实数的有关概念和性质以及实数的运算.doc

实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。而 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。实数的运算法则1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变即：加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变即：2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变即： 乘法结合律 ：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变即： 。分配律 ： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即： 4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。5、乘方： 所表示的意义是n个a相乘，即正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。实数计算的常见类型及方法一、实数的运算 (1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零即(4)除法(5)乘方 (6)开方 如果x2a且x0，那么x； 如果x3=a，那么在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减有括号时，先算括号里面3实数的运算律 (1)加法交换律 a+bb+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 abba (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意实数运用运算律有时可使运算简便一、加法运算中的方法与技巧 例1 计算：分析：（）题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号内的；（2）题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数位置时，一定要连同前面的符号一起移动.实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数先相加“凑整法”；整数与整数，小数与小数相加“同形结合法”.二、乘、除运算中的方法与技巧例2：计算：分析：（）这里没有用括号规定运算顺序，所以我们应先算乘方，再算除法，最后算除法（2）用括号规定运算顺序，所以应先算括号内的，再按顺序进行另外也可以利用乘法对加法的分配律去掉括号，然后再按顺序进行点评：在进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变化；三要注意在运算性质时不要出现错误三、幂的运算【例3】 计算：【小结】表示4个-2相乘，负数的偶次方是正数，而表示的相反数，结果为负数，两者意义不同，注意区别.同理，表示3个-2相乘，表示的相反数，表示3个相乘，表示除以5的商的相反数，两者意义不同，注意观察，当底数是分数时，底数要加括号. 四、在混合运算中灵活运用运算律 【小结】 此题利用分配律计算非常简便，但同时是同学们在计算时容易出错的地方.第一种方法是把括号中的式子看作和的形式，分别相乘，再相加.第二种方法是先定符号，后面注意整体思想.第三种方法，第一部分相乘时先定符号，后定值. 【小结】 善于观察，寻求解决问题的策略，是至关重要的.灵活使用交换律和分配律，使解决本题的步骤变得简捷明快.【小结】 有理数的加减乘除混合运算中，如果有括号通常先算括号里面的，如果无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行.此题，在将混合运算中的除法转化为乘法后，运用乘法运算律简化计算.同时注意多项式除以单项式可用分配律.单项式除以多项式不可用分配律，必须把除数作为一个整体来进行计算.五、二次根式的运算例8：小东在学习了后, 认为也成立, 因此他认为一个化简过程:是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说你的理由。分析：二次根式的化简要根据其基本性质进行，对于性质：，是有条件的即：，做题时应注意这一点。解答：他的化简过程是错误的，这是因为：根据性质：，应有条件，而该同学在的化简过程中，显然出现了违背条件的情况，与是没有意义的，因此他的化简过程是错误的。正确的应是： 点评：运算性质是运算的基础，要准确全面的把握运算性质，不能断章取义，在复习是要注这一点，对某一知识的掌握要全面、深刻而不能仅仅局限于了解、知道或模棱两可，这是总复习中的大忌。拓广：对于题目“化简并求值：，其中,甲、乙人的解答不同甲的解答是：乙的解答是：谁的解答是错误的？为什么？解：乙的解答是错误的，因为：，则，故有：六、开放性问题【例9】 现有四个有理数3，4，-6，10运用有理数的四则混合运算写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算如下：( 1） _（2） _（3） _解：（1） 10-（-6）34 （2） （1046）3 （3） 410（-6）3【小结】 此题具有开放性、探究性，要发散思维，结合有理数的混合运算性质，多角度寻求解题途径对于任意非零实数x，y定义的新运算“”：xy=ax-by，等号右边是乘法和减法的运算，已知：23=2，35=2，则34=_答案:4解析:根据题意列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再将所求式子利用新定义变形后计算即可求出值解：根据题意得：，3-2得：b=2，将b=2代入得：2a-6=2，即a=4，则34=12-8=4故答案为：4在实数的原有运算法则(“?”和“-”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，.则当时，