2） 因此bcd 的周长与ghl 的周长比为 12. .活动与探究 1.已知： d c b a = f e =2（b+d+f0） 求：（1） fdb eca + + ;（2） fdb eca + + ; （3） fdb eca 32 32 + + ;（4） fb ea 5 5 . 解： d c b a = f 3 =2 a=2b,c=2d,e=2f （1） fdb fdb fdb fdb fdb eca + + = + + = + +)(2222 =2 （2） fdb fdb fdb fdb fdb eca + + = + + = + +)(2222 =2 （3） fdb fdb fdb fdb fdb eca 32 )32(2 32 642 32 32 + + = + + = + + =2 （4） fb fb fb ea 5 102 5 5 = = fb fb 5 )5(2 =2 2.已知 abc=432,且 a+3b3c=14. （1）求 a,b,c （2）求 4a3b+c的值. 解：（1）设 a=4k,b=3k,c=2k a+3b3c=14 4k+9k6k=14 7k=14 k=2 a=8,b=6,c=4 （2）4a3b+c=3218+4=18 板书设计 4.1.2 线段的比 一、1.成比例线段的定义 2.比例的基本性质 3.线段的比和比例线段的区别和联系 4.例题 5.想一想 2011-10-10 10:35:04 共 60 页 第 10 页 二、课堂练习 三、课时小结 1.熟记成比例线段的定义. 2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用. 四、课后作业 第三课时 课 题 4.2 黄金分割黄金分割 教学目标 （一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求 理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人 类生活的密切联系对人类历史发展的作用. 教学重点 了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形. 教学方法 讲解法 教具准备 投影片一张：（记作4.2 a） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 图 46 师生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形 你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点 c 把 ab 分成两段 ac 和 bc，使 得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. .讲授新课 师在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段 ac、bc 的长度，然后计算 ab ac 、 ac bc ,它们的值相等吗？ 生相等. 2011-10-10 10:35:04 共 60 页 第 11 页 师所以 ac bc ab ac =. 1.黄金分割的定义 在线段 ab 上，点 c 把线段 ab 分成两条线段 ac 和 bc，如果 ac bc ab ac =,那么称线段 ab 被点 c 黄金分割（golden section）,点 c 叫做线段 ab 的黄金分割点，ac 与 ab 的比叫做 黄金比.其中 ab ac 0.618. 投影片（4.2 a） 黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点 c就是线段 ab 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割. 黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品 的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为 0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景 物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站 在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等. 黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618 法”就是黄金分 割的一种应用. 师既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们 来学习如何找一条线段的黄金分割点. 2.作一条线段的黄金分割点. 图 47 如图，已知线段 ab，按照如下方法作图： （1）经过点 b 作 bdab，使 bd= 2 1 ab. （2）连接 ad，在 da 上截取 de=db. （3）在 ab上截取 ac=ae.则点 c为线段 ab的黄金分割点. 师你知道为什么吗？ 若点 c 为线段 ab 的黄金分割点，则点 c 分线段 ab 所成的线 ac、bc 间须满足 ac bc ab ac =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设 ab=1. 证明：ab=1,ac=x,bd= 2 1 ab= 2 1 ad=x+ 2 1 在 rtabd 中，由勾股定理，得 （x+ 2 1 ）2=12+（ 2 1 ）2 x2+x+ 4 1 =1+ 4 1 x2=1x x2=1（1x） ac2=abbc 2011-10-10 10:35:04 共 60 页 第 12 页 即： ac bc ab ac = 即点 c是线段 ab的一个黄金分割点， 在 x2=1x 中 整理，得 x2+x1=0 x= 2 51 2 411 = + ac为线段长，只能取正 ac= 2 15 0.618 ab ac 0.618 黄金比约为 0.618. 3.想一想 图 48 古希腊时期的巴台农神庙（parthenom temple）.把它的正面放在一个矩形 abcd 中， 以矩形 abcd 的宽 ad 为边在其内部作正方形 aefd，那么我们可以惊奇地发现， bc ab be bc =,点 e 是 ab 的黄金分割点吗？矩形 abcd的宽与长的比是黄金比吗？ 师请大家互相交流. 生因为四边形 aefd 是正方形，所以 ad=bc=ae,又因为 bc ab be bc =,所以 ae ab be ae =,即 ae be ab ae =,因此点 e是 ab的黄金分割点，矩形 abcd宽与长的比是黄金比. 师在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了 吗？ .随堂练习 1.解：设 ab=a,根据题意，得 ae= 2 a , 由勾股定理，得 ef=eb= 22 aeab+ = 4 2 2 a a + = 2 5 a af=ah=beae= 2 15 a bh=abah=aaa 2 53 2 15 = 2011-10-10 10:35:04 共 60 页 第 13 页 = ab ah 2 15 2 15 = a a 2 15 15 53 2 15 2 53 = = = a a ah bh ah bh ab ah = 点 h是 ab的黄金分割点. .课时小结 本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比. 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. .课后作业 习题 4.3 .活动与探究 要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合 适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在 1000 和 2000 之间，那么，可以把 1000 和 2000 看作线段的两个端点，选择 ab 的黄金分割点 c 作为第一个试验点，c 点的数值可以 算是 1000+（20001000）0.618=1618.试验的结果，如果按 1618 倍，水兑得过多，稀释 效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选 ac 的黄金分割点 d，d 的位置是 1000+（16181000）0.618，约等于 1382，如果 d 点还不理想，可以按黄金分割的方法 继续试验下去.如果太浓，可以选 dc 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选 ad 之间的黄 金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据. 这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找 到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料. 板书设计 4.2 黄金分割 一、1.黄金分割的定义. 2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形. 3.想一想 二、随堂练习 三、课时小节 四、课后作业 第四课时 课 题 4.3 形状相同的图形形状相同的图形 教学目标 （一）教学知识点 在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形. （二）能力训练要求 通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；通过画形状相同的图形，训练大家的 动手能力.同时，同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合作交流能力. （三）情感与价值观要求 2011-10-10 10:35:04 共 60 页 第 14 页 通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空 间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维. 教学重点 认识和会画形状相同的图形. 教学难点 会画形状相同的图形. 教学方法 主动探索加合作交流法 教具准备 投影片三张 第一张（记作4.3 a） 第二张（记作4.3 b） 第三张（记作4.3 c） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同 的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形. .新课讲解 1.观察图形找特点（投影片4.3 a） 师请看课本 102 页，回答下列问题 （1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？ （2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？ （3）如图（3），两个正方体物体的形状相同吗？ （4）如图（4），复印前后纸上对应图形之间分别有什么关系？ 生（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状没有改变，只是大小不 同； （2）两个足球的形状相同，大小不同； （3）两个正方体物体的形状相同； （4）复印前后纸上对应图形之间形状相同，大小不同. 师大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？ 生每对图形形状相同，大小不同. 师对，每对图形都是形状相同的图形，从上面的图形中我们大概了解了形状相同 的图形的特点，下面我们通过观察，找出形状相同的图形. 2.找形状相同的图形 投影片（4.3 b） 在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形 状相同的图形. 2011-10-10 10:35:05 共 60 页 第 15 页 生（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、 （7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形. 3.画形状相同的图形 做一做 投影片（4.3 c） 利用下面的方法可以近似地将一个图形放大： 1.将 2 个长短相同的橡皮筋系在一起. 2.选取一个图形，在图形外取一个定点. 3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一枚铅笔固定在橡皮筋的另一端. 4.拉动铅笔，使 2 个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动 一圈时，铅笔就画出了一个新的图形. 这个新图形与已知图形形状相同. 师请看课本 52 页中按上述步骤画出的图形.下面请大家自己确定一个图形，然后 按照上述步骤画形状相同的图形. 如： 图 49 .课堂练习 1.解：（1）在直角坐标系中描出点 o（0，0），a（1，2），b（2，4），c（3， 2），d（4，0），先用线段顺次连接点 o，a，b，c，d，然后用线段连接 a，c 两点，得 到了字母 a的图形，如图 410. 2011-10-10 10:35:05 共 60 页 第 16 页 图 410 （2）填表 1如下： 表 1 （x,y） o（0,0） a（1,2） b（2,4） c（3,2） d（4,0） （2x,y） o1（0,0） a1（2,2） b1（4,4） c1（6,2） d1（8,0） 分别连接 o1a1，a1b1，b1c1，c1d1，a1c1得下图. 图 411 得到的图形还是字母 a. 填写表 2如下： 表 2 （x,y） o（0,0） a（1,2） b（2,4） c（3,2） d（4,0） （x,2y） o2（0,0） a2（1,4） b2（2,8） c2（3,4） d2（4,0） 连接如下图 图 412 所得图形还是字母 a. 填写表 3如下： 表 3 （x,y） o（0,0） a（1,2） b（2,4） c（3,2） d（4,0） （2x,2y） o3（0,0） a3（2,4） b3（4,8） c3（6,4） d3（8,0） 连接如下图 2011-10-10 10:35:06 共 60 页 第 17 页 图 413 得到的图形还是字母 a. （3）在上述所得图形中，第 1个图形和第 4 个图形形状相同. .课后作业 习题 4.4 .课时小结 本节课我们认识了形状相同的图形，并能找出形状相同的图形，还学习了如何画形状 相同的图形. .活动与探究 从上题的第 1图和第 4 图中可知. ob=522042 22 =+=bd ac=2 o3b3=54548084 22 =+=b3d3 a3c3=4 o3b3=2ob a3c3=2ac b3d3=2bd 由此可知：形状相同的图形中，对应线段成比例. 如abc与abc形状相同，其 ab=2 cm,bc=4 cm,ab=4 cm，求 bc. 解：因为形状相同的图形中对应线段成比例，所以 cb bc ba ab = 即 cb = 4 4 2 所以 bc=8 cm. 板书设计 4.3 形状相同的图形 一、1.观察图形找特点. 2.找形状相同的图形. 3.画形状相同的图形（做一做）. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 第五课时 课 题 2011-10-10 10:35:06 共 60 页 第 18 页 4.4 相似多边形相似多边形 教学目标 （一）教学知识点 经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及 相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形. （二）能力训练要求 经历探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力. （三）情感与价值观要求 通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性. 教学重点 探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相似. 教学难点 探索相似多边形的定义的过程. 教学方法 指导探索法. 教具准备 投影片两张 第一张（记作4.4 a） 第二张（记作4.4 b） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思. 生“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分. 师很好，那“相似多边形”应怎么理解呢？ 生“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同. 师大家的分析能力非常棒，究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢？本节课 我们将进行探索. .新课讲解 1.探究相似多边形的定义 投影片（4.4 a） 下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形 abcdef 和银幕上的多边形 a1b1c1d1e1f1，它们的形状相同吗？ 图 414 （1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测. （2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ 师请大家动手验证一下. 生在上图中，六边形 abcdef 与六边形 a1b1c1d1e1f1是形状相同的图形，其中 a 与a1，b 与b1，c 与c1，d 与d1，e 与e1，f 与f1分别对应相 等，ab 与 a1b1，bc 与 b1c1，cd 与 c1d1，de 与 d1e1，ef 与 e1f1，fa 与 f1a1的比都相 2011-10-10 10:35:06 共 60 页 第 19 页 等. 师从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它 们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六 边形才有呢？下面我们继续进行探讨. 例题 下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？ （1）正三角形 abc与正三角形 def； （2）正方形 abcd 与正方形 efgh. 师请大家互相交流. 生解：（1）由于正三角形每个角都等于 60，所以 a=d=60，b=e=60,c=f=60 由于正三角形三边相等，所以 fd ca ef bc de ab =. （2）由于正方形的每个角都是直角，所以 a=e=90，b=f=90， c=g=90，d=h=90. 由于正方形四边相等，所以 he da gh cd fg bc ef ab = 师从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？ 生可以. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）. 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）. 师相似应该怎样表示呢？请认真看书. 生六边形 abcdef 与六边形 a1b1c1d1e1f1相似.记作六边形 abcdef六边形 a1b1c1d1e1f1，其中 aba1b1等于相似比. 师在记两个多边形相似时，要注意什么？ 生要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 2.想一想（1） 如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例. 3.议一议 投影片（4.4 b） 1.观察下面两组图形，（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形呢？ 与同伴交流. 2011-10-10 10:35:06 共 60 页 第 20 页 图 415 2.如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成 比例吗？ 生1.（1）中的两个图形不相似. 因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然（1） 中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似. （2）中的两个图形也不相似. 因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似. 2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的两个图形； 如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两个图形对应 边成比例，但对应角不相等. 4.做一做 一块长 3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽 7.5 cm.边框的 内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答. 图 416 生答：不相似. 内边缘的矩形长为 300 cm，宽为 150 cm，外边缘的矩形长为 315 cm，宽为 165 cm， 因为 315 300 165 150 ，所以内外边缘所成的矩形不相似. 5.想一想（2） 所有的边数相同的正多边形都相似吗？ 师正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，请大家根据定义进行判断. 生相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对 应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似.比如：两个正三角形相似. .课堂练习 判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由. （1）两个大小不等的矩形； （2）两个大小不等的正五边形； （3）一个正方形与一个平行四边形； （4）两个大小不等的菱形. 2011-10-10 10:35:06 共 60 页 第 21 页 解：（1）两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是直角，但它 们的对应边不一定成比例. （2）两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对应边成比例. （3）一个正方形与一个平行四边形不相似，因为平行四边形的四个角不相等，四条边 也不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例. （4）两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等，两个菱形满足对应边成 比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似. .课时小结 本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定 义判断某些图形是否为相似多边形. .课后作业 习题 4.5 1.解：对应边的比为 23. 2.解：两个正六边形的边长分别为 a 和 b，这两个正六边形相似.因为正六边形的每个 角都等于 120，所以满足对应角相等，对应边成比例，所以它们相似. 3.解:小路内外边缘所成的矩形不相似，虽然它们的对应角相等，但对应边 12 10 22 20 ， 即对应边不成比例，所以不相似. .活动与探究 纸张的大小 图 417 如图，将一张长、宽之比为2的矩形纸 abcd 依次不断对折，可以得到矩形纸 bcfe，aeml，gmfh，lgpn. （1）矩形 abcd、bcfe、aeml、gmfh、lgpn长与宽的比改变了吗？ （2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？ （3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？ 解：（1）矩形 abcd、bcfe、aeml、gmfh、lgpn长与宽的比不改变. 设纸的宽为 a，长为2a，则 bc=a，be= 2 2 a ae= 2 2 a，me= 2 a mf= 2 a ，hf= 4 2 a lg= 4 2 a，ln= 4 a be bc =a 2 2 a=2 me ae = 2 2 a 2 a =2 2 a hf mf =2 4 2 =a 2011-10-10 10:35:06 共 60 页 第 22 页 4 2 = ln lg a 4 a =2 所以五个矩形的长与宽的比不改变. （2）在这些矩形中有成比例的线段. （3）这些大小不同的矩形都相似. 板书设计 4.4 相似多边形 一、1.探究相似多边形的定义. 例题 2.想一想（1） 3.议一议（根据定义判断两个多边形是否相似） 4.做一做 5.想一想（2） 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 第六课时 课 题 4.5 相似三角形相似三角形 教学目标 （一）教学知识点 1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似. 2.能根据相似比进行计算. （二）能力训练要求 1.能根据定义判断两个三角形是否相似，训练学生的判断能力. 2.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力. （三）情感与价值观要求 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系. 教学重点 相似三角形的定义及运用. 教学难点 根据定义求线段长或角的度数. 教学方法 类比讨论法 教具准备 投影片三张 第一张（记作4.5 a） 第二张（记作4.5 b） 第三张（记作4.5 c） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师上节课我们学习了相似多边形的定义及记法.现在请大家回忆一下. 生对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比. 师很好.请问相似多边形指的是哪些多边形呢？ 生只要边数相同，满足对应角相等、对应边成比例的多边形都包括.比如相似三角 2011-10-10 10:35:06 共 60 页 第 23 页 形，相似五边形等. 师由此看来，相似三角形是相似多边形的一种.今天，我们就来研究相似三角形. .新课讲解 1.相似三角形的定义及记法 师因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似 多边形的定义给出，大家可以吗？ 生可以. 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）.如 abc 与def 相似，记作 abcdef 其中对应顶点要写在对应位置，如 a 与 d，b 与 e，c 与 f 相对应.abde 等于相似 比. 师知道了相似三角形的定义，下面我们根据定义来做一些判断. 2.想一想 如果abcdef，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？ 对应边呢？ 生由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例. 所以a=d、b=e、c=f. ef bc df ac df ac de ab =. 3.议一议 投影片（4.5 a） （1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？ （2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 师请大家互相讨论. 生解：（1）两个全等三角形一定相似. 因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比 例，且相似比为 1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似. （2）两个直角三角形不一定相似. 因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相 等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似. 两个等腰直角三角形一定相似. 因为两个等腰直角三角形 rtabc 和 rtdef 中，c=f=90，则a=b= d=e=45，所以有a=d，b=e，c=f. 再设abc 中 ac=b，def 中 df=a，则 ac=bc=b，ab=2b df=ef=a，de=2a de ab ef bc df ac = 所以两个等腰直角三角形一定相似. （3）两个等腰三角形不一定相似. 因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两个等腰三角 形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满 足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似. 两个等边三角形一定相似. 因为等边三角形的各边都相等，各角都等于 60 度，因此这两个等边三角形一定有对应 角相等、对应边成比例，所以它们一定相似. 师由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似. 两个全等三角形一定相似. 2011-10-