浅析定积分之美.docVIP

浅析定积分之美宋展0引言美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。德国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”于是，推而广之，我们若能以一种欣赏的眼光去认识，学习，研究定积分，那么学习定积分的过程将会是令人愉快的。I符号美所谓定积分，其形式为“为拉丁文summa首字母的拉长，读作：“sum”，即”求和“（积分）之意。莱布尼茨于1675年以“omn.l”表示l的总和（积分（Integrals），而omn为omnia（意即所有、全部）之缩写。其后他又改写为 ，以“l”表示所有l的总和（Summa）。此外，他又于1694年至1695年之间，于号后置一逗号，如 ,xxdx。至1698年，约伯努利把逗号去掉，后更发展为现今之用法。“d” 为英文differential,differentiation的首个字母，即”差”。，1675年莱布尼兹分别引入dx及dy以表示x和y的微分（differentials）,.始见于他在1684年出版的书中,这符号一直沿用至今.,其中与微分概念及符号d相关的英文单词有divide,decrease,delta等.另外,符号D又叫微分算子.德国的莱布尼茨，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。II本质美之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间a,b上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。直与曲是两个完全不同的概念,从直观图形看,前者平直后者弯曲; 从几何特性看,前者曲率为零, 后者曲率不恒为零; 从代数表达式看,前者是线性方程,后者是非线性方程,因此二者的差别是明显的. 但定积分的定义更一般地、深刻地体现了由曲转化为直,直转化为曲的辩证思想,它本质上是先微“分” 后积“分”的过程. 在定积分定义的第一步,在分割条件下实现了“以直代曲”,即实际上是在每个小曲边 梯形中把曲边看成直边,于是用这些“小直边梯形”的面积近似地代替小曲边梯形的面积. 第三步中把分 割无限加细,通过取极限,使小直边梯形面积的和转化为原来大的曲边梯形的面积. 这样一来,局部的 “直”经过无限累加又反过来转化为整体的“曲”,最后得到了曲边梯形的面积。III计算美相对于定积分，还有不定积分。积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。用公式表示是:定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果那么但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式（这可是一段非常有趣的数学史啊）也被称作微积分基本定理。必须指出，定积分是积分学的基本概念，与不定积分不是并列的，从某种意义上说，学习不定积分是为计算定积分服务的。IV对称美微分和积分是互为逆运算，所以，讲到积分时提一下微分就显得很有必要了。积分学是无限求和，而微分学则是无限细分。微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量x趋于0时，则记作微元dx。简单地说，微分，就是函数的局部线性近似，就是一个线性函数，局部看起来很接近原来的函数。也可以简单地记为，微分=局域线性化。然而，直至十七世纪中叶，人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念。就在这个时候，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过微积分基本定理或牛顿莱布尼茨公式联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。V思想美根据定积分定义来源，我们可以总结出利用定积分的思想求曲边梯形面积分为四个步骤：1，细分（量变 有限累积）2，取近似（阶段性部分 质变）3，求和（新的量变 无限累积）4，取极限（新的质变）我们将此种研究变化问题的方法称为“微元、定积分”法，它是一种辨证的思想方法， 它包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的 对立统一它把复杂的变化运动问题进行时间、空间 上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处 理，然后让分割无限的进行下去，局部范围无限变 小，那么近似处理也就越来越精确，从而在理论上 得到精确的结果。而微元、定积分的方法就是把变化中的复杂问题简单化，利用分割法分许多无 穷小段，把无限个小微元之和求出来，再用定积分 求结果通过这种思想，我们将看似的不可能变成了可能，于是应用这种思想我们就可以解决以下问题1，解决求曲边图形的面积问题例：求由抛物线线与直线围成的平面图形D的面积S. 2，求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)0)在时间区间a,b上的定积分。3，变力做功某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间a,b上做的功等于F=F(x)在a,b上的定积分。4，应用定积分求立体的体积 例：求椭圆 x2 b2 +y2 a2 =1 绕 y轴旋转而成 的旋转体的体积定积分思想也可以简单地理解为用近似规则的方式来对不规则的事物进行求和。比如求一个圆形的面积，我们可以以圆心为重点，把整个圆划分成无数个小的三角形(因为两点之间无限小，所以可以近似认为这个三角形的底边(弧形)为直线)，那么圆的面积就变成了无限个(比方说N)小三角形的面积之和，而三角形的高则近似为圆的半径R，那么圆形的面积就为, 2R(周长，所有底边之和) * R(所有三角形的高) / 2 = R*R。 同理，横坐标代表时间，纵坐标代表速度，即使你的速度不规律变化，但是路程(也就是速度曲线与横坐标覆盖的面积)，也可以当做高度不同的微小矩形的面积之和。于是应用这种思想我们就会得到好多实用而又有趣的结论，发散了我们的思维。VI结束语 横看成岭侧成峰。通过以上分析研究，使我们可以对定积分有了更深一步的了解，但不得不承认笔者对定积分的研究还很浅薄，文中许多论述尚有待订正，仅望此论文能起到抛砖引玉，反