凸函数及其在证明不等式中的应用.doc

内江师范学院本科毕业论文 本本 科科 毕毕 业业 论论 文文 题 目 凸函数及其在证明不等式中的应用 系 别 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 吴开腾 评阅教师 班 级 2004 级 2 班 姓 名 冀学本 学 号 20040241064 2008 年 月 日 内江师范学院本科毕业论文 目目 录录 摘要.I AbstractI 1 引言.1 2 凸函数的等价定义1 2.1 凸函数三种定义的等价性的讨论.2 2.1.1 定义定义 1 1定义定义 2 22 2.1.2 定义定义 1 1定义定义 3 34 2.2 判定定理与 JESEN 不等式.4 3性质.5 4 凸函数在不等式证明中的应用7 4.1 利用凸函数定义证明不等式7 4.2 利用凸函数性质证明不等式8 结束语.11 参考文献11 致谢.12 内江师范学院本科毕业论文 摘摘 要要 首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了 三种定义之间的等价性接着给出了凸函数的一个判定定理以及 Jesen 不等式然后讨 论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数具 有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不 等式的正确性因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推 广研究起着举足轻重的作用在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法， 最后证明了几个常见的重要不等式并得到了几种常用凸函数的形式 关键词 凸函数，凸性不等式，jensen 不等式 Abstract First has given the convex function three model definition， has analyzed between them the relations， and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality. Then discussed convex function several commonly used nature， has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application， the use convex function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore， the correct understanding convex functions definition， the nature and the application， carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explains with examples the problem solving mentality and the certificate method， finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms. Key words Convex function， convexity inequality， jensen inequality 内江师范学院本科毕业论文 0 1 引言引言 凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要 概念已在许多数学分支得到广泛应用例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理 论等当中常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线 上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一 点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数现行高等数学教 材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了 不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了 利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等 式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要凸函数的 性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究本文就凸函数的性质介绍了几条 常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用 2 凸函数的等价定义凸函数的等价定义 定义 11 若函数对于区间内的任意以及，恒有( )f x( , )a b 12 ,x x(0,1) ， 1212 (1)()(1) ()fxxf xf x 则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b 其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间的割线总在( )yf x 1122 ( ,(),(,()xf xxf x 曲线之上 定义 2 若函数在区间内连续，对于区间内的任意，恒有( )f x( , )a b( , )a b 12 ,x x ， 12 12 1 ()()() 22 xx ff xf x 则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b 其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间割线的中点( )yf x 1122 ( ,(),(,()xf xxf x 总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上 定义 3 若函数在区间内可微，且对于区间内的任意及，恒有( )f x( , )a b( , )a bx 0 x ， 000 ( )()()()f xf xfxxx 则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b 内江师范学院本科毕业论文 1 其几何意义为：凸函数曲线上任一点处的切线，总在曲线之下( )yf x 以上三种定义中，定义 3 要求在内是可导的，定义 2 要求在( )yf x( , )a b( )f x 上是连续的而定义 1 对函数则没有明显地要求实际上可以证明在定义( , )a b( )yf x 1 中，函数在上是连续的而定义 1 和定义 2 两个定义是否要求函数( )yf x( , )a b 是可导的，则没有提出如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的( )yf x 2.1 凸函数三种定义的等价性的讨论凸函数三种定义的等价性的讨论 2.1.12.1.1 定义定义 1 1定义定义 2 2 证明 定义 1定义 3，取， 由定义 1 推得定义 2 1 2 定义 2定义 1 首先，论证对于任意的及有理数，不等式 f x 12 ,x xa b0,1 ， 1212 11fxxf xf x 成立事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即 ， 12 121 12 222 0. 2 nn nn n n aaaa a aa 其中或 1，由于也是有理数所以也可以表示为有0 i a 1,2,1 ;1 n ina1 穷二进位小数，即 ， 12 121 1 2 222 10. 2 nn nn n n bbbb bbb 由于，有或 1，于是110 i b 1,2,1 ;1 n inb 1212 1,2,1 iiii f a xb xa f xb f xin 所以 12 1fxx 1212 121121 12 222222 22 nnnn nnnn nn aaaabbbb fxx 内江师范学院本科毕业论文 2 22 22 1 11212 11 2211 2222 nn nn nn aabb f a xb xfxx 2323 231231 1 11212 11 222222 () 22 2 nnnn nnnn nn aaaabbbb a xb xxx f 22 22 111212 11 2211 2222 nn nn nn aabb a f xb f xfxx 33 1112212212 222 111221221112 21 12 1 221111 * 222222 111 222 1 22 nn nn nn nn n nn n ab a f xb f xa f xb f xfxx a f xb f xa f xb f xaf xbf x a xb x f 111221221112 21 12 111 222 1 2 nn n nn n a f xb f xa f xb f xaf xbf x a f xb f x 1212 121121 12 12 222222 22 1 nnnn nnnn nn aaaabbbb f xf x f xf x 下面再论证对为无理数时定义 1 也成立事实上，对任意无理数， f x0,1 存在有理数列，所以 0,1 , nn n ， 1212 11 nn xxxxn 由于在内连续，所以 f x, a b 12 12 12 12 12 1 lim1 lim1 lim1 1 n n n n n n fxx fxx fxx f xf x f xf x 综上即知，定义 1 与定义 2 等价 内江师范学院本科毕业论文 3 2.1.22.1.2 定义定义 1 1定义定义 3 3 证明 定义 1 定义 3：对内任意的及，若，则取，使, a b 0 xx 0 xx0h 于是，可以得到 00 xxhx ， 000 0 f xhf xf xf x hxx 上式中令，由于可微，所以有，即0h f x 0 0 0 f xf x fx xx 若，则取，使，同理可证 000 f xf xfxxx 0 xx0h 0 xxhx 定义 3定义 1：对于区间内的任意（不妨设）以及，令, a b 12 ,x x 12 xx0,1 ，则有，由泰勒公式，得 12 xxx 112221 1,xxxxxxxx 及， 111 f xf xfxx 222 f xf xfxx 其中，于是 1122 xxx 12122121 111f xf xfxxxxff 再进一步由，所以即 21 ff 1212 11f xf xfxx ， 1212 11fxxf xf x 最后，由等价的传递性即知定义 2 与定义 3 也是等价的 2.2 判定定理与 Jesen 不等式 判定定理2 设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是fIIf ，( )0fxxI 用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的但用该判定定理来判 断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸 性，再反过来引出它必定满足凸性不等式在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式 的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙证明不 等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数 定理 (Jensen 不等式)3 设函数在上处处二次可微，且:( , ).fa bRf( , )a b 内江师范学院本科毕业论文 4 (对任意，则为上的凸函数，即对任意，及( )0fx( , )xa b( )f x( , )a bmN( , ) k xa b 成立如下不等式 1 0,1 m kk k ， （1） 11 ()() mm kkkk kk fxf x 该不等式称为 Jensen 不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情 况可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由 Jensen 不等式来体现的，因 为每个凸函数都有一个 Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用利 用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路 注：由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而 都满足不等式（1） （a）， （b）( )(1,2,3) i f x i 1 1 ( )0,0)f xxa ax （ ， （c）凸函数及其性质在解题中有着 2 1 ( )(0)fxxc cx 3( ) (0) x fxxc cx 十分广泛的应用，下面试举数例述之 3性质性质 利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数， 再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研 究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明函数的凸性是函数在区间上变化的整 体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助 于对函数的定性分析凸函数是一类重要的函数凸函数在不等式的研究中尤为重要， 而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了 性质 14 设函数在区间为凸函数，则在区间也为凸函 f xx、gI f xx+gI 数 证明：因函数在区间为凸函数，从而 12 ,0,1x xI f xx、gI ，且 1212 11fxxf xf x 1212 11gxxg xg x 于是有 12121122 111fxxgxxf xg xf xg x 因此在区间为凸函数 f x +g xI 内江师范学院本科毕业论文 5 性质 2 设函数在区间为凸函数，则在区间为凸函 f xx、gI max,f xg xI 数 证明 ，因函数在区间为凸函数从而有 12 ,0,1x xI f xx、gI ， 1212 11fxxf xf x 且 1212 11gxxg xg x 令，则 max,F xf xg x 121212 1max1,1Fxxfxxgxx 1212 max1,1f xf xg xg x 112212 max,1max,1f xg xf xg xF xF x 因此，在区间为凸函数 max,F xf xg xI 性质 3 5设函数 在区间为递增的非负凸函数，则在区间 f xx、g, a b f xxg 为凸函数, a b 证明 ，设，因为非负凸函数，由定理 3 知 12 ,x xa b 12 xx f xx、g ，在点连续，且,xa b f xx、gx ， 12 12 0()() 22 f xf xxx f 12 12 0()() 22 g xg xxx g 因此在区间连续，因递增，从而 f xxg, a b f xx、g 212111221221 0f xf xg xg xf xg xf xg xf xg xf xg x 且 2121 1212 () () 2222 f xf xg xg xxxxx fg 112212212211 42 f xg xf xg xf xg xf xg xf xg xf xg x 内江师范学院本科毕业论文 6 由定义知在区间为凸函数 f xxg, a b 当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举 4 4 凸函数在不等式证明中的应用凸函数在不等式证明中的应用 41 利用凸函数定义证明不等式 例 1 求证：对任意实数，有, a b 2 1 2 a b ab eee 证明 设，则，故为上的凸函 x f xe 0,fxx x f xe, 数从而对，由定义有 12 1 , 2 xa xb ， 1212 1111 (1)(1) () 2222 fxxf xf x 即 2 1 2 a b ab eee 例 2 设，则有01,01xa 1 111 a a xxx 证明 设 ，那么 1 11 aa f xxx 01x 1 1 1111 a aaa fxaxxxax 111 1 2 1111111 1 1 a aaaaa a a fxaaxxaaxxaaxx a axx 1 1122 111111 a aaaa aaxxx xxxxx ， 11 22 111111 aa aa aaxxaaxx 于是时，01,01xa 0fx 由严格凸函数的定义，其中 得 12 ,1,0x xx ， 110110f xfxxx fxf AAAA 即 1 111 a a xxx 例 36 若为内的凸函数，求证 f x, a b( , ),1,2, i xa b in 内江师范学院本科毕业论文 7 1 1 1 () n in i i i x ff x nn 证明 对，不等式是显然的，设对不等式成立，则因为 1 2, 2 nx1n ， 12121 11 1 nn n xxxxxxn x nnnn 这里，由定义有 1n n 121 , 1 n n xxx a bxa b n ， 1 11 1 111 ()() 1 nn iin ii ni i xx n fff xf x nnnnn 例 4 若，则0, i 1,2,in 12 12 sinsinsinsin n n n n 证明 令 ，由于则 ln(sin) ii f 0, i 1,2,in 2 sec0 ii f 为上的严格凸函数，所以由例 3 的不等式有 f x0, ， 11 11 ln(sin)ln(sin) nn ii ii nn 即，由得 12 12 1 ln(sin)ln(sinsinsin) n n nn 1e ， 12 12 sinsinsinsin n n n n 上式等号仅在成立 12n 4.2 利用凸函数性质证明不等式 例 5 证明不等式： ， 1222 1212 2 12 () nn n n xxxxxx x xx nn 其中 1 0,1,2,xin 证明 考虑对数函数，因为故函数是 ln0f xx x 2 1 0,fx x lnf xx 上凸函数，由上凸函数的性质，即得 ， 12 1212 1 lnlnlnlnln n n nn xxx xxxx xx nn 由对数性质，即证明了 （2） 12 12 n n n xxx x xx n 内江师范学院本科毕业论文 8 又考虑函数，所以故也是上凸函数， 2 0g xxx 20gx 2 g xx 由上凸函数的性质，得 ， 222 2 1212 () nn xxxxxx nn 即 ， 222 2 1212 () nn xxxxxx nn 因此 ， 1222 1212 2 () nn xxxxxx nn （3） 综合（2） ， （3）整个命题证明结束 例 6 设均为正数，且求证： 12n ， 12 1 n 2 222 12 12 111(1) ()()() n n n n 证明 考虑函数因为，所以是下凸函数，令 2, f xx 20fx 2 f xx ，由下凸函数的性质，则有 11 1 1 ,xa a 1 , nn n xa a 222 12 12 111 ()()() n n aaa aaa （4） 12 2 12 111 () n n aaa aaa n n ， 2 12 1111 (1) n naaa 由柯西不等式： 得 22222 111 ()()() nnn iiii iii aba b 1212 111111 ()() 1 nn aaaaaa A ， 2 12 12 111 () n n aaan aaa 于是有，并代入 2 12 111 () n n aaa （4）式即得 内江师范学院本科毕业论文 9 ， 2 222 12 12 111(1) ()()() n n n n 证毕 例 77 在中，求证ABC 3 3 sinsinsin 2 ABC 证明 考虑函数，因为，所以sin0yxxsin00yxx 在内是上凸函数，由上凸函数的性质有sinyx0, ， sinsinsin sin 33 ABCABC 由于故ABC 3 3 sinsinsin 2 ABC 例 88 设，则, ii a bR1,2,in 11 nn ii ii ab 2 11 1 2 nn i i ii ii a a ab 证明 记则，取，易知，有判定定理知 1 n i i sa 1 1 n i i a s 1 ,0 1 f xx x ( )0fx 为凸函数，取，由于故由性质得 f x i i i b x a 11 nn ii ii abs 2 11 11 11 12 11 nn ii nn iiii iii i ii aass ss ababsx x ss A 例 9 设，有，其中，,0 ii a b 1,2,in 1 111 nnn q pq iiii iii abab 0,0pq 11 1 pq 证明 令，因为，由判定定理知 ,1,0 p f xxpx 2 (1)0 p fxp px ，在上是严格凸函数，由 Jensen 不等式得到 ,1,0 p f xxpx0, ，今设为非负实数且，在上述表达式中以 11 () nn pp iiii ii xx 12 , n u uu 1 0 n i i u 代替，得到 1 n ii i uu i 1 111 ()()() nnn ppp iiiii iii u xu xu 内江师范学院本科毕业论文 10 由题设知令，不妨设，代入上式便 11 1 pq 1qpp 1 , qq iiiii ubxab 1 0 n i i b 得不等式 1 111 nnn q pq iiii iii abab 特别地，取时得就到柯西不等式2pq 22 111 nnn iiii iii abab 综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复 杂的不等式迎刃而解 结束语结束语 通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间 的等价性给出了凸函数的一个判定定理以及 Jesen 不等式然后讨论了凸函数的几条 常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数的应用领域非常 广泛，主要是在不等式的证明中，运